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台山一中 2024 届高三第一次月考数学试题
2023-08
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合 、 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】因为 ，
，
所以 .
故选：B.
2. 已知i为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的运算化简复数 ，再求共轭复数即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：B.
3. “ ”是“方程 有正实数根”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】根据零点 几的何意义，将方程有正根问题等价转化为函数求零点问题，结合二次函数的性质，可
得答案.
【详解】由方程 有正实数根，则等价于函数 有正零点，
由二次函数 的对称轴为 ，则函数 只能存在一正一负的两个零点，
则 ，解得 ，
故选：B.
4. 已知 ，则函数 的最小值为
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先分离，再根据基本不等式求最值，即得结果.
【详解】 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
.
选A
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
5. 展开式中含 的系数是（ ）
A. 28 B. C. 84 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 展开式的通项，分别求出展开式中含 、 、 的项的系数，即可得出答案.
【详解】 展开式的通项为 ， .
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学科网（北京）股份有限公司当 选取 时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，
由 ，可得 ；
当 选取 时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，
由 ，可得 ；
当 选取 时，由已知可得，应选取 展开式中含 的项，
由 ，可得 .
所以， 展开式中含 的系数是 .
故选：C.
6. 2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，
每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案
种数为（ ）
A. 40 B. 28 C. 20 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计
算即可.
【详解】若小王在1号路口，小李在2号路口，则剩余4个人分到两个路口，
两个路口为 人分布，共有 种方案，
两个路口为 人分布，共有 种方案，
此时共有 种方案；
同理若小王在2号路口，小李在1号路口，也共有 种方案.
所以一共有28种不同的安排方案种数.
故选：B
7. 设 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数 和 ，利用导数求解单调
性，即可判断.
【详解】当 时，记 ，则 ，故 在 单调递
增，故 ，因此得当 时， ，故 ，即 ；
，设 ，则 ，因
为 ，
当 时， ．所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以
．
故选：A
8. 设函数 的值域为A，若 ，则 的零点个数最多是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出各段函数的单调性，结合函数图象分类讨论，分别求出函数的零点个数，即可判断；
【详解】解：令 ，则 在 上单调递减；
令 ，则 ．由 ，得 或 ；
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学科网（北京）股份有限公司由 ，得 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
于是， 的极大值为 ，极小值为 ．在同一坐标系中作出函数 和 的图象，
如下图：
显然 ；由 ，得 ；由 的解析式，得 ．
（1）若 ，当 时， ，不符合题意；
（2）若 ，当 时， ，不符合题意；
（3）若 ，
①当 时， ；
②当 时， ，即 ．
由①②， 时符合题意．
此时，结合图象可知，当 时， 在 上没有零点，在 上有2个零点；
当 时， 在 上有1个零点，在 上有1个或2个零点，
综上， 最多有3个零点．
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
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学科网（北京）股份有限公司9. 《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日
制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织 名大一新生进行体
质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为
， ， ， ， ， ．则下列说法正确的是（ ）
A. 估计该样本的众数是
B. 估计该样本的均值是
C. 估计该样本的中位数是
D. 若测试成绩达到 分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为 人
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据频率分布直方图，可判断A项；根据频率分布直方图，估计出平均数，可判断B项；根据频
率分布直方图，估计出中位数，可判断C项；根据频率分布直方图，测试成绩达到 分的频率为 ，
即可估算有资格参加评奖的人数.
【详解】对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为 ，所以可估计该样本的众数是
，故A项正确；
对于B项，由频率分布直方图，可估计该样本的均值是
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学科网（北京）股份有限公司，故B项错误；
对于C项，由频率分布直方图可得，成绩在 之间的频率为 ，
在 之间的频率为 ，
所以可估计该样本的中位数在 内.
设中位数为 ，则由 可得， ，故C项正确；
对于D项，由频率分布直方图可得，测试成绩达到 分的频率为 ，
所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为 人，故D项正确.
故选：ACD.
10. 已知非零实数a，b满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】解：对于非零实数 ， 满足 ，则 ，
即 ，故A一定成立；
因为 ，故B一定成立；
又 ，即 ，所以 ，故C一定成立；
对于D：令 ， ，满足 ，此时 ，故D不一定成立．
故选：ABC
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学科网（北京）股份有限公司11. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A. 两个变量 的相关系数为 ，则 越小， 与 之间的相关性越弱
B. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
C. 在回归分析中， 为 的模型比 为 的模型拟合的更好
D. 某人在 次答题中，答对题数为 ， ，则答对 题的概率最大
【答案】BCD
【解析】
【分析】由相关系数，正态分布，二项分布的概念判断．
【详解】对于A，两个变量 的相关系数为 ， 越小， 与 之间的相关性越弱，故A错误，
对 于 B ， 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 由 正 态 分 布 概 念 知 若 ， 则
，故B正确，
对于C，在回归分析中， 越接近于 ，模型的拟合效果越好，所以 为 的模型比 为 的模
型拟合的更好，故C正确，
对于D，某人在 次答题中，答对题数为 ， ，则数学期望 ，说明
答对 题的概率最大，故D正确．
故选：BCD
12. 已知函数 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数
的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】令 ，得到 ，推得 为偶函数，得到 的图象关于 对称，
再利用导数求得当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，把不等式转化为
恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数 ，
令 ，则 ，可得 ，
可得 ，
所以 为偶函数，即函数 的图象关于 对称，
又由 ，令 ，
可得 ，所以 为单调递增函数，且 ，
当 时， ， 单调递增，即 时， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，即 时， 单调递减，
由不等式 ，可得 ，即
所以不等式 恒成立，即 恒成立，
所以 的解集为 ，所以 且 ，
解得 ，结合选项，可得BC适合.
