2012年高考数学试卷（文）（上海）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按省份分类）2008-2025_2008-2025·（上海）数学高考真题

2012上海高考数学试题（文科）答案与解析 一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 3i 1．计算： = （i为虚数单位）. 1i 【答案】 1-2i 3i (3i)(1i) 【解析】 = =1-2i 1i (1i)(1i) 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数， 净分母实数化即可。 2．若集合A{x|2x10}，B {x| x 1}，则A  B= . ì 1 ü 【答案】 íx|  x1ý î 2 þ 1 【解析】由集合A可得：x> ，由集合B可得：-1<经<1，所以，A  B= 2 ì 1 ü íx|  x1ý î 2 þ 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不 等的解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。 sinx 2 3．函数 f(x) 的最小正周期是 . 1 cosx 【答案】p 1 【解析】根据韪得： f(x)sinxcosx2 sin2x2 2 【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明 确要求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 4．若 是直线 的一个方向向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】 1 1 【解析】设直线的倾斜角为，则tan ,arctan . 2 2 第1页 | 共13页【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的 表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2的圆柱，底面周长为2p，该圆柱的表面积为 . 【答案】6p 【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为r 1，所以该圆柱的表面积为： S  2prl 2pr2  4p2p6p. 圆柱表 【点评】本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积， 不是侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低 档题. 6.方程4x 2x130的解是 . 【答案】log 3 2 【解析】根据方程4x 2x1 30，化简得(2x)2 22x 30，令 2x tt 0 ， 则原方程可化为t2 2t 30，解得 t 3或t  1  舍  ，即 2x 3,x log 3.所以原方程的解为log 3 . 2 2 【点评】本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在 求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要 的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 1 7.有一列正方体，棱长组成以1为首项、 为公比的等比数列，体积分别记为 2 V,V ,...,V ,...，则lim(V V ...V ) . 1 2 n 1 2 n n®¥ 8 【答案】 7 1 【解析】由正方体的棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，可知它们的体积则 2 1 组成了一个以1为首项， 为公比的等比数列，因此， 8 第2页 | 共13页1 8 l n i ® m ¥ (V 1 V 2   V n )  1  7 . 1 8 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的 定义.考查知识较综合. 6 æ 1ö 8.在ç x ÷ 的二项式展开式中，常数项等于 . è xø 【答案】20 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 1 T C3x3( )3 20 . 4 6 x 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构 成.属于中档题. 9.已知y  f(x)是奇函数，若g(x) f(x)2且g(1)1，则g(1) . 【答案】3 【解析】因为函数y  f(x)为奇函数，所以有 f(x)  f(x)，即 g(1)  f(1)2,又g(1) 1,所以，f(1)  1, f(1)  f(1) 1,g(1)  f(1)2123 . 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数y  f(x)为 奇函数，所以有 f(x)  f(x)这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题 属于中档题，难度适中. 10.满足约束条件 x 2 y £2的目标函数z  yx的最小值是 . 【答案】2 ìx³0, ìx³0, ìx£0, ï ï ï 【解析】根据题意得到íy³0, 或íy£0, 或íy³0, 或 ï ï ï x2y£2; x2y£2; x2y£2; î î î 第3页 | 共13页ìx£0, ï íy£0, ï x2y³2. î 其可行域为平行四边形ABCD区域，（包括边界）目标函数可以化成y  x z， z 的最小值就是该直线在y轴上截距的最小值，当该直线过点A(2,0)时， z 有最小 值，此时z  2 . min 6 4 2 B y=x+z 10 5 C A 5 10 D 2 4 6 【点评】本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该 直线过点A(2,0)时， z 有最小值，此时z  2 min ，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有 两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 2 【答案】 3 【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所 2 以根据古典概型得到此种情况下的概率为 . 3 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总 第4页 | 共13页数.本题属于中档题. 12.在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC、 uuuur uuur BM CN uuuur uuur CD上的点，且满足 uuur  uuur ，则AM AN的取值范围是 BC CD   【答案】 1,4 【解析】以向量AB所在直线为x轴，以向量AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系 ，如图所示，因为AB  2,AD 1，所以 A(0,0),B(2,0),C(2,1)D(0,1). 设 2x M(2,b),N(x,1),(0£ x £ 2)，根据题意，b  ，所以 2 ® ® 2x AN (x,1),AM (2, ). 2 ® ® 3 3   所以AM AN  x1 0£ x £ 2 ，所以1£ x1£ 4， 即 2 2 ® ® 1£ AM AN £ 4. 