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台山一中 2024 届高三第一次月考数学试题
2023-08
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知i为虚数单位，若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. “ ”是“方程 有正实数根” （的 ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ，则函数 的最小值为
A. B. C. 1 D. 2
5. 展开式中含 的系数是（ ）
A. 28 B. C. 84 D.
6. 2023年武汉马拉松于4月16日举行，组委会决定派小王、小李等6名志愿者到甲乙两个路口做引导员，
每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案
种数为（ ）
A. 40 B. 28 C. 20 D. 14
7. 设 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
8. 设函数 的值域为A，若 ，则 的零点个数最多是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全日
制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织 名大一新生进行体
质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为
， ， ， ， ， ．则下列说法正确的是（ ）
A. 估计该样本的众数是
B. 估计该样本的均值是
C. 估计该样本的中位数是
D. 若测试成绩达到 分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为 人
10. 已知非零实数a，b满足 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司的
11. 下列关于概率统计说法中正确 是（ ）
A. 两个变量 的相关系数为 ，则 越小， 与 之间的相关性越弱
B. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
C. 在回归分析中， 为 的模型比 为 的模型拟合的更好
D. 某人在 次答题中，答对题数为 ， ，则答对 题的概率最大
12. 已知函数 ，若不等式 对任意 恒成立，则实数
的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 若命题“ ”是假命题，则实数 的最大值为______．
14. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为___________.
15. 已知 ， 为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若 ，则C的离心率为______．
16. 某校决定从高一、高二两个年级分别抽取100人、60人参加演出活动，高一100人中女生占 ，高二
60人中女生占 ，则从中抽取1人恰好是女生 的概率为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 在 中， =60°，c= a.
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司18. 设 为函数 的导函数，已知 ，且 的图像经过点 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在 上的单调区间．
19. 已知图1是由等腰直角三角形 和菱形 组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，
， ．将三角形 沿 折起，使得平面 平面 （如图2）．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值．
20. 已知数列 首项 ，且满足 ，设 .
的
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）若 ，求满足条件的最小正整数 .
21. 已知椭圆E: 与y轴 的正半轴相交于点M,点F
1
,F
2
为椭圆的焦点,且 是边
长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2 与椭圆E交于不同的两点A,B.
（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；
（2）求 的面积的最大值.
22. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2022年已经培养了6000多名
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学科网（北京）股份有限公司具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数
学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．
（1）若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人， 表示选取的人中来自
该中学的人数，求 的分布列和数学期望；
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每一轮竞
答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利，假设每轮答题结果互不影响．已知
甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为 ， ，且 ，如果甲、乙两位同
学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
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