2024届广东省四校高三第一次联考数学答案(1)_2023年8月_028月合集_2024届广东省四校（深中、华附、省实、广雅）高三上学期第一次联考

参考答案：
1．D
【解析】由题意， yln(1x2)ln10，故M ,0  ，故 ð M  N (0,)(1,1)(1,)
R
2．A
1 1i 1 1
【解析】由复数  1i  z 1，可得z   ，对应的点为 , ，在第一象限.
1i 2 2 2
故选：A.
3．A
【分析】先由不等式恒成立求出m的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】由x2mx10在x1,上恒成立，得
m x 1 在x1,上恒成立，
x
1
令 f(x)x ，由对勾函数的性质可知 f(x)在x1,上单调递增，
x
所以 f(x) f(1)2，
所以m2，
所以“x2mx10在x1,上恒成立”的充要条件为m2，
所以“m1”是“x2mx10在x1,上恒成立”的充分不必要条件，
故选：A
4．C
【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积及模的坐标运算求解即可.
1
【详解】由题意CACB，C 90，S  CBCA1，所以CACB 2，
ABC 2
如图，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立平面直角坐标系，
  
则C(0,0),A( 2,0),B(0, 2)，所以AB( 2, 2)，AC ( 2,0)，BC (0, 2)，
   
所以ACBC ( 2)00( 2)0，ABAC ( 2)( 2) 202，
   2 
ABBC ( 2)0 2( 2)2， AB cosB2  2， BC  2，
2 
所以 AB cosB BC ，所以选项ABD正确，C错误.
故选：C
5.B
【解析】4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有C2A3 36种不同情
4 3
12 1
况，记者A被安排到甲组有A3 C2A2 12种，所求概率为P   ，故选:B．
3 3 2 36 3
6.B
【解析】记双曲线C的右焦点为F，P为第二象限上的点，连接PF，PF，QF，QF，
根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形PFQF为平行四边形.
因为 PQ 2 FO ，所以四边形PFQF为矩形，而直线l的斜率为 3，所以 PF c， PF  3c，
c 2
又 PF |PF |2a，所以 3cc2a，则e   31．
a 31
故选：B．
7.C
【解析】根据题意，可得AD  AE,AD  AF,AE  AF ，且AE 1,AF 1,AD  2，
所以三棱锥 D A  EF 可补成一个长方体，则三棱锥 D A  EF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，
6
设长方体的外接球的半径为R，可得2R 12 12 22  6，所以R  ，
2
6
所以外接球的表面积为S 4πR2  4π( )2  6π.
2
故选：C.
8.
【解A 析】 ，其中 满足
2
=2sin   +3 +  −1      =       + 3      =  +3sin (   +  ) 
.又由任意的 ， 均有 成立即 成立可知 最大值为 .
3
=   1  2  (  1)≤−  (  2)  (  1)+  (  1)≤ 4 3  (  ) 2 3
学科网（北京）股份有限公司，又 ， ， ，又 知 ，又

2
∴  +3 =2 3  >0 ∴  =3 ∴   =2sin (   +6) 0<  <  6 <   +6 ≤   +6  (  )
在 上存在唯一实数 使 即 ， ， .
1 7   11  5
选 0.,   0   0 =− 3 sin   0+6 =−2 ∴ 6 <   +6 ≤ 6 ∴1<  ≤3
9. A【答案】ACD
【详解】对选项A：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，正确；
1
对选项B：E(x)np30，D(x)np1 p20，解得p ，错误；
3
1 1
对选项C：根据正态分布的对称性知，P(0) ，P(1) p，则P(10)P(01)  p，正
2 2
确；
对选项D：X ~B(10,0.8)，故 pX nCn 0.8n 10.810n，
10
pX n pX n1 Cn 0.8n0.210n Cn10.8n10.211n
39 44
 ，即 10 10 ，解得 n ，故n8，D正确.
pX n pX n1 Cn 0.8n0.210n Cn10.8n10.29n 5 5
10 10
故选：ACD
10. 【答案】BC
1 1
【解析】对于A，a   1恒成立，存在正数M 1，使得 a M 恒成立，
n n n n
数列a 是有界的，A错误；
n
n n n
1 1 1
对于B，1sinn1 
 
