文档内容
高三数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：小题考查集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数
列、平面向量，大题考查高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知命题 ， ，则p的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．定义集合 ．已知集合 ， ，则 的元素的个数
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知函数 的图象在 处的切线的斜率为 ，则（ ）
A． 的最小值为6 B． 的最大值为6
C． 的最小值为4 D． 的最大值为4
4．已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的1.2倍，则该公
司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（参考数据：取 ）
A． 万元 B． 万元 C． 万元 D． 万元
5．设函数 的定义域为 ，且 是奇函数， 是偶函数，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．设 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ， ，则“曲线 关于直线 对称”是
“曲线 关于直线 对称”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以美感，激发学生对数学的兴趣．
如图，在菱形ABCD中， ， ，以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆，P是四
个半圆弧上的一动点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．3 C．5 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为1 B． ，
C． D．
10．若正项数列 是等差数列，且 ，则（ ）
A．当 时， B． 的取值范围是
学科网（北京）股份有限公司C．当 为整数时， 的最大值为29 D．公差d的取值范围是
11．若函数 的定义域为D，对于任意 ，都存在唯一的 ，使得 ，则称
为“A函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 是“A函数”
B．已知函数 ， 的定义域相同，若 是“A函数”，则 也是“A函数”
C．已知 ， 都是“A函数”，且定义域相同，则 也是“A函数”
D．已知 ，若 ， 是“A函数”，则
12．定义在 上的函数 的导函数为 ， 且
恒成立，则（ ）
A．
B． ，函数 有极值
C．
D． ，函数 为单调函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设向量 在向量 上的投影向量为 ，则 ________．
14．若 ， ，则 ________．
15．若关于x的不等式 的解集恰有50个整数元素，则a的取值范围是________，这50个
整数元素之和为________．
学科网（北京）股份有限公司16．如图，已知平面五边形ABCDE的周长为12，若四边形ABDE为正方形，且 ，则当 的
面积取得最大值时， ________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
18．（12分）如图，在四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD为正方形， ，E，F，
M分别是PB，CD，PD的中点．
（1）证明： 平面PAD．
（2）求平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值．
19．（12分）已知数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
20．（12分）某商场在6月20日开展开业酬宾活动．顾客凭购物小票从6~20这15个号码中依次不放回地抽
取2个号码，第1个号码为a，第2个号码为b．设X是不超过 的最大整数，顾客将获得购物金额X倍的商
学科网（北京）股份有限公司场代金券（若 ，则没有代金券），代金券可以在活动结束后使用．
（1）已知某顾客抽到的a是偶数，求该顾客能获得代金券的概率；
（2）求X的数学期望．
21．（12分）以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的椭圆过点 ， ．
（1）求椭圆的方程．
（2）设P是椭圆上一点（异于C，D），直线PC，PD与x轴分别交于M，N两点，证明在x轴上存在两点
A，B，使得 是定值，并求此定值．
22．（12分）已知函数 有两个零点 ， ．
（1）求a的取值范围；
（2）证明： ．
高三数学试卷参考答案
1．A p的否定是 ， ．
2．B 因为 ， ，所以 ，故 的元素的个数为4．
3．C ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为4．
4．D 设第 年的销售额为 万元，依题意可得数列 是首项为a，公比为
1.2的等比数列，则该公司从第1年到第11年的销售总额为
万元．
5．C 因为 是奇函数，所以 ，则 ．又 是偶函数，所以
，所以 ．
6．A 因为 ，所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ．又 ， ，所以 ，即 或
，即 （舍去）．
7．A 令 ，得 ，所以曲线 关于直线
对称．令 ，得 ，所以曲线
关于直线 对称．因为 真包含于
，所以“曲线 关于直线 对称”是“曲线 关于直线
