文档内容
2024届高三第二学期期初学业质量监测
数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本
试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知样本数据1,2,2,3,7,9，则2.5是该组数据的（ ）
A．极差 B．众数 C．平均数 D．中位数
2．3名男生和2名女生站成一排．若男生不相邻，则不同排法种数为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．72
3．设a∈R．若函数 f(x)=(a−1)x为指数函数，且 f(2)> f(3)，则a的取值范围是（ ）
A．12b”是“sinA>sin2B”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
x2 y2
7．已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F ，点P在C的左支上，
a2 b2 1 2
∠PFF =60°,PFF 的周长为6a，则C的离心率为（ ）
1 2 1 2
A．2 B． 3 C． 2 D． 5−1
学科网（北京）股份有限公司a
8．已知正五边形的边长为a,内切圆的半径为，外接圆的半径为R,R+r = ，则θ=（ ）
2tanθ
A．9° B．18° C．27° D．36°
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知函数 f(x)=cos2x+2sinx,则（ ）
π
A． f(x)的最小正周期为2π B． f(x)关于直线x= 对称
2
π
C． f(x)关于点 ,0 中心对称 D． f(x)的最小值为−3
2
10．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C: y2 =4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A,点M,N 在C上，
且FM +FA=2FN ,则（ ）
2 2 17 AF⋅AM
A．ON∥FM B．直线MN 的斜率为± C．|MN |= D． =2 2
3 2 | AM |
11．已知函数 f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R, f(2x+1)与g(2x−1)均为偶函数，则（ ）
9
A． f(−1)=0 B． f(x+8)= f(x) C．g(3)=0 D．∑g(k)=0
k=1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
{ ( ) ( ) }
12．设m∈R,i为虚数单位．若集合M = 1,2, m2 +3m−1 + m2 +5m−6 i ,N ={−1,3},且
M N ={3}，则m=______．
13．一个三棱锥形木料P−ABC ，其中ABC是边长为2dm的等边三角形，PA⊥底面ABC,二面角
P−BC−A的大小为45°，则点A到平面PBC 的距离为______dm．若将木料削成以A为顶点的圆锥，且圆
锥的底面在侧面PBC 内，则圆锥体积的最大值为______dm3．
14．已知a,b,c为某三角形的三边长，其中aa+b−c恒成立，则M的最小值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
15．（13分）假定某同学每次投篮命中的概率为 ．
3
（1）若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
学科网（北京）股份有限公司（2）该同学现有4次投篮机会，若连续投中2次，即停止投篮，否则投篮4次，求投篮次数X的概率分布及数
学期望．
16．（15分）已知函数 f(x)=alnx−x+1，其中a∈R．
（1）若曲线y = f(x)在x=1处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a；
（2）求函数 f(x)的单调区间．
17．（15分）如图，己知三棱台ABC−ABC 的高为1,AB= AC =2,∠BAC =90°,O为BC的中点，
1 1 1
AB = AC =1,∠AAB=∠AAC，平面ABC ⊥平面ABC．
1 1 1 1 1 1 1
（1）求证：AO⊥平面ABC；
1
（2）求CC 与平面ABB A 所成角的大小．
1 1 1
x2 y2
18．（17分）已知椭圆C: + =1(a >b>0)的右焦点为F(3,0),直线l:xsinθ+ ycosθ=b
a2 b2
(0<θ<π)与C相交于A,B两点．
（1）求直线l被圆O:x2 + y2 =a2所截的弦长；
π 24
（2）当θ= 时，| AB|= ．
2 5
（i）求C的方程；
（ii）证明：对任意的θ∈(0,π),ABF 的周长为定值．
学科网（北京）股份有限公司19．（17分）
设集合A={−1,a ,a ,,a }，其中1=a 0时，令 f′(x)>0，得xa，所以函数 f(x)的减区间为(a,+∞)．
综上，当a0时，函数 f(x)的减区间为(0,+∞)；
当a >0时，函数 f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,+∞)．……15分
17．（15分）证明：（1）因为∠AAB=∠AAC,AB= AC,AA= AA，所以AAB≌AAC，所以
1 1 1 1 1 1
AB= AC．
1 1
又因为O为BC的中点，所以OA ⊥ BC．……3分
1
又因为平面ABC ⊥平面ABC,平面ABC平面ABC = BC, OA ⊂平面ABC，
1 1 1 1
所以OA ⊥平面ABC．……6分
1
（2）连接OA,AB= AC,O为BC的中点，所以OA⊥ BC．
分别以OB,OA,OA 为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
1
则A(0, 2,0),B( 2,0,0),C(− 2,0,0),A(0,0,1)．
1
所以AB=( 2,− 2,0)，
学科网（北京）股份有限公司
AA =(0,− 2,1)．
1
1 1
因为AC = AC = (− 2,− 2,0)，
1 1 2 2
2 2 2 2
所以C − ,− ,1，所以CC = ,− ,1．……9分
1
2 2
1
2 2
n⋅AB= 2x− 2y =0,
设平面ABB A 的法向量n=(x,y,z)，则
1 1
n⋅AA
1
=− 2y+z =0.
