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天津市耀华中学 2024 届高三年级第一次月考
数学学科试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，有且只
有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上.
1. 已知集合 ， ， （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解一元二次不等式的解法，结合对数函数的单调性、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
故选：B
2. 设 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件
.
B 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解：绝对值不等式 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 .
据此可知 是 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
3. 函数 的部分图象是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶性排除B，当 时， ，排除CD，得到答案.
【详解】 ， 为奇函数，排除B
当 时， 恒成立，排除CD
故答案选A
【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.
4. 5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手
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学科网（北京）股份有限公司机的实际销量，如下表所示：
时间 1 2 3 4 5
销售量 （千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若 与 线性相关，且线性回归方程为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 由题中数据可知，变量 与 正相关，且相关系数
B. 线性回归方程 中
C. 当解释变量 每增加1个单位时，预报变量 平均增加0.24个单位
D. 可以预测 时，该商场5G手机销量约为1.72（千只）
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化判断A选项；根据已知数据得到样本中心点，
代入回归方程求解即可判断B选项；根据回归方程判断CD选项.
【详解】从数据看 随 的增加而增加，故变量 与 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数 ，
故A正确；
由已知数据得 ， ，
代入 中得到 ，故B错；
根据线性回归方程 可得 每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.24个单位，故C正
确.
将 代入 中得到 ，故D正确.
故选：ACD.
5. 已知 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可
【详解】因为 ，
而 ，且 ，
所以 .
又 ，
所以 ，
故选：A.
6. 已知 ，则 （ ）
A. 11或 B. 11或 C. 12或 D. 10或
【答案】A
【解析】
【分析】对 两边同时取对数，可解得 或 ，讨论 或 时
的值，即可得出答案.
【详解】由 ，两边取对数得 ，所
以 或 .
当 时， 8，所以 ；
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
综上， 或 ，
故选：A.
7. “送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸
箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下
9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的情况整体分为三种情况：丢失的英语书、数学书和语文书，
计算出每种情况的概率即可.
【详解】设事件A表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件 表示丢失的一箱为 分别表示英
语书、数学书、语文书．由全概率公式得
．
故选：A
8. 将函数 的图像上所有点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的
图像，有下述四个结论：
①
②函数 在 上单调递增
③点 是函数 图像的一个对称中心
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学科网（北京）股份有限公司④当 时，函数 的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ①③④ D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象变换可得 ，结合正弦函数的性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得： ，故①错误；
因为 ，则 ，且 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，故②正确；
因为 ，
所以点 是函数 图像的一个对称中心，故③正确；
因为 ，则 ，
所以当 ，即 时，函数 的最大值为 ，故④错误；
故选：B.
9. 已知函数 有且只有3个零点，则实数a的取值范围是（
）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求 时函数 的零点，再考虑 时，函数 在 的零点，由此确
定函数 在 上的零点个数，结合二次函数性质求a的取值范围.
【详解】当 时， ，
所以区间 内的任意实数和 都为函数 的零点，不满足要求；
当 时，
若 ，则 ，
令 ，可得 (舍去)，或 ，
所以 为函数 的一个零点；
若 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，
若 ，即 ，则函数 在 上有一个零点；
若 或 时，则函数 在 上没有零点；
当 时，函数 在 上有两个零点；
当 或 时，函数 在 上有一个零点，
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学科网（北京）股份有限公司因为当 时，函数 在 上有两个零点；
又函数 在 上有3个零点，
所以函数 在 上有且只有一个零点，
即方程 在 上有一个根，
由 ，
当 时，方程 的根为 (舍去)，
故 时，方程 在 上没有根，矛盾
当 时， ，
设 ，
函数 的对称轴为 ，
函数 的图象为开口向下的抛物线，
由方程 在 上有一个根可得 ，
所以 ，
所以 ，
当 时，则函数 在 上有一个零点；
又函数 在 上有3个零点，
所以函数 在 上有且只有两个零点，
即方程 在 上有两个根，
由 可得函数 的图象为开口向上的抛物线，
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学科网（北京）股份有限公司函数 的对称轴为 ，
则 ， ， ，
所以 ， ，
满足条件的 不存在，
当 时，则函数 在 上有一个零点；
又函数 在 上有3个零点，
所以函数 在 上有且只有两个零点，
即方程 在 上有两个根，
由 可得函数 的图象为开口向下的抛物线，
函数 的对称轴为 ，
则 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
故实数a的取值范围是 .
