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湖北省重点高中智学联盟 2023 年秋季高三年级 10 月联考
数学答案
1.B 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.D 8.C 9.ABD 10.ACD 11.AB 12.BC
[8 ] {| 1}
13. 16 14.π 15. ,4 16 t −e≤t<0或t=
3 e
12.解法一：f '(x)=−3x2+4x−3，设切点为(x ,−x3+2x2−3x )，
0 0 0 0
则切线方程为y+x3−2x2+3x =(−3x2+4x −3)(x−x )，
0 0 0 0 0 0
将x=−2，y=m代入得，m=2x3+4x2−8x +6，
0 0 0
令g(x)=2x3+4x2−8x+6，则g'(x)=6x2+8x−8=2(x+2)(3x−2)，
2 2
∴x> 或x<−2时，g'(x)>0，当−21时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线y=x上，设切点横坐标为x ,由
0
导数几何意义可知 x ∙ 1 lna =ax 0∙lna=1,∴ax 0=e,lna= 1 e ，a= e 1 e ；
0
1
(2)由etx= lnx，可得(et) x =log x，令et=a，则log x=ax（00,
2x+1 2x+1 (2x+1) 2
∴函数f(x)在R上单调递增 ……………（8分）
用单调性定义证明的同样给分。
（3）设A={y|y=g(x ),x ∈[0,1]},B={y|y=3f(x ),x ∈[0,1]},
1 1 2 2
有条件可知，A⊆B …… …… …（9分）
由（2）问可知，y=3f(x )在x ∈[0,1]时单调递增，∴B=[0,1]， ……………（10分）
2 2
{ b≥0
[ 1 ] 1
又∵A= b, +b ，∴ 1 ,，∴0≤b≤ ……………（12分）
2 +b≤1 2
2
sin10°
19.解：（1）sin40°(❑√3−tan10°) =sin40°(❑√3− ) ……………（1分）
cos10°
❑√3cos10°−sin10° 2sin(60°−10°) 2cos40° sin80°
=sin40°( )=sin40° =sin40° = =1
cos10° cos10° cos10° cos10°
……………（6分）
1−cos20° 1+cos80° −sin30°+sin50°
(2)方法一：sin210°+cos240°+sin10°cos40°= + +
2 2 2
……（8分）
1 cos80°−cos20°+sin50° 3 cos80°−cos20°+sin50°
=1−
+
= +
4 2 4 23 cos（50°+30°）−cos（50°−30°）+sin50° 3 3
=
+ = + 0 =
4 2 4 4
………（12分）
方法二：构造对偶式
设m=sin210°+cos240°+sin10°cos40°,n=cos210°+sin240°+cos10°sin40°,则……（8分）
m+n=2+sin50°, n−m=cos20°−cos80°+sin30°，则
1 3 3
2m=2− +sin50°−cos20°+cos80°= ，∴m= ………（12分)
2 2 4
1
方法三：构造三角形，令外接圆半径为 ，则由正弦定理可得
2
a b c 1
= = =2R=2× =1 ， ………（8分）
sin10° sin50° sin120° 2
则 a=sin10°,b=cos40°=sin50°,c=sin120° ,再由余弦定理，
3
c2=a2+b2−2abcosC=sin210°+sin250°−2sin10°s¿50°cos120°= sin2120°=
4
……（12分)
20.解：（1）记事件A= 求恰有一个黑球"，则由古典概型公式可得
P(A)=
C1
8
C
7
3
=
"8
； ………（3分）
C4 39
15
（2）X的可能取值为0,1,2,3,4， ………（4分）
C4
2
C3C1
56
C2C2
84
P(X=0)= 8 = ，P(X=1)= 8 7= ，P(X=2)= 8 7= ，
C4 39 C4 195 C4 195
15 15 15
C1C3
8
C4
1
