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2023-2024 学年第二学期质量检测
高三年级 数学（一） 参考答案
一、单项选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.B
二、多项选择题
9.CD 10.BCD 11.BC 12.ACD
三、填空题
13. 2或 14. 15. 16.
四、解答题
17
【答案】
【解析】由题可知（1）
当 时 ，满足 的通项公式
（2）
当 时
当 时
学科网（北京）股份有限公司18
【解析】由题可知（1）设
在 中
解得：
（2）在 中，由余弦定理可得：
解得:
为角平分线
所以
又由（1）可知：
时
学科网（北京）股份有限公司当 时
综上所述 为
19题答案
【答案】(1)
(2) ：①
【解析】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件 ，“有3个选项正确”为事件 ，
“小明该题得5分”为事件B，
则 ，求得 .
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则 ，
且 ，
，
，
所以， ，
学科网（北京）股份有限公司若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则 ，且
，
，
所以， ,
因为 ，所以小明应选择方案①.
20【答案】见解析
【解析】（1）证明： 四边形 为矩形， ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 .
取 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
如图，则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
， ，
由 ，取 ，得 ，
又 ， ，则 ，
又 平面 ， 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）设平面 的法向量 ，
， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
，
即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 ；
（3） 点 在线段 上，设 ， ，
，
又 平面 的法向量 ，设直线 与平面 所成角为 ，
，
，即 ，
， .
，
则 ，
的长为 .
学科网（北京）股份有限公司21题答案
.【答案】(1) 的极大值为 ，没有极小值；(2)证明见解析
【详解】（1）因为函数 ，所以
，
设 ， ，所以 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ；当 时， .又因为
对 恒成立，所以当 时， ；当 时，
.即 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，故
， 没有极小值.
（2）由（1）可知 ，所以 当且仅当
，取“＝”.
由（1）得 ，累加得
学科网（北京）股份有限公司；
由②得 ，
累加得
.综上所述，
22题：
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的性质，结合 是等腰直角三角形的性质，列出关系式即
可求解双曲线方程；
（2）首先利用点差法求出直线 所过的定点，即可求出定圆的方程.
【小问1详解】
依题意， ，焦半径 ，
当 时， ，得 ，即 ，
所以 ，由 ，得 ，得 ，
解得： （其中 舍去），
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故双曲线 的方程为 ；
【小问2详解】
设 的中点为
因为 是 上不同的两点， 中点的横坐标为2.
所以 .
①-②得 ，
当 存在时， ，
因为 的中垂线为直线 ，所以 ，即 ，
所以 过定点 .
学科网（北京）股份有限公司当 不存在时， 关于 轴对称， 的中垂线 为 轴，此时 也过 ，
所以存在以 为圆心的定圆 ，使得 被圆 截得的弦长为定值2.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线相交的综合应用，本题的关键是求得直线所
过的定点，因为半径为1，所以定圆圆心为定点，弦长就是直径.
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