文档内容
2024 届高三暑假作业检测试卷
数学
本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合交集运算可得.
【详解】 ，
故选：D
2. 已知 （ 为虚数单位），其中 ， 为实数，则 ， 的值分别为（ ）
A. ，1 B. 1， C. 1，1 D. ，
【答案】A
【解析】
的
【分析】利用复数 乘法运算，及实部等于实部，虚部等于虚部列式求解即可.
【详解】由 ，得 ，得 ，
所以 解得
故选A.
3. 设P 是双曲线 上一点，F
1
，F
2
分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF
1
|=9，则|PF
2
|等于（
）
A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 8
【答案】B【解析】
【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
故选：B.
4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002
人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年
级被抽取的人数为（ ）
A. 36 B. 42 C. 50 D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样，结合抽样比计算即可.
【详解】根据分层抽样的方法，抽样比为 ，
高三年级被抽取的人数为 人.
故选：D.
5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，则该圆锥轴截面的面积 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，分别由
， ，求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则 ，解得 ，
又 ，解得 ，
所以圆锥的高为 ，
所以圆锥的轴截面的面积是 ，
故选：B
6. 已知 ， ， ， ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知， ， ，再结合题意可得 ，
，又 ，利用两角差的正弦公式，即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ；
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又
所以
.
故选：B.
7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次
则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的
概率是 ，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，分为连中4次，额外加3分，剩余3次不中、连中3次，额外加2分，剩余4次，两次
投中，两次没投中，且两次投中不连续和有两次连中两回，三类情况，结合独立重复试验的概率公式和互
斥事件的概率加法公式，即可求解.
【详解】根据题意，该学生在此次训练中恰好得7分，可分为三类情况：
①若连中4次，额外加3分，剩余3次不中，满足要求，此时将连中4次看作一个整体，与其他三次不中
排序，共有 种选择，故概率为 ，
②若连中3次，额外加2分，剩余4次，两次投中，两次没投中，且两次投中不连续，故两次不中之间可
能为一次中，也可能是三次中，有以下情况：
中中中（不中）中（不中）中，中（不中）中中中（不中）中，中（不中）中（不中）中中中，则概率为，
③若有两次连中两回，中中（不中）中中（不中）中，中（不中）中中（不中）中中，中中（不中）中
（不中）中中，满足要求，则概率为 ，
综上，该生在比赛中恰好得7分的概率为 .
故选：B.
.
8 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【 分 析 】 令 ， ， 利 用 导 数 判 断 其 单 调 性 ， 进 而 可 得 ； 令
， ，利用导数判断其单调性，进而可得 .
【详解】令 ， ，则 ，
则 在 上单调递减，所以 ，
可知 对任意的 恒成立，可得 ，即 ；
对于 ， ，由 ， .令 ， ，则 ，
则 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 .
综上所述： .
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A. 若 ， ， ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】由空间中线面位置关系可判断.
【详解】由 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，知：
在A中，若 ， ， ， ，则 与 相交或平行，故A错误；
在B中，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故B错误；
在C中，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故C错误；
在D中，若 ， ， ，则由线面垂直，线线平行的性质可得 ，故D正确.
故选：ABC.10. 已知圆 ，以下四个结论正确的是（ ）
A. 过点 与圆M相切的直线方程为
B. 圆M与圆 相交
C. 过点 可以作两条直线与圆M相切
D. 圆M上的点到直线 的距离的最大值为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点和圆的位置关系、圆的切线方程、圆与圆的位置关系、圆上的点到直线的距离等知识对选
项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，圆 的圆心 ，半径 ，
对于A，点 在圆M上，圆心M到直线 距离为1，
即过点 与圆M相切的直线方程为 ，A正确；
对于B，圆 的圆心 ，半径 ，
则有 ，即圆M与圆N外离，B不正确.
对于C，点 在圆M外，则过点 可以作两条直线与圆M相切，C正确；
对于D，圆心 到直线 的距离 ，
则圆M上的点到直线 的距离的最大值为 ，D正确；
故选：ACD
11. 在平面直角坐标系 中，点 是抛物线 的焦点，两点 、
在抛物线 上，则下列说法正确的是（ ）A. 抛物线 的方程为
B.
C. 以 为直径的圆的方程是
D. 、 、 三点共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点 的坐标代入抛物线 的方程，结合 ，求出 的值，可判断A选项；将点 的坐标代
入抛物线 的方程，结合 求出 的值，可判断B选项；求出以 为直径的圆的方程，可判断C选
项；根据 、 的关系可判断D选项.
【详解】对于A，因为 在抛物线 上，所以 ，又 ，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 ，故A正确；
对于B，因为 在抛物线 上，所以 ，
又 ，解得 ，故B正确；
对于C， ， ，则以 为直径的圆的圆心为 ，
半径 ，
所以，以 为直径的圆的方程是 ，
即 ，故C错误；对于D，因为 、 、 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 ， ， 三点共线，故D正确.
故选：ABD.
12. 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，则对任意 ，下列结论成立
的是（ ）
A.
B.