a 
 
sinn
 
，
2 n 2 2
2 n n
1 1 1 1
S a a a  
 

 
1
 
1，
n 1 2 n 2 2 2 2
 2 n n
1 1 1 1
S a a a        1   1，
n 1 2 n  2 2 2  2
所以存在正数M 1，使得 S M 恒成立， 则数列  S  是有界的，B正确；
n n
对于C，当n为偶数时，S 0；当n为奇数时，S 1；
n n
S 1，存在正数M 1，使得 S M 恒成立，
n n
数列S 是有界的，C正确；
n
1 4 4  1 1 
对于D，    4  ，
n2 4n2  2n1  2n1  2n1 2n1
学科网（北京）股份有限公司1 1 1  1 1 1 1 1 
S 2n1   2n41     
n 22 32 n2  3 3 5 2n 1 2n 1
 1  8n  2 
2n41 2n 2n 2 ；
 2n1 2n1  2n1 
2 2 1 
yx 在0,上单调递增，n 

,，
2x1 2n1 3 
不存在正数M ，使得 S M 恒成立，数列S 是无界的，D错误.
n n
故选：BC.
11. 【解析】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，
，则 ， .
=2(0 ≤  ≤ 2)
，
(  ,2,2)  (2,1,0
，
)
故 与 不垂直，故 错误.
由  1=(−2,知2,−2)     1∙    1=−2≠0   1  1   ，故 正确.
2 2 2 2 2 2 1
=   1  +2 +2 = (  −2) +1 +2 ⟹  =4∈ 0,2 
，为定值.故 正确.
1 1 1 4
又  −   1  1 =   −  ， 1  1  =3∙2∙  △  1 ，  1  设=平3面∙2∙2∙2的∙法2=向3量  ，
由  1  =(2,1,0)   1  =  ,2,2 ，  1     1=(  ,  ,  )
1  ∙  1=0 2  +  =0
令 则 ⟹， ， ，
1  ∙  1=0   +2  +2  =0
又平  = 面 2  = 的 − 法 4 向  量 =4−  ∴ ，  1=(2,−4,4−  )
1   1   2=(0,0,1) ，
4−  1
∴ |    <  1,  2>|= 2 2 + −4 2 + 4−  2 = 1+(4− 20  )2
又 ， ， ， .
2 6 2
故0错≤误  .≤2 ∴ 4≤(4−  ) ≤16 ∴ |    <  1,  2>| ∈ 6 3
（几何法）记棱 ， ， ， ， 中点分别为 ， ， ， ， ，易知 平面 ，

则 ，若  1  1 平  面 1    ，则     1 ，所以   平面    ，矛盾，  故  1 ⊥ 不垂   直  于    平面 .
故   错1误 ⊥.     1 ⊥  1     1 ⊥  1    1 ⊥  1     1  1  

连接 ， ，易知 ， ，设正方体棱长为2，知 ， ，
记    1    ， ⊥     ⊥  1    = 5  1  =2 2
则 ， ，
=  (0≤  ≤ 2)
由 2 ， 2
=  +5  1  = (2−  ) +8
2 2
+5 = (2−  ) +8
学科网（北京）股份有限公司得 .故 正确.
7
=4∈ 0,2 
，为定值.故 正确.
1 1 1 4
过  点 −   1 作  1 =   −  1  1  于=点3∙2，∙易  △ 知  1  1  =3∙2，∙2过∙2点∙2作=3 于点  ，知 平面 ，所以 ，
则二面  角   ⊥  1  1 的  平面角为   ∠ ⊥  1  ，现在    中 ⊥ 求  解1  ∠  .  1  ⊥      ⊥  1 
设正方体棱  −长  为 1  2，−  1 ，则    ，△    ∠       ，只需求 取值范围即可:

