文档内容
2024 届普通高等学校招生全国统一考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 的真子集个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
2．已知i为虚数单位，复数z满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知单位向量 ， 的夹角为 ，则 （ ）
A．9 B． C．10 D．
4．据科学研究表明，某种玫瑰花新鲜程度y与其花朵凋零时间t（分钟）（在植物学上t表示从花朵完全绽放
时刻开始到完全凋零时刻为止所需的时间）近似满足函数关系式： （b为常数），若该种玫瑰花在
凋零时间为10分钟时的新鲜程度为 ，则当该种玫瑰花新鲜程度为 时，其凋零时间约为（参考数据：
）（ ）
A．3分钟 B．30分钟 C．33分钟 D．35分钟
5．已知某圆台的体积为 ，其上、下底面圆的面积之比为 且周长之和为 ，则该圆台的高为
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
学科网（北京）股份有限公司6．已知抛物线 ，过点 且斜率为 的直线l交C于M，N两点，且 ，
则C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 是单调递增数列， ， ，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知离散型随机变量X的分布列如下，则 的最大值为（ ）
X 0 1 2
P a
A． B． C． D．1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：
84，72，68，76，80，则（ ）
A．这五名同学成绩的平均数为78 B．这五名同学成绩的中位数为74
C．这五名同学成绩的上四分位数为80 D．这五名同学成绩的方差为32
10．已知正实数a，b满足 ，则 的可能取值为（ ）
A．2 B． C． D．4
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点， ， ， ，点M的轨迹为 ，则（
）
A． 为中心对称图形
B．M到直线 距离的最大值为5
C．若线段 上的所有点均在 中，则 最大为
D．使 成立的M点有4个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
学科网（北京）股份有限公司12． 的展开式中含 的项的系数为______．
13．已知 ，则 ______．
14．三个相似的圆锥的体积分别为 ， ， ，侧面积分别为 ， ， ，且 ，
，则实数a的最大值为______．
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，研究函数 在 上的单调性和零点个数．
16．（15分）
2024年由教育部及各省教育厅组织的九省联考于1月19日开考，全程模拟高考及考后的志愿填报等．某高中
分别随机调研了50名男同学和50名女同学对计算机专业感兴趣的情况，得到如下2×2列联表．
对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计
男同学 40
女同学 20
合计
（1）完善以上的2×2列联表，并判断根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生是否对计算
机专业感兴趣与性别有关；
（2）将样本的频率作为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，求其中对计算机专业感兴趣的学生人
数的期望和方差．
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17．（15分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为等腰梯形，且 ，
学科网（北京）股份有限公司为等边三角形，平面 平面 直线l．
（1）证明： 平面 ；
（2）若l与平面 的夹角为 ，求四棱锥 的体积．
18．（17分）
已知椭圆 的左、右顶点分别为A、B，且 ，点 在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若E，F为椭圆C上异于A，B的两个不同动点，且直线 与 的斜率满足 ，证明：直线
恒过定点．
19．（17分）
三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
．
若 ，则称 为空间向量 与 的叉乘，其中 （ ），
（ ）， 为单位正交基底．以O为坐标原点、分别以 的方向
为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，已知A，B是空间直角坐标系中异于O的不同两点．
（1）①若 ， ，求 ；
②证明： ．
学科网（北京）股份有限公司（2）记 的面积为 ，证明： ．
（3）证明： 的几何意义表示以 为底面、 为高的三棱锥体积的6倍．