令 y =1,则x=1,z = 2,所以n=(1,1, 2)．……11分
2 2
− + 2
CC ⋅n 1
2 2
于是cos CC ,n = 1 = = ，……13分
1 CC ⋅|n| 2×2 2
1
又因为0°< CC ,n <180°，所以 CC ,n =60°．
1 1
所以CC 与平面ABB A 所成角的大小为30°．……15分
1 1 1
另解1：过O作Ox∥AC, Oy∥AB，建立如图所示空间直角坐标系．
则A(−1,−1,0),B(−1,1,0),C(1,−1,0),A(0,0,1),C (1,0,1)，
1 1
B (0,1,1)，所以CC =(0,1,1)，
1 1
AB=(0,2,0), BB =(1,0,1)．
1
设平面ABB A 的法向量n=(x,y,z),
1 1
n⋅AB=2y =0,
则
n⋅BB
1
= x+z =0,
令z =1，则x=−1,y =0，所以n=(−1,0,1)．……11分
学科网（北京）股份有限公司
n⋅CC 1 1
所以cos= 1 = = ，……13分
1
|n|⋅CC 2⋅ 2 2
1
1 π π
设直线CC
1
与平面ABB
1
A
1
所成角为θ，则sinθ=
2
．因为θ∈
0,
2
，所以θ=
6
．
所以CC 与平面ABB A 所成角的大小为30°．……15分
1 1 1
另解2：取AC的中点D,连接OA,AD,OD,BD．
1
设D到平面AAB的距离为h, D′为D在平面ABB A 的射影，则DD′ =h．
1 1 1
由（1）知，AO⊥OD，所以AD= 2．
1 1
同理可得，AB= 3,AA= 3．
1 1
1 1
由V =V 得， S ⋅h= S ⋅AO，
D−A 1 AB A 1 −ABD 3 A AB 3 ABD 1
1 1 1 1 2
即 × ×2× 2×h= × ×2×1×1，解得h= ．……11分
3 2 3 2 2
2
DD′ 1
所以sin∠DAD′ = = 2 = ，……13分
1 AD 2 2
1
故∠DAD′ =30°．
1
又CC ∥AD,故CC 与平面ABB A 所成角的大小为30°．……15分
1 1 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司18．（17分）解：（1）依题意，圆心O(0,0)到直线l:xsinθ+ ycosθ=b的距离为：
|−b|
=b．……2分
sin2θ+cos2θ
则直线l被圆O:x2 + y2 =a2所截的弦长为：2 a2 −b2 =2×3=6．……4分
π
（2）（i）当θ= 时，直线l的方程为：x=b．……5分
2
x2 y2 b2 9b2 3b
将x=b代入椭圆C: + =1，得y2 =b2 1− = ，所以y =± ．
a2 b2 a2 a2 a
24 b 4
因为| AB|= ，右焦点为F(3,0),所以 = ，且a2 −b2 =9．……7分
5 a 5
x2 y2
解得a2 =25,b2 =16，所以C的方程为 + =1．……9分
25 16
π 12 2 24
（ii）证明：当θ= 时，由（i）知，ABF的周长为2 12 +
+ =10；……10分
2 5 5
π
当θ≠ 时，设A ( x ,y ) ,B ( x ,y )．
2 1 1 2 2
4−xsinθ 2
x2 y2 x2 cosθ
联立 + =1与xsinθ+ ycosθ=b并消去，得 + =1，
25 16 25 16
( )
整理得 25sin2θ+16cos2θ x2 −200(sinθ)x+400sin2θ=0．
200sinθ
所以x +x = ，
1 2 25sin2θ+16cos2θ
( )
2002sin2θ−4 25sin2θ+16cos2θ ⋅400sin2θ
120|sinθcosθ|
x −x = = ．
1 2 25sin2θ+16cos2θ 25sin2θ+16cos2θ
sinθ 2 1 120|sinθ|
所以| AB|= 1+ − x −x = x −x = ．
cosθ 1 2 |cosθ| 1 2 25sin2θ+16cos2θ
120sinθ
又0<θ<π时，sinθ>0,所以| AB|= ．……13分
25sin2θ+16cos2θ
学科网（北京）股份有限公司 x2 3
又| AF |= ( x −3 )2 + y2 = ( x −3 )2 +161− 1 = 5− x ，
1 1 1 25 5 1
3 3
因为−5x5，所以| AF |=5− x ，同理|BF |=5− x ．
