文档内容
2024 届高三年级第二次调研测试数学学科试卷
命题人：戴丽美 审题人：张伟萍
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ： ，则 的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知正实数a，b满足 ，则 的最小值是（ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 36
3. 已知函数 的值域为R．则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数 对 ， ，满足
，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知定义在R上的函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）A. B. C. D. 1
6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且 ，点E为DC的中点，
则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 与函数 的图象上至少存在一对关于 轴对称的
点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上没有零点，则 的取值范围
是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为
D. 的最大值为
10. 下列说法中错误的为
A. 已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
B. 向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若 ，则 在 方向上的正射影的数量为
D. 三个不共线的向量 ， ， ，满足
，则 是 的内心
的
11. 在现代社会中，信号处理是非常关键 技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，
而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数． 的图象就可以近似的模拟某种信号
的波形，则下列说法正确的是（ ）A. 函数 为周期函数，且最小正周期为
B. 函数 为偶函数
C. 函数 的图象关于直线 对称
的
D. 函数 导函数 的最大值为7
12. 设函数 ，已知 在有且仅有5个零点，则（ ）
A. 在 有且仅有3个极大值点
B. 在 有且仅有2个极小值点
C. 在 单调递增
D. ω的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数 在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意 ， ，…， 都有
，若函数 在区间 上是凸函数，
则在△ 中， 的最大值是______.
14. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，且 的面积为 ，则边 的值为________．
15. 如图，在 中， ， ，P为CD上一点，且满足 ，若的面积为 ，则 的最小值为__________.
16. 若函数 的图象经过点 和 ，且当 时，
恒成立，则实数a的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知函数 在 处的切线为 .
（1）求实数 的值；
（2）求 的单调区间.
18. 已知函数 的最小正周期为 .
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）若 ，求 取值的集合.
19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边
夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台
P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得 千米， 千米．（1）求线段MN的长度；
（2）若 ，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．
20. 已知函数 有两个极值点 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .
21. 设函数 .
（Ⅰ）当 ， 时， 恒成立，求 的范围；
（Ⅱ）若 在 处 的切线为 ，且方程 恰有两解，求实数 的取值范围.
.
22 已知函数 ， .
（1）求证： 在 上单调递增；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.2024 届高三年级第二次调研测试数学学科试卷
命题人：戴丽美 审题人：张伟萍
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知 ： ，则 的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解出 的解集， 的充分不必要条件是其子集，选出即可.
【详解】解：由 得 ， 的充分不必要条件是 的子集，C符合，
故选：C.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题.
2. 已知正实数a，b满足 ，则 的最小值是（ ）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】对 利用基本不等式求出 且 ，把 展开得到
，即可求出最小值.
【详解】因为正实数a，b满足 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时，即 时取等号.因为 ，所以 ，
所以 .
故 的最小值是16.
故选：B
3. 已知函数 的值域为R．则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
当函数的值域为 时，命题等价于函数 的值域必须包含区间 得解
【详解】 的值域为R
令 ，则
的值域必须包含区间
当 时，则
当 时， 符合题意；
当 时， 不符合题意；
当 时， ，解得，即实数 的取值范围是
故选：A
【点睛】转化命题的等价命题是解题关键.
4. 已知函数 对 ， ，满足
，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断 是R上的增函数，列关于实数a的不等式组，即可求得实数a的取值范围.
【详解】由题意，得 是R上的增函数，
则 ，解得 ，
故选：
的
5. 已知定义在R上 函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B【解析】
【分析】
根据函数 满足 ，得到 ，再结合 ，得到
，即 的周期为4，然后利用周期结合当 时， 求解.
【详解】因为函数 满足 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 时， ，
则 ，
.
故选：B
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的综合应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
6. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且 ，点E为DC的中点，
则 （ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量线性运算、数量积运算求得正确答案.
【详解】 .
.
故选：A
7. 已知函数 与函数 的图象上至少存在一对关于 轴对称的
点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得 在 有零点，利用导数研究函数的性质
进而可得 ，即得.【详解】原问题等价于 在 有零点，
而 ，
∴ ， 单调递减， ， 单调递增，
又 ，
由 可判断 ，
因而 的值域为 ，
又 有零点，有 ，
所以 .
故选：D.
8. 将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上没有零点，则 的取值范围
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，根据定义域求出 的范围，再利用
余弦函数的图象和性质，求得ω的取值范围．
【详解】函数 的图象先向右平移 个单位长度，
可得 的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，
得到函数 的图象，
∴周期 ，
若函数 在 上没有零点，
∴ ，
∴ ，
，解得 ，
又 ，解得 ，
当k=0时，解 ，
当k=-1时， ，可得 ，.
