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成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届入学考试
数学试题（文 ）参考答案
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D C D A C B A C B
二、 填空题
13. ; 14. ; 15. ; 16. .
三、 解答题
17．解：（1）
，又因为 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列. ．．．．．．．．．．．．．5分
（2）
满足上式.
. ．．．．．．．．．．．．．12分
18．解：（1）∵ABCD是正方形，∴AD⊥CD．（1分）
∵侧面 底面ABCD，侧面 底面ABCD=AD，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，（3分）
∴CD⊥AP．又AP⊥DP，CD∩DP=D，
∴AP⊥平面PCD，（5分）
∴ ．（6分）
（2）∵四边形ABCD为正方形，连接AC，则AC∩BD=F，F为AC中点．
∵ 为 中点，∴在△ACP中， ．
∵ 平面ADP，EF 平面ADP，
∴EF 平面ADP．
P
∴E到面ADP的距离等于F到面ADP的距离．（8分） E
D C
由（1）知， ，∴ ，得 ，
M F
∴ , ．（9分）
A B
（法一）取AD 中点M，连接AC，MF，则MF∥CD，又CD⊥平
面ADP，
∴MF⊥平面ADP．
学科网（北京）股份有限公司∴ ．（12分）
（法二）取AD 中点M，连接AC，MF，则PM⊥AD．
∵侧面 底面ABCD，侧面 底面ABCD=AD，PM 平面PAD，
∴PM⊥底面ABCD， ．
∴ ．（12分）
19．解： （1）根据题意，得 ．（1分）
（2
分）
．（3分）
因而相关系数 ．（5分）
由于 很接近1，∴可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系．（6分）
（2） ，（8分）
，（9分）
∴ 关于 的回归方程为 ．（11分）
若 ，则 颗．
∴在19℃的温度下，种子的发芽颗数为44．（12分）
20．解：（1）依题意得 ，则 ， .
于是 ，从而 . 又 ，解得
所以椭圆 的方程为 . ．．．．．．．．．．．．．3分
（2）如图，设 直线交椭圆于另一点 ， 直线交椭圆于另一点 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，故 ，由椭圆对称性， ，且四边形
为平行四边形. ．．．．．．．．．．．．．5分
由题意直线 的斜率不为0，设直线 ： ，
由 ，消去 整理得 ，
设 ， ，则 ， ，
由 （*）带入上式，解得：
故 ，故 的斜率为
1. ．．．．．．．．．．．．．8分
由 ，消去 整理得 ，由 得 .
所以 ，
与 间的距离 （即点 到 的距离），
故 ，
令 ，则 ，
所以四边形 的面积的取值范围为 . ．．．．．．．．．．．．．12
分
学科网（北京）股份有限公司21．解：（1）考虑函数 ，易知 在 上单调递增，且 ， ．
因此有且只有 使得 ，即 的图象与直线 有且只有一个公共点，
且该公共点的横坐标为 ． …………3分
（2） ．设 是 的图象上一点，则该点处的切线为
，整理得 ．令 ，解得 或
．因此 与 与函数 的图象相切．因此所求实数 的值为 或 ．
…………7分
（3）设 ，则 ．设 ，则 ．当 时，
；当 时， ．因此 在 上单调递增，在 上单调递减．从而
在 上单调递增， 上单调递减．注意到 ，故当 时 ，
当 时 ，因此 在 上单调递减，在 上单调递增．所以当
时， ．另一方面，注意到 ，故必然存在 ，使得 ，
且当 时 ，当 时 ．因此 在 上单调递减，在
上单调递增．显然 ，而 ．因此当
时， ．综上可知当 时 ，即 ，当且仅当 时等号成
立．由于 ，故当 ，即 时， ，当且仅当 ，
即 时等号成立．因此 ，当且仅当 时等号成
立．因此 的最大值为 ． …………12分
22．解：（1） ，故 ， ； ……
5分
（2）曲线 ，直线 ，分别代入 ，得
， ，由 知 ，即
， 即 ，
故 即 . ……10分
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