1 5 1 5 2
3 120sinθ
所以| AF |+|BF |=10− ( x +x )=10− ．……16分
5 1 2 25sin2θ+16cos2θ
所以ABF的周长为| AF |+|BF |+| AB|=10（定值）．……17分
另解：（ii）设l: y =kx+t,A ( x ,y ) ,B ( x ,y )，因为0<θ<π，所以kt <0．
1 1 2 2
|t|
由（1）知， =b=4，即t2 =16k2 +16．
1+k2
x2 y2
+ =1
( )
由25 16 消去y并整理得， 16+25k2 x2 +50ktx+25t2 −400=0，
y =kx+t
50kt
所以x +x =− ，
1 2 16+25k2
( )
25t2 −400 25 16k2 +16 −400 400k2
x x = = = ．
1 2 16+25k2 16+25k2 16+25k2
所以AB= ( x −x )2 +( y − y )2
1 2 1 2
= 1+k2 ⋅ ( x +x )2 −4x x
1 2 1 2
50kt 2 1600k2
= 1+k2 ⋅
−
16+25k2 16+25k2
120|k|
= 1+k2 ⋅ ．……13分
16+25k2
x2 3
又| AF |= ( x −3 )2 + y2 = ( x −3 )2 +161− 1 = 5− x ，
1 1 1 25 5 1
3 3
因为−5x5，所以| AF |=5− x ，同理|BF |=5− x ．
1 5 1 5 2
3 3 50kt
所以| AF |+|BF |=10− ( x +x )=10+ ⋅ ．……16分
5 1 2 5 16+25k2
学科网（北京）股份有限公司3 50kt 120|k|
所以| AF |+|BF |+| AB|=10+ ⋅ + 1+k2 ⋅
5 16+25k2 16+25k2
30kt |t| 120|k|
=10+ + ⋅
16+25k2 4 16+25k2
30kt 30kt
=10+ −
16+25k2 16+25k2
=10,
即ABF的周长为10（定值）．……17分
19．（17分）解：（1）M是“T集”；N不是“T集”．……2分
理由：对于向量x =(2,3),若存在x =(m,n)∈B,使得x ⊥ x ．
1 2 1 2
3 2
则2m+3n=0,故m,n中必有一个为−1，此时另一个为 或 ，显然不符合．……4分
2 3
（2）（i）因为A中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为−1，
公差为2，故a =2k−1,1kn．……5分
k
对于向量x =( a ,a )=(2n−3,2n−1),若存在向量x ∈B,使得x ⊥ x ，
1 n−1 n 2 1 2
则向量x
2
的坐标中必含−1，设另一坐标为2t−3(1tn+1)，
则x =(−1,2t−3)或x =(2t−3,−1)．……7分
2 2
所以(2n−3)⋅(−1)+(2n−1)(2t−3)=0或(2n−3)(2t−3)+(2n−1)⋅(−1)=0，
2n−3 2n−1
故2t−3= <1或2t−3= ，
2n−1 2n−3
2 1
所以t <2或2t−3=1+ ,所以t =1或t−2= ，
2n−3 2n−3
所以t =1或t−2=1,2n−3=1即t =3,n=2．
此时x =(2n−3,2n−1),x =(−1,−1)，不满足x ⊥ x ；
1 2 1 2
或x =(1,3),x =(3,−1)，满足x ⊥ x ；
1 2 1 2
所以A只可能为{−1,1,3}．
经检验{−1,1,3}是“T集”，所以A={−1,1,3}．……9分
学科网（北京）股份有限公司
（ii）设x =( p ,q ) ,x =( p ,q )．
1 1 1 2 2 2
p q
由x ⊥ x ，得 p p +qq =0，由条件可变形为 1 =− 2 ．
1 2 1 2 1 2 q p
1 2
p
设集合C = | p∈A,q∈A| p,|> q，
q
则A是“T集”当且仅当C关于原点对称．……11分
因为−1是A中唯一负数，C(−∞,0)={−a ,−a ,,−a }共n−1个数，
2 3 n
所以C(0,+∞)也只有n−1个数．……12分
a a a a
由于1=a n−1 >> 2 ，所以 n = n−1 == 3 = 2 ．……15分
a a a a a a a
1 1 1 n−1 n−2 2 1
又a =1