对称”的充分不必要条件．
8．A 如图，设 ， ，设P是直线EF上一点，令 ，则 ，
．因为P是四个半圆弧上的一动点，所以当EF与图形下面半圆相切时， 取得最
大值．设线段AB的中点为M，线段AC的中点为 ，连接MP，连接 并延长使之与EF交于点 ，过
M作 ，垂足为N．因为 ， ，所以 ，
，则 ．
由 ，得 ，故 的最大值为 ．
学科网（北京）股份有限公司9．ACD ，A正确．因为当且仅当 时， 取得最小值，且
最小值为1，所以 ，所以 ，B错误．因为 ，所以
，又 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
，C正确．
因为 ，所以 ，所以，D正确．
10．ABC 当 时，公差 ， ，A正确．因为 是正项等差数列，所以
，且 ，所以公差d的取值范围是 ，D错误．因为 ，所以 的取值范围
是 ，B正确． ，当 为整数时， 的最大值为29，C正确．
11．BD 对于选项A，当 时， ，此时不存在 ，使得 ．A不正确．对于
选项B，由 ， 的定义域相同，若 是“A函数”，则对于任意 ，都存在唯一的
，使得 ，则对于任意 ，都存在唯一的 ，使得 ，所
以 也是“A函数”．B正确．对于选项C，不妨取 ， ， ，令
，则 ，故 不是“A函数”．C不正确．对
于选项D，因为 ， ，是“A函数”，所以 在 上恒成立．
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ，且 ，即对于任意 ，都存在唯一的
，使得 ，因为 ，所以
，由 ，解得 ．D正确．
12．AD 设函数 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，B错误，D正确．
从而 ，即 ，因为 ，所以 ， ，所以
，C错误，A正确．
光速解法：取 ，满足 且 ，则
， ，函数 为单调函数．
13．1 向量 在向量 上的投影向量为 ，则
，解得 ．
14． 因为 ，所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，所以 ， ，
所以 ．
15． ； 或1625 不等式 等价于不等式 ．当
时， 的解集为 ，不合题意；
当 时， 的解集为 ，则50个整数解为 ， ，…，5，6，所以
，这50个整数元素之和为 ；
当 时， 的解集为 ，则50个整数解为8，9，…，56，57，所以 ，
这50个整数元素之和为 ．
综上，a的取值范围是 ，这50个整数元素之和为 或1625．
16． 过点C作 ，垂足为F．设 ，则 ，因为
，所以 ，则 ．由 ， ，得 ．在
中， ．记 的面积为S，则
．设函数 ，则
，令 ，得 或 ．当
时， ；当 时， ．故当 时，
学科网（北京）股份有限公司取得最大值，则S取得最大值，此时 ．
17．解：（1）因为 ，所以 ． 2分
又 ，所以 ． 3分
因为 ，所以 ． 4分
又 ，所以 ， ． 5分
（2） 的面积 ，则 ． 7分
由 ，得 ， 9分
所以 ，故 的周长为 ． 10分
18．（1）证明：取PA的中点N，连接EN，DN，因为E是PB的中点，所以 ， ．1分
又底面ABCD为正方形，F是CD的中点，所以 ， ，所以四边形ENDF为平行四边形，
所以 ． 3分
因为 平面PAD， 平面PAD，所以 平面PAD． 4分
（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令 ，则 ， ， ， ， ． 5分
从而 ， ， ． 6分
学科网（北京）股份有限公司设平面AMF的法向量为 ，则 ，令 ，得 ． 8分
设平面EMF的法向量为 ，则 ，令 ，得 ． 10分
． 11分
故平面AMF与平面EMF的夹角的余弦值为 ． 12分
19．解：（1）当 时， ． 1分
当 时， ， 3分
即 ， 4分
当 时，上式也成立，
所以 ． 5分
当 时，也符合 ，所以 ． 6分
（2）由（1）知 ． 7分
， 8分
， 9分
学科网（北京）股份有限公司则 ， 11
分
所以 ． 12分
20．解：（1）当 时，该顾客能获得代金券．设“a是偶数”为事件A，，“ ”为事件B，则
， 2分
， 3分
所以 ，所以当顾客抽到的a是偶数时，该顾客能获得代金券的概率为 ． 4分
（2）X可能的取值为0，1，2，3．
当 时， ，则 ． 5分
当 时， ，若 ，则 ．对每一个a，b有 种不同的取值，则
共有 种可能的取值． 6分
若 ，对每一个a，b有 种不同的取值，则 共有 种可能的取值，所以
． 7分
当 时， ．
若 ，则 ．对每一个a，b有 种不同的取值，则 共有 种情况．
若 ，则 ， 共有6种可能的取值．所以 ． 9分
当 时， ， 只有 ， ， 这3种情况，所以
． 10分
学科网（北京）股份有限公司所以 ． 12分
21．（1）解：设椭圆方程为 ， 1分
则 ，解得 ， 3分
所以椭圆的方程为 ． 4分
注：若直接设 得到 ，扣1分．
（2）证明：设 ， ， ，
直线 ，令 ，得 ． 5分
直线 ．令 ，得 ． 6分
． 8分
令 ，
令 ， ，得 ， ， 10分
则 ．
故存在 和 ，使得 是定值，且定值为 ． 12分
22．（1）解：令 ，得 ，则 ． 2分
学科网（北京）股份有限公司令函数 ，则 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 ． 3分
令函数 ，则 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
． 4分
因为当 时， ，当 时， ， 5分
依题意可得方程 有两个不相等的正根，所以 ，即a的取值范围是 ． 6分
（2）证明：令函数 ，则 ，
所以 在 上单调递减． 7分
因为 ，所以当 时， ；当 时， ． 8分
不妨假设 ，则由（1）知 ，所以 ， ，
所以 ，则 ， 9分
，则 ， 10分
所以 ， 11分
因为 ，所以 ． 12分
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