故答案为：A.
【点睛】本题考查函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不
等关系式，求解可得，属于较难题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为
D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】先化简，得到 ，再根据三角函数的图像和性质对四个选项一一验证.
【详解】函数 .
对于A： 的最小正周期为 .故A正确；
对于B： ，所以 的图象关于直线 对称.故B正确；
对于C： ，所以 是 的一个零点.故C正确；对于D：函数 ,所以 的最大值为2.故D错误.
故选：ABC
10. 下列说法中错误的为
A. 已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
B. 向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底
C. 若 ，则 在 方向上的正射影的数量为
D. 三个不共线的向量 ， ， ，满足
，则 是 的内心
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；
对于B，由 ，可知 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底；
对于C，利用向量投影的定义即可判断；
对于D，由 ，点 在角 的平分线上，同理，点 在角 的平分线上，点 在角
的平分线上，进而得出点 是 的内心.
【详解】对于A，已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，可得 ，且 与 不共线， ，
即有 ，且 ，
解得 且 ，则实数 的取值范围是 且 ，
故A不正确；
对于B，向量，， ，
，
向量 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B正确；
对于C，若 ，则 在 上的投影为 ，故C错误；
对于D， 表示与 中角 的外角平分线共线的向量，
由 ，可知 垂直于角 的外角平分线，
所以，点 在角 的平分线上，
的
同理，点 在角 平分线上，点 在角 的平分线上，
故点 是 的内心，D正确.
故选：AC.
【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示
和向量投影的定义等知识，属于中档题.
11. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，我们通过每天都在使用的电话或者互联网就能感受到，
而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数． 的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 为周期函数，且最小正周期为
B. 函数 为偶函数
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 函数 的导函数 的最大值为7
【答案】CD
【解析】
【分析】利用周期的定义可判断A选项的正误；利用奇偶性的定义可判断B选项的正误；利用函数的对称
性可判断C选项的正误；求得函数 的导数，求出 的最大值，可判断D选项的正误.
【详解】对于选项A：因为
，
即 ，可知函数 的最小正周期不为 ，故A错误；
对于选项B：因为 为奇函数，所以 ，
所以 也是奇函数，
故B错误；
对于选项C：因为
，
即 ，所以函数 的图像关于直线 对称，故C正确；对于选项D：因为 ，
所以 ，
因为 的取值范围均为 ，
可知 ，当 时， ，
所以 的最大值为7，所以D正确．
故选：CD．
12. 设函数 ，已知 在 有且仅有5个零点，则（ ）
A. 在 有且仅有3个极大值点
B. 在 有且仅有2个极小值点
C. 在 单调递增
D. ω的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 在 有且仅有5个零点，可得 可求出 的范围，然后逐个分析
判断即可.
【详解】因为 在 有且仅有5个零点，如图所示，所以 ，所以 ，所以D正确，
对于AB，由函数 在 上的图象可知， 在 有且仅有3个极大值点，有3
个或2个极小值点，所以A正确，B错误，
对于C，当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 单调递增，所以C正确，
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数 在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意 ， ，…， 都有
，若函数 在区间 上是凸函数，
则在△ 中， 的最大值是______.
【答案】 ##
【解析】【分析】根据题设凸函数的性质可得 即可求最大值，注意等号
成立条件.
【详解】由题设知： ，
∴ ，当且仅当 时等号成立.
故答案为： .
14. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，且 的面积为 ，则边 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系以及正弦，余弦定理求得角 的值，再利用正弦定理可得
，结合 的面积求出边 的值.
【详解】解： ，
，
即 ，
由正弦定理角化边得 ，
，由正弦定理 ，
即 ，
化简得 ，
又 的面积为
解得
故答案为： .
15. 如图，在 中， ， ，P为CD上一点，且满足 ，若
的面积为 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】用 表示 ，利用这两者共线可求 ，求出 后利用基本不等式可求其最小值.
【详解】因为 ，故 ，所以 ，
而 ，
因为 与 为非零共线向量，故存在实数 ，使得 ，
故 ，
所以 ，所以 ，
由 的面积为 可得 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故 ，
为
故答案 ： .
【点睛】思路点睛：与三角形有关的向量问题，如果知道边与夹角的关系，则可以考虑用已知的边所在的
向量作为基底向量，其余的向量可以用基地向量来表示，此时模长的计算、向量的数量积等都可以通过基
底向量来计算.
16. 若函数 的图象经过点 和 ，且当 时，
恒成立，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】【分析】先根据 将 转化为 来表示，由此化简 的解析式，对 进行分类讨
论，根据 恒成立列不等式来求得 的取值范围.