6 4 2 D N C M 10 5 A B 5 10 2 4 6 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题 时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 1 13.已知函数y  f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)、B( ,1)、C(1,0) 2 ，函数y  xf(x)（0£ x£1）的图像与x轴围成的图形的面积为 . 第5页 | 共13页1 【答案】 4 ì 1 2x,0£ x£ ï ï 2 【解析】根据题意，得到 f(x)í ， 1 ï 2x2, x£1 p ïî 2 ì 1 2x2,0£ x £ ï ï 2 从而得到y  xf(x)  í 所以围成的面积为 1 ï 2x2 2x, x £1 ï p î 2 1 1 1 1 S  22xdx (2x2 2x)dx  ，所以围成的图形的面积为 . 1 0 4 4 2 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解 平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和 解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较 大. 1 14.已知 f(x) ，各项均为正数的数列 a  满足a 1，a  f(a )， 1x n 1 n2 n 若a a ，则a a 的值是 . 2010 2012 20 11 313 5 【答案】 26 1 1 【解析】据题 f(x)  ，并且a  f(a )，得到a  ， 1 x n2 n n2 1a n 1 1 a 1，a  ，a  a ，得到  a ，解得 1 3 2 2010 2012 1a 2010 2010 5 1 a  （负值舍去）.依次往前推得到 2010 2 313 5 a a  . 20 11 26 【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件 第6页 | 共13页a  f(a )是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题. n2 n 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15.若1 2 i是关于x的实系数方程x2 bxc0的一个复数根，则（ ） A．b2,c3 B.b2,c1 C.b2,c1 D.b2,c3 【答案】 D 【解析】根据实系数方程的根的特点知1 2i也是该方程的另一个根，所以 1 2i1 2i  2 b，即b  2，(1 2i)(1 2i) 3c，故答 案选择D. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算. 属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16.对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2 ny2 1的曲线是椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B ìm0, ï 【解析】方程mx2 ny2 1的曲线表示椭圆，常数常数m,n的取值为ín0, 所 ï m¹n, î 以，由mn0得不到程mx2 ny2 1的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根 据该曲线表示椭圆，能推出mn0，因而必要.所以答案选择B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据 方程的组成特征，可以知道常数m,n的取值情况.属于中档题. 17.在△ABC中，若sin2 Asin2 Bsin2C，则△ABC的形状是（ ） A．钝角三角形 B、.直角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 【答案】 A a b c 【解析】由正弦定理，得 sin A, sinB, sinC, 代入得到 2R 2R 2R 第7页 | 共13页a2 b2 c2 ， a2 b2 c2 由余弦定理的推理得cosC  0，所以C为钝角，所以该三角形为钝 2ab 角三角形.故选择A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构 来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选 择余弦定理.本题属于中档题. p 2p np 18.若S sin sin ...sin （nÎN* ），则在S ,S ,...,S 中， n 7 7 7 1 2 100 正数的个数是（ ） A．16 B.72 C.86 D.100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规 律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解 决问题的能力. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是 P p PC的中点.已知∠BAC= ，AB=2，AC=2 3， 2 PA=2.求： D A （1）三棱锥P-ABC的体积；（6分） （2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三 B C 角函数值表示）.（6分） [解]（1）S  122 3 2 3， 2分 ABC 2 三棱锥P-ABC的体积为 V  1S PA 12 32 4 3 . 6分 P 3 ABC 3 3 （2）取PB的中点E，连接DE、AE，则 ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线 E D A BC与AD所成的角. 8分 在三角形ADE中，DE=2，AE= 2，AD=2， B C 第8页 | 共13页cosADE  22222  3 ，所以∠ADE=arccos3. 222 4 4 因此，异面直线BC与AD所成的角的大小是arccos3. 12分 4 【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推 理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的 体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出 现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．已知函数 f(x)lg(x1). （1）若0 f(12x) f(x)1，求x的取值范围；（6分） （2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0£ x£1时，有g(x) f(x)，求函数 y  g(x) (xÎ[1,2])的反函数.（8分） ì22x 0 [解]（1）由í ，得1 x1. î x10 由0lg(22x)lg(x1)lg22x 1得1 22x 10. x1 x1 ……3分 因为x10，所以x122x10x10， 2  x 1. 3 3 ì1 x1 由í 得 2  x 1. ……6分  2  x 1 3 3 î 3 3 （2）当xÎ[1,2]时，2-xÎ[0,1]，因此 y  g(x) g(x2) g(2x) f(2x)lg(3x). ……10分 由单调性可得yÎ[0,lg2]. 因为x 310y ，所以所求反函数是y 310x ，xÎ[0,lg2]. ……14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指 数函数、对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题． 