数学参考答案
1．B【解析】由题意可得 ，故 的真子集的个数为 ．故选B．
2．A【解析】因为 ，则 ，所以 ，故
．故选A．
3．B【解析】由题意得 ．故 ，
故选B．
4．C【解析】由题意得 ，则 ，令 ，即 ，解得 ．故选C．
5．D【解析】设上、下底面圆的半径分别为r，R，圆台的高为h，则由题意可得 解得
，则 ，解得 ．故选D．
6．D【解析】设 ， ，直线 ，
联立 得 ，
则 ， ，又l经过C的焦点 ，
则 ，解得 ，故C的准线方程为 ．故选D．
7．C【解析】由题意可得 ，由于数列 为单调递增数列，即 ，
学科网（北京）股份有限公司，整理得 ，令 ，
则 ， ，易得数列 单调递减，故 是数列 的最大
项，则m的取值范围为 ，故选C．
8．C【解析】 ，故 ，
易得 ， ，则 ，
故 ， ，又因为
，所以 ．故选C．
9．CD【解析】A选项，这五名同学成绩的平均数为 ，A错误；
B选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B错
误；
C选项， ，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80，C正确；
D选项，五名同学成绩的方差为 ，D
正确．故选CD．
10．BD【解析】由题意可得 ，
令 ，则 ， ，且 ，故
学科网（北京）股份有限公司，所以 ．故选BD．
11．ABC【解析】由题可得 ，故点M在以A为圆心、半径分别为1，2的两圆之间（包含边界），
为内径为1，外径为2的圆环，A正确；直线 过定点 ，故M到直线 的
距离最大时为M与点 的距离，则 ，B正确；当 恰与圆 相切时，
最大，此时直线 与y轴重合，故 ，C正确； ，则直线 ：
或 ，直线 与直线 有无数点在 上，故符合的M点有无数个，故
D错误．故选ABC．
12．1120【解析】 的展开式的通项为 ，故令 可得含 项的系数为
．
13． 【解析】由 ，可得 ，
故 ．
14． 【解析】设三个圆锥的高分别为 ．母线与轴线的夹角为 ，
则 ，由 ，得 ，
同理由 可得 ，
则 ，则 ．
学科网（北京）股份有限公司令 ， ，得 ，令 ，解得 ；令
，解得 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
，
故 ，故 ．
15．解：（1）当 时， ，
则 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）当 时， ，则 ，
当 时， ， ， ，则 ，
故 在 上单调递增．
又因为 ，所以 在 上的零点个数为1．
16．解：（1）完善2×2列联表如下：公众号：高中试卷君
对计算机专业感兴趣 对计算机专业不感兴趣 合计
男同学 40 10 50
女同学 30 20 50
合计 70 30 100
则 ，
故根据小概率值 的独立性检验，不能认为该校学生是否对计算机专业感兴趣与性别有关．
（2）由（1）知，对计算机专业感兴趣的样本频率为 ，
设抽取的30名学生中对计算机专业感兴趣的学生的人数为X，所以随机变量 ，
学科网（北京）股份有限公司故 ， ．
17．解：（1）证明：由题可知 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ．
又 平面 ，平面 平面 ， ．
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2）以D为原点，平面 内垂直于 的直线为x轴， 所在直线为y轴，垂直于平面 的直
线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设等腰梯形 的高为 ，则 ， ， ， ， ，
设 为平面 的法向量，则 即
令 得 为平面 的一个法向量．
又 ，则可得直线l的一个平行向量 ，
设 为l与平面 的夹角，
由 ，解得 ．
．
18．解：（1）由题意可得 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司又点 在C上，所以 ，解得 ，
故椭圆C的标准方程为 ．
（2）证明：由（1）可得， ， ，易知直线 与直线 的斜率一定存在且不为0，
设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
由 得 ，
所以 ，故 ，则 ，故 ．
由 得 ，所以 ，
故 ，则 ，故 ．
若直线 过定点，则根据椭圆的对称性可知直线 所过定点必在x轴上，
设定点为 ．
则 ，
即 ，
所以 ，
化简可得 ，故 ，即直线 过定点 ．
19．解：（1）①因为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ．
②证明：设 ， ，
则 ，
将 与 互换， 与 互换， 与 互换，
可得 ，
故 ．
（2）证明：因为 ，
故 ，
故要证 ，
只需证 ，
即证 ．
由（1） ， ， ，
故 ，
又 ， ， ，
则 成立，
故 ．
（3）证明：由（2） ，
学科网（北京）股份有限公司得 ，
故 ，
故 的几何意义表示以 为底面、 为高的三棱锥体积的6倍．
学科网（北京）股份有限公司