故选：BC.
的
【点睛】关键点睛：本题 关键是利用换元法设 ，从而得到 ，证明其为偶函
数，则得到 的图象关于 对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
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学科网（北京）股份有限公司13. 若命题“ ”是假命题，则实数 的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】由题知命题的否定“ ”是真命题．令 ，则
解得 ，故实数 的最大值为
故答案为：
14. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.
【详解】由 ，
，
故答案为：
15. 已知 ， 为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若 ，则C的离心率为______．
【答案】 ．
【解析】
【分析】利用椭圆的定义及 ，得到 ，进而得解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 为椭圆 上一点，由椭圆的定义知， ，
因为 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解及椭圆的定义，属于基础题.
16. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占 ，高二
60人中女生占 ，则从中抽取1人恰好是女生的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件概率公式即可求解.
【详解】用 分别表示取的一人是来自高一和高二， 表示抽取一个恰好是女生，则由已知可知：
,且 ,
所以
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在 中， =60°，c= a.
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用正弦定理求解即可，
（2）求出 ，再利用余弦定理求出 ，然后利用三角形面积公式可求得答案
【小问1详解】
在 中，因为 ， ，
所以由正弦定理得 .
【小问2详解】
因为 ，所以 .
由余弦定理 得 ，
解得 或 （舍）.
所以 的面积 .
18. 设 为函数 的导函数，已知 ，且 的图像经过点 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在 上的单调区间．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 和 ；单调递减区间为
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【
分析】(1)求导，计算 得到切线斜率，点斜式求切线方程.
(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.
【小问1详解】
，则 ，得 ．
由题意 ，可得曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【小问2详解】
由已知得 ．
又由（1）知 ，所以 ．
故 ．
，
由 ，得 ，或 ；由 ，得 ．
故 在 上的单调递增区间为 和 ；单调递减区间为 ．
19. 已知图1是由等腰直角三角形 和菱形 组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，
， ．将三角形 沿 折起，使得平面 平面 （如图2）．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，则 ，再结合已知面面垂直可得 平面
，则 ，而 ，再由线面垂直的判定可得 面 ，从而可证得
，
（2）以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【小问1详解】
证明：取 的中点 ，连接 ， ．
∵ ，∴ ．
又∵平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ．
∵在菱形 中， ， ∴ 为等边三角形，
∵ 的中点为 ，∴ ，
∵ ∥ ，∴
∵ ， 平面 ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ．
【小问2详解】
由（1） 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴如图,以 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则
，
∴ ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则
，不妨设 ，则 ．
设平面 的法向量为 ，则
，令 ，则 ，
设二面角 的大小为 ，由图可知 为钝角，
∴ ，∴ ．
∴二面角 的正弦值为 ．
20. 已知数列 的首项 ，且满足 ，设 .
（1）求证：数列 为等比数列；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求满足条件的最小正整数 .
【答案】（1）证明见解析
（2）140
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的定义证明即可；
（2）利用分组求和的方法得到 ，然后利用 的增减性解
不等式 即可.
【小问1详解】
，
，所以数列 为首项为 ，公比为 等比数列.
【小问2详解】
由（1）可得
，
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学科网（北京）股份有限公司即
∴
而 随着 的增大而增大
要使 ，即 ，则 ，
∴ 的最小值为140.
21. 已知椭圆E: 与y轴的正半轴相交于点M,点F,F 为椭圆的焦点,且 是边
1 2
长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2 与椭圆E交于不同的两点A,B.
（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；
（2）求 的面积的最大值.
【答案】（1） ;（2） .
【解析】
【详解】（1）因为 是边长为2的等边三角形，
所以 ， ， ，所以 ，
所以椭圆 ： ，点 .
将直线 代入椭圆 的方程，
整理得： ，（*）
设 ，则由（*）式可得
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ，
所以直线 的斜率之积
所以直线 斜的率之积是定值 .
（2）记直线 与 轴的交点为 ，
则
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 的面积的最大值为 .
22. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2022年已经培养了6000多名
具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数
学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
（1）若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人， 表示选取的人中来自
该中学的人数，求 的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞
答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知
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学科网（北京）股份有限公司甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 ， ，且 ，如果甲、乙两位同
学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】（1）分布列见解析，
（2）11轮
【解析】
【分析】（1）根据超几何分布列分布列计算数学期望即可；
（2）先求每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【小问1详解】
由题意可知 的可能取值有0、1、2、3，
， ，
，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以 ．
【小问2详解】
他们在每轮答题中取得胜利的概率为
，
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学科网（北京）股份有限公司由 ， ， ，得 ，
则 ，因此 ，
令 ， ，于是当 时， ．
要使答题轮数取最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值 ．
设他们小组在 轮答题中取得胜利的次数为 ，则 ， ，
由 ，即 ，解得 ．
而 ，则 ，所以理论上至少要进行11轮答题．
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学科网（北京）股份有限公司