故选：B
【点睛】关键点睛：含绝对值函数的相关问题的解决的关键在于去绝对值，将其转化为不含绝对值的函数，
分段函数的性质的研究可以分段研究.
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填写在答题卡上.
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学科网（北京）股份有限公司10. 复数 （ 为虚数单位），则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用复数的运算化简复数，再利用模长的公式求解模长.
【详解】 .
所以 .
故答案为：
11. 在 的二项展开式中， 的系数为___________．
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为 ，所以由 得 ，因此
的系数为
考点：二项式定理
【方法点睛】
1．求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来
确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r）；第二步是根
据所求的指数，再求所求解的项的系数．
2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令
其为整数，再根据数的整除性来求解．
12. 若 ， ，则 ________； ________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. ## ②. ##0.6
【解析】
【分析】由 ， ，可得出 ，再结合同角平方关系即可
求出 ，从而算出 ，再由二倍角公式求出 .
【详解】 ， ，
即 ，
，
又 ，
解得 ，
，解得 ，
.
综上， 、 .
故答案为： ， .
13. 某专业资格考试包含甲､乙､丙3个科目，假设小张甲科目合格的概率为 ，乙､丙科目合格的概率均为
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学科网（北京）股份有限公司，且3个科目是否合格相互独立.设小张3科中合格的科目数为X，则 ___________；
___________.
【答案】 ①. ； ②. ## .
【解析】
【分析】根据独立事件概率的公式，结合数学期望的公式进行求解即可.
【详解】 ；
，
，
，
所以 ，
故答案为： ；
14. 已知 ， ，则 的最大值为________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】因为 ， ，所以
，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 即 等号成立.
故答案为： .
15. 设 ，函数 .若 在 上单调递增，且函
数 与 的图象有三个交点，则 的取值范围是________.
【答案】 .
【解析】
【分析】利用 在 上单调递增可得 ，函数 与 的图象有三个交点，可转
化为方程 在 上有两个不同的实数根可得答案.
【详解】当 时， ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，解得 ，
的
又函数 与 图象有三个交点，
所以在 上函数 与 的图象有两个交点，
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学科网（北京）股份有限公司即方程 在 上有两个不同的实数根，
即方程 在 上有两个不同的实数根，
所以 ，解得 ，
当 时，令 ，
由 时， ，
当 时， ，
此时， ，
结合图象，所以 时，函数 与 的图象只有一个交点，
综上所述， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为方程 在 上有两个不同的实数根.
三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，
请把解题过程写在答案卡上.
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） .（2） .（3）
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得 ；
（2）由二倍角公式求得 后再由两角和的正弦公式可求值；
（3）由正弦定理求得 ，再由余弦定理求得 ．
【详解】（1）∵ ，
由正弦定理得，
∴ ，
即 .
∵ ，
∴
又 ，
∴
（2）由已知得，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ .
（3）由正弦定理 ，得 .
由（1）知， ，
∴
由余弦定理得， .
∴
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角
函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序．在三角形中出现边角关系时，常常用正
弦定理进行边角转换．
17. 已知底面 是正方形， 平面 ， ， ，点 、 分别为
线段 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
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学科网（北京）股份有限公司（3）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在求出
的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在； 或
【解析】
【分析】（1）法一：分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，证明出平面 平
面 ，利用面面平行的性质可证得结论成立；
法二：以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用
空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）假设存在点 ，使得 ，其中 ，求出向量 的坐标，利用空间向量法可得出
关于 的方程，解之即可.