2
记   ，=则    =  ，+4 ∴       =   =  2 +4 
分析

易
=
知
(0
在
≤ 
时
≤
取
2
到
)
最大

值1

，
=
此

时
= 
，
在 时  取到  1最小  值，此时  ， =  1  1 x
又  1  即  =  ， 1  2
1  1  1  1 2 4 5
1  1 =  1   1  1 =2∙ 5= 5
即 ，
1  2  1  1 2 5
1  1 =  1   1  2 =2∙ 5= 5
所以 即 ，
2 5 4 5 4 2 16
5 ≤  ≤ 5 5≤  ≤ 5
∠ .
4 6 2
∴故   错  误  .   =  2 +4= 1−  2 +4 ∈ 6 ,3

12.【解析】法1： ，又 ，知 在 上递减，在
1    2 ' 
上递增，又当  =  1时  ，=  2    2；=当    2  时，   =，  (  +1最) 小值   (−∞,−1，)由图可知：(当−1,+
1
∞时)， 有唯  一<解0，故   <0 ，且  >0 ，   >0 ∴  (  ) ，故=正  确−1；=−   >0
从而   =  ，设  1 =    ， 2 则  1 >0 ∴，  1 令  2 =  2    2 =  ，  易知 在 上单调递增，在
' 1−    '
2
1  2 =  (  >0)   =    =    =0 ⟹  =    (0,  ]
上单调递减， ， ， ，故 正确；
1    1
[  ,+∞) ∴   ≤   =  ∴  1  2 ≤  ∴     ≤  1  2 
， ，易知 在 上递减，在 上递增， ，
' 1 1 1 1 1 1
=    +1=0 ⟹  =  ∴  =    (0,  ) (  ,+∞) ∴      =   =− 
存在 ，使 ，故 错误；
1 ' ' 1
∴  =−   −1 =   =0 
令 ，令 ，则 ，易知 在 上递增，又
'  1 ' ' 1
−   =  (  −    )   =  −      =  −    (0,+∞)  2 =
， ， 存在 ，使 ， 在 上递减，在 上递增
' 1 '
−2<0  1 =  −1>0 ∴  0 ∈(2,1)   0 =0 ∴   (0,  0) (  0,+∞)
（其中 满足 ，即 ）. ，
0 1  0 1
0  =  0  0 =，−    0 ∴   ≥  ，  0 =  −，  故   0 正=确  0+  0 >2
故选
∴   −   =  ∙   >2  ∴   −   >   ∴  ≤2  .
.
学科网（北京）股份有限公司法2：对于选项 可以采用如下方法，
由 ，   得 ， ，故 ， 分别为函数 ， 与 的两个交
1  1    
1  =   2    2 =   =  1    2 =  2  1  2  =   =     =  (  >0)
点的横坐标，由对称性可知点 坐标为 ， ，从而 ， ， ，以