P(X=3)= 8 7= ，P(X=4)= 7 = ， X的分布列如下： ………（7分）
C4 39 C4 39
15 15
（概率对了一个给1分，不超过7分，此处没有约分的不扣分）
X 0 1 2 3 4
P 2 56 84 8 1
39 195 195 39 39
2 56 84 8 1 364 28
E(X)=0× +1 × +2× +3× +4× = = ………（9分）
39 195 195 39 39 195 15
（此处没有约分的扣1分）
（3）记事件B= 取出4个球同色，求全为红球"，则由条件概率公式有
P(B)= " C 7 4 = 1 . ………（12分）
C4+C4 3
8 7
21.解：（1）
B
1 π
在∆BCD中，S
∆BCD
=
2
BD∙BC∙sin∠DBC=2❑√3,且BD=2,∠DBC=
3
，可得BC=4
D
C
A（2分）
在∆BCD中，由余弦定理有，DC2=DB2+BC2−2DB∙BC∙cos∠DBC=12, ∴DC=2❑√3
……（5分）
( ( π)) 2π
（2）记∠DCA=θ, θ∈ 0， ，则∠BDC=2θ,，∠DAC=θ,∠BCD= −2θ，
2 3
∠ADC=π−2θ, …… （6分）
记AD=DC=m,BC=a,
2
BC BD CD a
在∆BCD中,由正弦定理有 = = , ∴ = 2π =
sin∠BDC sin∠BCD sin∠DBC sin2θ sin( −2θ)
3
m
π ……（7分）
sin
3
AC AD 2❑√3 m
在∆ACD中，由正弦定理有 = ，∴ = = , ……
sin∠ADC sin∠ACD sin2θ sinϑ
（8分）
2
π 4sinθ 2
∴m∙sin2θ=2❑√3sinθ=a∙sin , ∴ a=4sinθ，即有 = 2π = ， ……（9
3 sin2θ sin( −2θ) cosθ
3
分）
2π (π ) π π
∴sin( −2θ)=cosθ=sin ∓θ ，∴∠DCA=θ= 或 ……（12分）
3 2 6 18
（掉了一个解扣2分）
22.解：（1）∵f(x)=xlnx,(x>0)∴ f '(x)=lnx+1,
1
令f '(x)=0，可得x= ，列表如下： ……………（1分）
e
x ( 1) 1 (1 )
0, ,+∞
e e e
f '(x) − 0 +
f(x) ↓ 1 ↑
极小值−
e
………（2分）
( 1) (1 ) 1
∴f(x)的单调递减区间为 0, ，单调递增区间为 ,+∞ ，极小值为− ，无极大值。
e e e
（“无极大值”掉了的扣1分） ……（4分）
ex−2x
（2）解法1：要证ex−2x>x∙xlnx，只需证 >lnx（对数靠边走）………（5分）
x2ex−2x (ex−x)∙(x−2)
设g(x)= −lnx，则g'(x)= ，易知ex≥x+1>x,令g'(x)=0，可得x=2，列表如
x2 x3
下： ……（6分）
x (0,2) 2 (2,+∞)
g'(x) − 0 +
g(x) ↓ 极小值g(2) ↑
e2−4 e2−(4+4ln2)
∴g(x) =g(2)= −ln2== ，由于e2≈7.39>7，e3≈20.09>16, …（7分）
min 4 4
4+4ln2=4+ln16<4+lne3=7， ……（8分）
∴e2−(4+4ln2)>0，从而不等式得证。 ……（9分）
x2lnx+2x
解法2：要证ex−2x>x∙xlnx，只需证 < 1， （指数找朋友） ………（5分）
ex
x2lnx+2x (xlnx+1)∙(2−x)
设ℎ(x)= ，则ℎ'(x)= ，又因为（1）中的f(x)=xlnx的最小值即为
ex ex
1
极小值− ，
e
∴xlnx+1>0,从而列表如下： ……（6分）
x (0,2) 2 (2,+∞)
ℎ'(x) + 0 −
ℎ(x) ↑ 极大值h(2) ↓
e2≈7.39>7，e3≈20.09>16, ………（7分）
4ln2+4 ln16+4 lne3+4 3+4 7
从而ℎ(x) = ℎ(2)= = < = = <1 ， 从而不等式得证。 ……（9
max e2 e2 e2 e2 e2
分）
其他的证明方法参照给分。
{
f(1)≤φ(1)
f(2)≤φ(2)
（ 3 ） 设 φ(x)=−x2+(a+1)x−a， 由 数 形 结 合 可 得 ， 解 得
f(3)≤φ(3)
f(4)>φ(4)
{ |3ln3+6 4ln4+12}
a ≤a<
2 3
……（12分）
