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2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考专用）02
数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A C A B B D CD AC ABD ABD
13．5 14．20
15．12 16．③④
17．【详解】（1）由题意可知 ， ，
所以 ，（2分）
又因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .（4分）
（2）由（1）可知 ， ，所以 ， ，（5分）
所以由三角函数的定义可得 ， ，
， ，（8分）
所以 .（10分）
18． 【详解】（1）根据题意，设该等比数列的公比为q，
若 ，（2分）
则有 或 或 .（4分）
又由数列{a}是递增的等比数列，则 ，则有 ，
则数列{a}的通项公式 ；（6分）（2）由（1）可得 ，则 ，
则 ，（8分）
则
.（12分）
19．【详解】（1）取 的中点 ，则 ，（1分）
又 平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ， 平面 ，
，（3分）
， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
，（5分）
又 .（6分）
（2）在平面 内过 作 的垂线
以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ，，（7分）
设平面 的法向量为 ，
，取 .（8分）设 ，
设平面 的法向量为 ，
，（10分）
平面 与平面 夹角的余弦值是 ，
，
，
或 （舍），
.（12分）
20．【详解】（1）因为点 为线段 的垂直平分线与半径 的交点，
所以 ，所以 ，（2分）
所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中 ，
所以曲线 的方程为 ．（4分）
（2）由已知得 ，所以直线 的方程为 ，所以 点的坐标为 ．（5分）
当直线 的斜率不存在时， ，
或 都与已知不符；（6分）
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，由 得 ，
易知 ，则 ，（8分）
，
由 的面积是 面积的 倍可得 ，化简得 ，即 ，（10分）
又 ，所以 ，即 ，也就是 ，
所以 ，
解得 ，
所以直线 的方程为 ．（12分）
21．【详解】（1）解：由函数 ，可得 定义域为 ，（1分）
且 ，（2分）
令 ，可得 ，所以 单调递增，（3分）
又因为 ，（4分）
所以当 时， ，可得 ， 单调递减；
当 时， ，可得 ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，无极大值. （5分）
（2）解：由 ，因为 且 ，可得 ，（6分）
令 ，
可得 ，
因为 ，即 或 ，又因为方程 的两根都是负数根（舍去），
所以 ，可得 ；（8分）
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 取得极小值，同时也为 在 上的最小值，（10分）
即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故当 时， 在 恒成立. （12分）
22．【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意可得： ，解得 或 （舍去），
所以 .（4分）
（2）由（1）可得 ，（5分）
当 为奇数时，则 ，
设 ，
则 ，（6分）
两式相减得
，所以 ；当 为偶数时，则 ，
设 ，
所以 ；（8分）综上所述： ，（10分）
当 为奇数时，则
；
当 为偶数时，则
；
综上所述： .（12分）公众号：高中试卷君