下同解法1.  (  2,  1) ∴  2 =    2 =  1  1  2 =   1 =    2 ∴  1  2 = 
13.
【详−解6】二项式 的展开式通项公式为 ， ， ，
6  6−   ∗
当r =5时， (  −  ) ，所  以  +所1 求=系  6数  为(−.  )  ≤6  ∈ 
5 6−5 5 5
故答案为：  6 =  6  (−  ) =−6   −6
14. 10 −6
【解析】 ， ，
1 1 1
=     +  −4 ∴  −  =sin −  +−  −4=−     −  −4
 f(x) f(x)8，又 f(3)2，则 f 38210，故答案为：10．
1
15. 
3
根据偏导数的定义，在求对x偏导数时， f(x,y)中y可作为常数，即函数可看作是x的一元函数求导，同理
在求对y偏导数时， f(x,y)中x可作为常数，即函数可看作是y的一元函数求导，
所以 f(x,y)2x2y， f(x,y)2x3y2，
x y
1 1 1
f(x ,y ) f(x ,y )2x 2y 2x 3y2 3y22y 3(y  )2 ，最小值是 .
x 0 0 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3
16. 【解析】易知 的方程为 ，从而直线 过定点 ，从而 在直线 上的射影 的轨迹
就是 ： ，当 与 相切时，斜率分别为 ， ，由图可知
=2(  −2)    (0,2)    
2 2
. ⊙   +  −3 =1   ⊙  3 − 3  ∈ −∞,− 3 ∪[ 3,+
∞)
17．
【详解】解：（1）设等差数列a 的公差为d，则a a d，a a 2d ，…………1分
n 2 1 3 1
学科网（北京）股份有限公司3a 3d 3 a 2 a 4
由题意得 1 ，解得 1 或 1 ，…………………………3分
a
1
a
1
da
1
2d8 d 3 d 3
所以由等差数列通项公式可得a 23(n1)3n5或a 43(n1)3n7．
n n
故a 3n5或a 3n7；………………………………5分
n n
（2）当a 3n5时，a ,a ,a 分别为1，4，2，不成等比数列；…………6分
n 2 3 1
当a 3n7时，a ,a ,a 分别为1，2，4成等比数列，满足条件．
n 2 3 1
3n7, n1,2
故 a  3n7   ，……………………………………………………7分
n  3n7, n3
n(3n11)
记数列a 的前n项和为S ，S  .……………………………………8分
n n n 2
T  a  a  a   a a  a a  S 2S 105.………………10分
20 1 2 20 1 2 3 10 10 2
bc sinBsinC
18．【详解】（1）2asinB  3b，由正弦定理， 3sinBcosB  ，……1分
a sinA
于是 3sinBsinAcosBsinAsinBsinC sinBsin(AB)，…………2分，即
3sinBsinAcosBsinAsinBsinAcosBsinBcosA，
得 3sinBsinAsinBsinBcosA，………………3分
由B(0,π)，则sinB 0，………4分
得到 3sinA1cosA，
 π 1 π  π 5π π π
根据辅助角公式可得，sinA   ，结合A 0,π  A    , ，故A  ，可得
 6 2 6  6 6  6 6
π
A ………………6分
3
1 b2c2a2
（2）法一：在ABC中，由余弦定理得：cosA  ，
2 2bc
得b2 c2 a2 bc，①……………………7分
  a
又因为BD DC，所以BDDC  ，且ADBADCπ，
2
即cosADBcosADC0，………………8分
1
△ADB和△ADC中，由余弦定理得b2c2 8 a2，②……………………10分
2
16
联立①②消去a2得b2c2 16bc2bcbc .………………11分
3
学科网（北京）股份有限公司4 3
（当且仅bc 时等号成立），
3
1 3 4 3
所以ABC的面积S  bcsinA bc .
2 4 3
4 3
所以ABC面积最大值为 .……………………12分
3
法二：延长 至 ，使 ，连 ，则∠ .
°
=     ，………   …  …=…12 8 0分
1 ° 3
△    =  △    =2  ∙  ∙sin120 = 4  
在 中， ∠ 即 ， ，
2 2 2 2 2 16
当且 △ 仅   当   时  +  成  立−，2  …  …∙  …  …∙s…in…1  0  分  =    +  +   ≥ 2   +   =3   ∴   ≤ 3
=  “=” 4 3
，当且仅当 时， 的面积最大值为 .…………12分
3
3 3 16 4 3
∴  △    = 4   ≤ 4 × 3 = 3  =  △   
19．
【详解】（1）取PC中点M ，连接FM,BM.
1
在PCD中，M,F分别为PC,PD的中点，所以MF //DC,MF  DC.
2
1
在菱形ABCD中，因为AB//DC,BE  DC，
2
所以BE//MF,BEMF.
所以四边形BEMF为平行四边形，所以EF //BM .
又因为EF 平面PBC,BM 平面PBC，
所以EF //平面PBC.（判定定理3条，证明线线平行2分，其余两条1分）……………………4分
（2）因为PD 平面ABCD,DB,DC,DE平面ABCD，
所以PDDB,PDDC,PDDE.
连接BD，因为PB2 PD2BD2,PC2 PD2DC2，且PBPC，
所以BDDC，在菱形ABCD中，AB  BD  AD，即ADB为正三角形.
又因为E为AB中点，所以DEDC，………………………………6分
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
学科网（北京）股份有限公司又因为AB∥DC,DE AB.
因为ADB为正三角形且 AD2 3 ，所以DE3.
设F0,0,t(t 0),E3,0,0,C  0,2 3,0  ，……………………7分
 