21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向 12海 y P 第9页 | 共13页 O x A里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y  12 x2 ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49 援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t . （1）当t 0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）t 0.5时，P的横坐标x =7t  7 ，代入抛物线方程y  12 x2 P 2 49 中，得P的纵坐标y =3. ……2分 P 由|AP|= 949 ，得救援船速度的大小为 949海里/时. ……4分 2 7 由tan∠OAP= 2  7 ，得∠OAP=arctan 7 ，故救援船速度的方向 312 30 30 为北偏东arctan 7 弧度. ……6分 30 （2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2). 由vt  (7t)2 (12t2 12)2 ，整理得v2 144(t2  1)337.……10分 t2 因为t2  1 ³2，当且仅当t=1时等号成立， t2 所以v2 ³1442337252 ，即v³25. 因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 【点评】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识．选择恰当的函数模型是 解决此类问题的关键，属于中档题．考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进 行探究、分析与解决问题的能力．属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题． 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2  y2 1. （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点. 若|MF|=2 2，求过M点的坐标；（5分）（2）过C的左顶点作C的两条渐近线的 平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的 面积；（5分） （3）设斜率为k (|k | 2)的直线l2交C于P、Q两点，若l与圆x2  y2 1相切， 求证：OP⊥OQ；（6分） [解]（1）双曲线C: x2  y2 1，左焦点F( 6,0). 1 2 2 设M(x, y)，则|MF |2(x 6)2  y2 ( 3x 2)2 ， 2 2 ……2分 由M是右支上一点，知x³ 2 ，所以|MF | 3x 2 2 2 ，得 2 2 第10页 | 共13页x  6 . 2 所以M( 6, 2). ……5分 2 （2）左顶点A( 2,0)，渐近线方程：y  2x. 2 过A与渐近线y  2x平行的直线方程为：y  2(x 2)，即 2 y  2x1. ìy  2 x ïìx  2 解方程组í ，得í 4 . îy  2 x1 ï î y  1 2 ……8分 所求平行四边形的面积为S |OA|| y| 2 . ……10分 4 （3）设直线PQ的方程是y kxb.因直线与已知圆相切，故 |b| 1， k21 即b2 k2 1 (*). ì y kxb 由í ，得(2k2)x2 2kbxb2 10. î2x2  y2 1 ïìx  x  2kb 设P(x, y)、Q(x , y)，则í 1 2 2k2 . 1 1 2 2 ï x x  1b2 î 1 2 2k2 y y (kx b)(kx b)，所以 1 2 1 2 OPOQ  x x  y y (1k2)x x kb(x  x )b2 1 2 1 2 1 2 1 2 (1k2)(1b2)  2k2b2  1b2k2 . 2k2 2k2 2k2 由(*)知OPOQ 0，所以OP⊥OQ. ……16分 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系 ．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它 的离心率为 2 ，它的渐近线为y x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大 节省解题时间，本题属于中档题 ． 23．对于项数为m的有穷数列数集{a n }，记b k  max{a 1 ,a 2 ,  ,a k }（k=1,2,…, m），即b k 为a 1 ,a 2 ,  ,a k 中的最大值，并称数列{b n }是{a n }的控制数列.如1,3,2,5,5的控 制数列是 第11页 | 共13页1,3,3,5,5. （1）若各项均为正整数的数列{a }的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a }；（4 n n 分） （2）设{b }是{a }的控制数列，满足a b C（C为常数，k=1,2,…,m） n n k mk1 . 求证：b a （k=1,2,…,m）；（6分） k k n(n1) （3）设m=100，常数aÎ(1,1).若a an2 (1) 2 n，{b }是{a }的控制数 2 n n n 列， 求(b 1 a 1 )(b 2 a 2 )  (b 100 a 100 ). [解]（1）数列{a }为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； n 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 （2）因为b k  max{a 1 ,a 2 ,  ,a k }，b k1 max{a 1 ,a 2 ,  ,a k ,a k1 }， 所以b ³b . ……6分 k1 k 因为a b C，a b C， k mk1 k1 mk 所以a a b b ³0，即a ³a . k1 k mk1 mk k1 k ……8分 因此，b a . ……10分 k k （3）对k 1,2,  ,25，a 4k3 a(4k 3)2 (4k 3)； a a(4k 2)2 (4k 2)； 4k2 a a(4k 1)2 (4k 1)；a a(4k)2 (4k). 4k1 4k 比较大小，可得a a . ……12分 4k2 4k3 因为1 a1，所以a a (a1)(8k 3)0，即 2 4k1 4k2 第12页 | 共13页a a ； 4k2 4k1 a a 2(2a1)(4k 1)0，即 4k 4k2 a a . 4k 4k2 又a a ， 4k1 4k 从而b a ，b a ，b a ，b a . 4k3 4k3 4k2 4k2 4k1 4k2 4k 4k ……15分 因此(b 1 a 1 )(b 2 a 2 )  (b 100 a 100 ) = (b a )(b a )(b a ) (b a ) (b a ) 3 3 7 7 10 10  4k1 4k1  99 99 = (a a )(a a )(a a ) (a a ) (a a ) 2 3 6 7 9 10  4k2 4k1  98 99 25 25 = (a a )=(1a)(8k 3)=2525(1a). 4k2 4k1 k1 k1 ……18分 【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本 题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合 考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视． 第13页 | 共13页