【小问1详解】
证明：法一：分别取 、 的中点 、 ，连接 、 、 ，
由题意可知点 、 分别为线段 、 的中点．所以 ， ，
因为 ，所以 ，所以点 、 、 、 四点共面，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
法二：因为 为正方形，且 平面 ，所以 、 、 两两互相垂直，
以点 为坐标原点，以 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 、 ，
所以 ，易知平面 的一个法向量 ，
所以 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ．
【小问2详解】
解：设平面 的法向量 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以平面 的一个法向量为 ，
易知平面 的一个法向量 ，设平面 与平面 夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角余弦值为 ；
【小问3详解】
解：假设存在点 ，使得 ，其中 ，
则 ，
由（2）得平面 的一个法向量为 ，
由题意可得 ，
整理可得 ．即 ，
因为 ，解得 或 ，所以， 或 ．
18. 已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1） ；
（2）证明见解析.
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；
方法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作
答.
【小问1详解】
设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
【小问2详解】
方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
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学科网（北京）股份有限公司方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
19. 如图，已知椭圆 ： 的离心率为 ，过左焦点 且斜率为 的直线
交椭圆 于 两点，线段 的中点为 ，直线 ： 交椭圆 于 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）求证：点 在直线 上；
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学科网（北京）股份有限公司（3）是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1） （2）详见解析（3）存在，且
【解析】
【分析】（1）根据离心率和焦点坐标列方程组，解方程组求得 的值，进而求得椭圆 的方程.（2）写
出直线 的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，求得中点 的坐标，将坐标代入直线 的方程，满足
方程，由此证得点 在直线 上.（3）由（2）知 到 的距离相等，根据两个三角形面积的关系，得到
是 的中点，设出 点的坐标，联立直线 的方程和椭圆的方程，求得 点的坐标，并由此求得 的
值.
【详解】解：(1) 解：由 ，解得 ，
所以所求椭圆的标准方程为
（2）设 ， ， ，
，消 得， ，
解得
将 代入到 中，满足方程
所以点 在直线 上.
（3）由（2）知 到 的距离相等，
若 的面积是 面积的3倍，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司有 ，
∴ 是 的中点，
设 ，则 ，
联立 ，解得 ，
于是
解得 ，所以 .
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查根与系数关系，考查方
程的思想，属于中档题.要证明一个点在某条直线上，那么先求得这个点的坐标，然后将点的坐标代入直线
方程，如果方程成立，则这个点在直线上，否则不在这条直线上.
20. 已知函数 ， ，其中 ．
（1）讨论函数 的单调性，并求不等式 的解集；
（2）用 表示m，n的最大值，记 ，讨论函数 的零点个数．
【答案】（1）增函数； ；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，得到 ，根据导数的方法，即可判定其单调性，进而可求出
不等式的解集.
（2） 时， 恒成立，当 时， 恒成立，故 的零点即为函数 的
零点，讨论 在 的零点个数得到答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1） ，
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ，
所以当 时， ，即 在R上是增函数；
又 ，所以 的解集为 ．
（2））函数 的定义域为
由（1）得，函数 在 单调递增，
当 时， ，又 ，
所以 时， 恒成立，即 时， 无零点.
当 时， 恒成立，所以 的零点即为函数 的零点
下面讨论函数 在 的零点个数：
，所以
①当 时，因为 ，
又函数 在区间 递减，所以
即当 时， ，
所以 单调递减，由 得：当 时 ， 递增
当 时 ， 递减
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学科网（北京）股份有限公司当 时 ， ，当 时
又 ，
当 时，函数 有1个零点；
当 时，函数 有2个零点；
当 时，函数 有3个零点；
②当 时， ，由①得：当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减，所以 ， ，
所以当 时函数 有2个零点
③当 时，
， ，即 成立，由 ，
所以当 时函数 有1个零点
综上所述：当 或 时，函数 有1个零点；
当 或 时，函数 有2个零点；
当 时，函数 有3个零点.
【点睛】思路点睛：
导数的方法研究函数的零点时，通常需要对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，极值或最值等，
有时需要借助数形结合的方法求解.
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学科网（北京）股份有限公司