则EF 3,0,t,EC   3,2 3,0  ，
ur
根据条件，可得平面FCD的法向量为n 1,0,0.……………………8分
1
uur
设平面EFC的法向量为n x,y,z，
2
 
 n EF 0 3xtz0
则 2  ，所以 ，
n EC 0 3x2 3y0
2

 
取x2t，则y 3t,z6，所以n  2t, 3t,6 ，………………10分
2
由题意，二面角EFCD的大小为45，
 
  n n 2t 2
所以 cos＜n,n＞ 1 2   ，解得t 6（舍负）.…………11分
1 2 n n 3t24t236 2
1 2
因为F 是PD的中点，所以PD的长为12.…………12分
经检验符合题意.
1 1 1 3
20. 【解析】（1）得2分即回答1题正确或者回答2题都错误，所以 p2    ，……1分
2 2 2 4
得3分即回答2题1题正确，1题错误或者回答3题都错误，
1 1 1 1 1 5
所以 p3C1      ；………………3分
2 2 2 2 2 2 8
（2）方法1：由题意可知，X 的所有可能取值为n,n1,n2,,nk,,2n.…………4分
n
k nk n
p(X  nk) Ck    1    1 1  Ck    1   0 k  n,nN* …………5分
n n 2  2 n 2
故X 的分布列如下
n
学科网（北京）股份有限公司X n n1  nk  2n
n
n n n n
1 1  1 1
P C0  C1   Ck    Cn  
n  2 n  2 n  2 n  2
n n n n
1 1 1 1
所以EX   nC0   n1C1  nkCk   2nCn   ……8分
n n  2 n  2 n  2 n  2
n
    1 2      n  C n 0 C n 1 C n k C n n C n 1 2C n 2 kC n k nC n n   …………9分
n!
n1!
又由kCk  k  n  nCk1………………10分
n k!(nk)! (k 1)!(nk)! n1
C0 C1Ck Cn 2n，C0 C1 Ck Cn1 2n1 …………11分
n n n n n1 n1 n1 n1
n n
E(X n )    1 2      n2n n  C n 0 1 C n 1 1 C n n   1 1       1 2      n2n n2n1   3 2 n …………12分
方法2：设回答n次，其中正确回答次数为

，由于正确回答每题的概率都为 1 ，且每次回答问题是相互独
2
立的，故
 B(n,
1
)
，…………5分
2
又由X 2(n)n …………7分
n
从而X 的分布列及数学期望分别如下
n
k nk n
1  1 1  
P(X nk) P(k)Ck     1  Ck    0k n,nN* ……10分
n n 2  2 n 2
1 3n
…………12分
E(X )E(n)nE()nn  .
n 2 2
21. 【解析】（1）易知 ，
1
△    =  △    =2∙2∙   ∙   =2   ≤2  =2  =2 5
，故椭圆的方程为 .…………4分
2 2

