文档内容
石家庄市 2025 届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测
数学
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足 ，则复数z的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面向量a，b满足 ，且 ， ，则向量a，b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
6．若数列 为等差数列， 为数列 的前n项和， ， ，则 的最小值为（
）
A． B． C． D．7．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两
点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．4
8．已知函数 为定义在R上的奇函数，且在 上单调递减，满足
，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知实数a，b，c满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 在 上单调递增
B．若 ，且 ，则函数 的最小正周期为
C．若 的图象向左平移 个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则 的最小值为3
D．若 在 上恰有4个零点，则 的取值范围为
11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点 满足到两个定点 ， 的距
离之积为9，则下列结论正确的是（ ）A．
B．若直线 与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
C． 周长的最小值为12
D． 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．在等比数列 中， ， ，则 ____________．
13．已知函数 ，若 与 的图象相切于A、B两点，则直线
的方程为____________．
14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中
最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平
面将空间分成____________部分（用数字作答）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知抛物线 的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，A到抛物线焦
点的距离为 ．
（1）求抛物线C的方程；（2）若过点F的直线l交抛物线C于B、D两点（异于O点），连接 、 ，若 ，
求 的长．
16．（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱 中， ， ， ， ，
．
（1）设过点G、B、D的平面交直线 于点M，求线段 的长；
（2）若 ，当二面角 为直二面角时，求直四棱柱 的体积．
17．（本小题满分15分）
在 中， ， ，点D在边 上，且 ．
（1）若 ，求 的长；
（2）若 ，点E在边 上，且 ， 与 交于点M，求 ．
18．（本小题满分17分）
已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）设方程 的所有根之和为T，且 ，求整数n的值；（3）若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分17分）
母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个
形象且精妙的比喻．
对于任意数列 ，即用如下方法与一个函数联系起来：
，则称 是数列 的生成函数．
例如：求方程 的非负整数解的个数．
设此方程的生成函数为 ，其中x的指数代表 的值．
，则非负整数解的个数为 ．
若 ，则 ，可得 ，于是可得函数 的收缩
表达式为： ．
故
（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）
则
根据以上材料，解决下述问题：
定义“规范01数列” 如下： 共有 项，其中m项为0，m项为1，且对任意 ，
，不同的“规范01数列”个数记为 ．
（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；
①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．
（2）规定 ，计算 ， ， ， 的值，归纳数列 的递推公式；
（3）设数列 对应的生成函数为
①结合 与 之间的关系，推导 的收缩表达式；②求数列 的通项公式．
石家庄市 2025 届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测
数学答案
一、单选题：
1-5CABCD 6-8BAD
二、多选题：
9．BCD 10．ABD 11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．16 13． 14．23
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）由题意得 （2分）
解得 ， （3分）
故抛物线方程为 ． （5分）
（2）由题意得直线l的斜率不为0，设直线 ，与
联立得 ，由韦达定理得 ， ① （7分）
设 ， ，过O点做l垂线，垂足为G．
由 ，得 ，即
由 得 ② （9分）
由①②联立上式得 ， ， （11分）
． （13分）16．证明：（1）连接 ，由题意可得 ， （2分）
又因为 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 ，由平行传递性可知 （4分）
所以M为靠近 的 三等分点， （6分）
（2）如图，设 ，连接 ， ，
由题意得 ， ， ，故 面 ，
同理可证 面 ，故 ， ，
所以 为二面角 的平面角 （8分）
设 ，由二面角 为直二面角可知 ，
由（1）可得 ，故 ， ，
在 中，由勾股定理可得 （10分）
即 整理得 ，解得 （12分）
题设可知 ，则 （14分）
所以 （15分）
方法二：向量法：设直线 与直线 交于点O，以O为坐标原点，以 为x轴，以 为y轴建立如图所示的空间直
角坐标系： ．
在 中，∵ ．由射影定理得：
， ， ，设 ，则：
， ， ， （8分）
设平面 的一个法向量为
则： ，即： ，∴
令 ，则 ，……
∴ ， （10分）
设平面 的一个法向量为
则： ，即： ，∴
令 ，则 ，
∴ ， （12分）当二面角 为直二面角时， ，即： ，得： ． （13分）
∴ （15分）
17．解：（1）设
在 中， ① （2分）
在 中，由余弦定理
② （4分）
所以，
所以， ， （6分）
（2） （7分）
（9分）
（11分）
（13分）
（15分）18．解：（1） ， （2分）
， ， 单调递减，
， ， 单调递增， （3分）
； （4分）
（2）方程 可化简为
方程 的根就是函数 的零点，
易知 在 ， 上单调递增 （5分）
因为 ， ，
所以函数 在 有唯一零点 ，且 （7分）
因为 ， ，
所以函数 在 有唯一零点 ，且 （9分）
则 ，因此， ． （10分）
（3）设 ，则当 时 恒成立，
（12分）
①由（1）得 ，
当 时，， ， 单调递减，
， ， 单调递增，
∴ （14分）
②当 时， ，这与 矛盾， （16分）
综上， ． （17分）
19．解析：
（1）由题意得①，③是“规范01数列”， （2分）
对于②，由于 时， ，故②不是“规范01数列”； （3分）
（2） ， ， ， ； （每个1分）（7分）
“规范01数列” 中，首项 ，若 同时满足：
①当 时， ；②当 时， ，
此时可将 划分为两部分，即 和 ，由于 且 ，则
可构成一个“规范01数列”，所以数列 的递推公式为：
（9分）
（注：学生由 得出 也可给到10分）
（3）①
∴ （10分）
即由于
当 时， （舍去）
当 时， ，满足题意
故 的收缩表达式为 ； （12分）
②
（14分）
（15分）
故数列 的通项公式为 （17分）（注：其余方法得出 均可给到17分）
