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2024届新高三开学摸底考试卷（全国卷）
理科数学·参考答案02
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A D B B A C D D A A D
13．
14． /0.75
15．
16． /
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
又由 ， 得 ， ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
（2）由（1）得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．
18．(1)证明见解析
(2)【详解】（1）设BD交AC于点O，连接EO，FO，
因为四边形ABCD为菱形，所以 .
因为ED 平面ABCD,AC 平面ABCD，所以 .
又 ， 平面BDEF，所以 平面BDEF；
又 平面BDEF，所以 .
设FB=1，由题意得ED=2， .
因为FB//ED，且 面 ，则FB 平面ABCD，
而 平面ABCD，故 ， ，
所以 ， ， .
因为 ，所以 .
因为 ， 平面ACF，所以EO 平面ACF.
又EO 平面EAC，所以平面EAC 平面FAC.
（2）取EF中点G，连接OG，所以OG//ED，OG 底面ABCD.
以O为原点，以 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为 ，由（1）中所设知， ，
所以， ,
所以 .
所以 ， ， ，
设平面FAE的一个法向量为 ，
则 ，
所以 ；平面AEC的一个法向量为 ，
则 ，所以 ；
所以 ，
由图形可知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的大小为 .
19．(1)
(2)
(3)分布列见解析，40
【详解】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满
意，一个不满意，
可能的结果共有： （种）
三名顾客产生的反馈结果总共有： （种）
则 ，∴购物中心得分为50分的概率为
（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则
， ，
（3） 可能的取值为2、3、4、5、6，
，2 3 4 5 6
∵ ，∴ ．
20．(1)
(2) 是定值，定值为 .
【详解】（1）依题意， ， ， ， ，
所以 ，
所以椭圆C的标准方程为： .
（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
，
设 ， ，则 ， ，
所以.
所以 为定值 .
21．(1) ；
(2)证明见解析
【详解】（1）当 时， ，则 ，
所以 ， ，
所以 在点 处的切线方程为 ，
即
（2）证明：由 ，可知 ，
因为 （ ）是 的极值点，
所以 方程 的两个不等的正实数根，
所以 ， ，
则
．要证 成立，
只需证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，设 ，则 ，即证 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
所以 ，故 ．
22．(1)曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的普通方程为 ；
(2) .
【详解】（1）曲线 的极坐标方程为 ，即 ，
则曲线 的直角坐标方程为 ，
把参数方程平方相加得曲线 的普通方程为 .
（2）易知点 在直线 上，且该直线的斜率为 ，倾斜角为 ，
则曲线 的参数方程为 （ 为参数），
联立曲线 的参数方程与曲线 的普通方程得 ，
设点 ， 在直线 上对应的参数分别为 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
.23．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题知 ，其函数图象如图所示，
所以， .
（2）由（1）可知 ，则 ，
解法一：利用基本不等式：
，
当且仅当 时取等号.
所以， .
解法二：利用柯西不等式：
，
当且仅当 时取等号.
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