∴（  2）=法51：设 的方程为 9 + 5 =1， ，由
=2+     1,  1 ,   2,  2
，…………5分
=2+  
2 2 2 2

,⟹ 5  +9  +20   −25= 0
9 + 5 =1
， ， ，…………6分
20  25  1+  2 4 
∴  1+  2 =−5  2 +9  1∙  2 =−5  2 +9 ∴  1∙  2 = 5
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ，…………8分
−  1  −  2
( 9 2,  )  2 = 2 5   1+  3 = 5 2−   1+ 5 2−   2
2
2 2  25−10   1+  2 +4   1∙  2
∴ = ∙
1+  3 5 2 10  − 2   +5  1+  2 +4   1∙  2
20  2 25
25−10  ∙ − 2 +4  ∙ − 2
5  +9 5  +9
= ∙
5 20  25
10  − 2   +5 ∙ − 2 +4  ∙ − 2
5  +9 5  +9
2 2
25 5  +9 +4 
= ∙ 2 2
5 10  5  +9 +4 
5 1
…………1=2分∙ = .
5 2  2
法2：设 的方程为 ， ，由
=2+     1,  1 ,   2,  2
，…………5分
=2+  
2 2 2 2

,⟹ 5  +9  +20   −25= 0
9 + 5 =1
， ，………………6分
20  25
∴  1+  2 =−5  2 +9  1∙  2 =−5  2 +9
，即 ，…………………7分
1+  2 4  4 
∴  1∙  2 = 5  1+  2 = 5  1∙  2
设 ，则
9
(2,  )
5
1+  3 =  −  1 +  −  2 = 5  −   + 2  1+  2 +2   1∙  2
5 5 25 5  2
−   1 −   2 −  1+  2 +   1∙  2
2 2 4 2
5  −   + 5 ∙ 4   1∙  2+2   1∙  2 5  − 4   2  1∙  2
2 5 5
= =
25 5  4  2 25 2
4 −， 2 … 5 …  … 1∙…  2 …+…  …  1 …∙  1 2 1分 4 −   1∙  2
4 
= 5 =2∙  2
.…………12分
2 1
∴  1+  3 =2
22. 【解析】
（1）依题意得， f(0)1a，此时 f(x)sin2 xexx， f(x)sin2xex1，……1分
则切线斜率为 f(0)2，…………2分
故切线方程： y12(x0)，即 y 2x1…………3分
（2）时 ， ，则 ，
2  ' 
=−1   =     − 
，
−
…

…4

分
=    2  −  −1
'  
∴   =    2  −  −1≤−  <0
学科网（北京）股份有限公司在 上单调递减，…………5分
' 
∴   0,2
又 ， ， 值域为 .…………6分

2  2 
0 =−1  2 =1−  −2 ∴   1−  −2,−1
（3） ，
1 1 
=   +2    2  −  −，2=   −  −  (0<  ≤1)
' 
； . 减区间为 ，增区间为 ，……7
=   −1=0 ⟹  =−   
' '
分
>0 ⟹  >−      <0 ⟹  <−      −∞,−    −    ,+∞
.
∴
当
≥
时

，
−    =1+    −
，

， 在 上有且仅有一个零点；……8分
当  =1 1时+，   令  −  =0 ∴  (  )≥ 0 ∴  (  )，(−∞,+∞) ， 在 上单调递增，
' 1 1− 
0<  <1 ，…   ……=…1+9分    −  (0<  <1)   =  −1=  >0 ∴   (0,1)
∴又   <  ，1 =0 在 上有一个零点，又 ，…………11分
1
0 =0 ∴   (−∞,−    )  −2    =  +2    − 
令 ，则 ， 在 上单调递减，
2
1 '  −1
=  −  +2，    (0<  <1) ，   =在−  <0 ∴  上  有一(0个,1零) 点.……12分
∴
综

上

所述
>
，
1 =0
时，
∴  −
有
2  
一

个
>
零
0
点，
∴   (−
时

，
,−2 
有

)2个零点.
=1  (  ) 0<  <1  (  )
注：若用无穷远代替x2lna，该2分不给
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