【详解】因为 经过点 和 ，所以 ， ，可
得 ，故
.
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，可得 ，
所以 ，要使 恒成立，
只要 ，即 ，又 ，从而 ；
当 时， ；
当 时， ，所以 ，
所以 ，要使 恒成立，
只要 ，解得 ，又 ，从而 .
综上所述，a的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】求解不等式恒成立的问题，主要解题思路是转化为求函数的最值来进行求解，如本题中
恒成立，就转化为 的值域，也即三角函数的值域来进行求解.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知函数 在 处的切线为 .
（1）求实数 的值；
（2）求 的单调区间.
【答案】（1） （2）减区间为 增区间为
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函
数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
【详解】（1）依题意可得：
又 函数 在 处的切线为 ，
解得：
（2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx，
当 时，f'（x）≤0，f（x）单调递减；
当 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴ 的单调减区间为 的单调增区间为 .
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题．
18. 已知函数 的最小正周期为 .
（Ⅰ）求函数 的单调递减区间；
（Ⅱ）若 ，求 取值的集合.
【答案】（1）函数 的单调递减区间为 ；（2） 取值的集合为
.
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简
，利用正弦函数的单调性解不等式 即可求得函数
的单调递减区间；（Ⅱ） ，即 ，由正弦函数的性质得
，化简后，写成集合形式即可.
试题解析：（Ⅰ）
，因为周期为 ，所以 ，故 ，
由 ，得 ，
函数 的单调递减区间为 ，
（Ⅱ） ，即 ，
由正弦函数得性质得 ，
解得 所以 ，
则 取值的集合为 .
19. 如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边
夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台
P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得 千米， 千米．
（1）求线段MN的长度；
（2）若 ，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．
【答案】（1） 千米
（2） 千米
【解析】【分析】（1）在 中，利用余弦定理运算求解；
（2）在 中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得 ，进而可
得结果.
【小问1详解】
在 中，由余弦定理得， ，
即 ，可得 ，
所以线段MN的长度 千米．
【小问2详解】
设 ，因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得 ，
因为 ＝ ，
所以 ，
因此
＝ ，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取到最大值 千米．20. 已知函数 有两个极值点 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，将问题转化为 在 上有两个实数根 ， ，根据二次方程根
的分布即可求解，
（2）结合 ，代入化简式子，将问题转化 ，
为
利用导数即可求解.
【小问1详解】
,
有两个极值点 ， ，则 在 上有两个实数根 ， ，
所以 在 上有两个实数根 ， ，
则 解得 ，
故 的取值范围为 ，
【小问2详解】
由（1）知 ，且 ，，
令 ， ，
令 在 上恒成立，
所以 在 单调递减，故 ，
因此 在 单调递减，故 ，
故 ，得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
21. 设函数 .
（Ⅰ）当 ， 时， 恒成立，求 的范围；
（Ⅱ）若 在 处的切线为 ，且方程 恰有两解，求实数 的取值范围.
【答案】（I） （II）
【解析】【详解】试题分析：（1）将参数值代入得到函数表达式，研究函数的单调性求得函数最值，使得最小值
大于等于 0 即可；（2）根据切线得到 ， ，方程 有两解，可得
，所以 有两解，令 ，研究这个函数的单调性和图像，使得常函数
y=m，和 有两个交点即可.
解析：
由 ，
当 时，得 .
当 时， ，且当 时， ，此时 .
所以 ，即 在 上单调递增，
所以 ，
由 恒成立，得 ，所以 .
（2）由 得
，且 .
由题意得 ，所以 .
又 在切线 上.
所以 .所以 .
所以 .
即方程 有两解，可得 ，所以 .令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上是减函数.
当 时， ，所以 在 上是减函数.
所以 .
又当 时， ；且有 .
数形结合易知： .
点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定
理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还
需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等
式求解.
22. 已知函数 ， .
（1）求证： 在 上单调递增；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数 的导数，判断导数在 的取值范围，从而证明 的单调性；
（2）由题意可得 ，分离参数得到 ，求出 导
数，判断其单调区间，找出最小值即可.【
小问1详解】
， ， ，
由 ，有 ， ，则 ，又 ，
则 .
当 时， ， ，所以
所以当 时， ，综上， 在 上单调递增.
【小问2详解】
.化简得 .
当 时， ，所以 ，
设 ，
设 ， .
， ， ，
在 上单调递增，
又由 ，所以当 时， ， ，在 上单调递减；
当 时， ， ， 在 上单调递增，
所以 ，
故 .
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题
在定义域内，若 恒成立，即 ；
在定义域内，若 恒成立，即 .