C. 不存在 ，使得
D. 存在 ，使得
【答案】BD
【解析】
【分析】设 ，根据题意求得 在 上恒成立，得到 在 上单调递增，结合选
项，逐项判定，即可求解.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上恒成立，
且 不恒为0，所以 在 上单调递增，
对于A中，因为 ，所以 ，即 ，
但不能推得 ，所以A错误；对于B中，由于 ，所以 ，即 ，所以 .所以B正确；
对于C中，假设 ，则 ，又 在 上单调递增，
所以 ，取 ， 能使等式成立，故存在 ，使得 .所以C错误；
对于D中，存在 ，使得 （如 ， 满足 且 ），
则 ，即 ，即 ，所以D正确.
故选：BD.
【点睛】知识方法：构造法求解 与 共存问题的求解策略：
（1）对于不给出具体函数的解析式，只给出函数 和 满足的条件，需要根据题设条件构造抽象
函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
（2）常见类型：① 型；② 型；③ 为常数 型.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ， ，则 __________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据模长的坐标表示可得 ，再结合数量积的运算律运算求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
故答案为：4.
14. 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得 ，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为 ，
根据等差数列的性质，可得 ，
所以 .
故答案为： .
15. 已知函数 ，则 ______．
【答案】2022
【解析】
【分析】首先求出函数的周期，再求出 ，根据周期性计算可
得.
【详解】易知函数 的最小正周期 ，
而
，
由周期性知，这样连续六项的和均为 ，
而 共有 项， ，
所以 ．
故答案为：
16. 当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是____．【答案】
【解析】
【详解】试题分析：不等式 变形为 ．当 时， ，故实数
a 的 取 值 范 围 是 ； 当 时 ， ， 记 ，
，故函数 递增，则 ，故 ；当
时， ，记 ，令 ，得 或 （舍去），
当 时， ；当 时， ，故 ，则 ．综
上所述，实数 的取值范围是 ．
考点：利用导数求函数的极值和最值．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知 分别为 内角 的对边，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ，由正弦定理化简求得 ，即可求解；（2）由（1）得到 ，结合三角形的面积公式，求得 ，利用余弦定理列出方程，即可求
解.
【小问1详解】
解：因为 ，
可得 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，则 ，
又因为 ，所以 .
【小问2详解】
解：由 ，可得 ，则 ，解得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，可得 ，所以 .
18. 已知数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 .【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 ，得出数列 是以 为首项， 为公比的等比数
列，求得 ，结合 与 的关系式，即可求得数列 的通项公式；
（2）由（1）得到 ，求得 ，结合裂项法求和，即可求解.
【小问1详解】
解：因为 ，所以 ， ，
又因为 ，得 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ，
当 时， ，
两式相减可得 ，
当 时， ，适合上式，所以 .
【小问2详解】
解：由（1）知 ，可得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
19. 如图所示，直三棱柱 中， ， ，
.
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意证得 平面 ，得到 ，进而证得 平面 ，利用你
线面垂直的性质，即可证得 ；
（2）以 为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得平面 的一个法向量为 和
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：因为三棱柱 为直三棱柱，且 ， ，在直角 与直角 中，可得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又 ， ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 .
【
小问2详解】
解：以 为坐标原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立的空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，可得 ，所以平面 的一个法向量为 .
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
则 .
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河
东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了
解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：
一般 激动 总计
男性 90 120
女性 25
总计 200
（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程
度有关？
（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个
红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获
得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金
返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学
期望．
附： ，其中 ．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关
（2）分布列见解析，【解析】
【分析】（1）写出零假设，补全2×2列联表，计算 的值，并与临界值比较，得出结论；
（2）分别求出一次摸球摸出0，1，2个红球的概率，写出X的所有可能取值及对应取值的概率，写出X
的分布列并计算其数学期望.
【小问1详解】
补全的2×2列联表如下：
一般 激动 总计
男性 30 90 120
女性 25 55 80
总计 55 145 200
零假设为 ：性别与对活动的观感程度相互独立.
根据表中数据，计算得到
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此我们可以认为 ,成立，即认
为对该场活动活动的观感程度与性别无关.
【小问2详解】
设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，
则 ， ， ，
由题意，X可取 ．
， ，
， ，
，
所以X的分布列为：
X 200 150 100 50 0P
.
21. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 是椭圆 的上顶点， 是
等边三角形， 的内切圆的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 在 轴负半轴上且 ，过 的直线与椭圆交于 ， 两点，求 面积的
最大值.
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 的内切圆的半径为 ，求得 ，得到 ，结合
，进而求得椭圆的标准方程；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程组，利用根与系数的关系，求得 的面积
，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】解：椭圆 的半焦距为 ，
因为 的内切圆的面积为 ，所以 的内切圆的半径为 ，
又因为 是等边三角形，所以 ，即 ，
解得 ，所以 ，
可得 ，则 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
解：由 ，则点 ，
由题意知直线 斜率存在且不为0，设直线 的方程为 ，
且 ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
由 ，可得 .
且 ， ，
所以 的面积，
当且仅当 ，即 时（此时适合 的条件）取得等号.
故 面积的最大值为 .
【点睛】方法技巧：求解圆锥曲线的最值问题的解答策略
与技巧：
1、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图
形，以及几何性质求解；
2、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的
最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特
别注意自变量的取值范围.
22. 已知函数 .
（1）若 在 处的切线方程平行于直线 ，求 的值以及此时的切线方程；
（2）若方程 在 上有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
（2） .
【解析】
【分析】（1）求得 ，根据题意得到 ，求得 ，进而求得切线方程；
（2）根据题意转化为方程 在 上有两个不同的实数根，进而得出方程
，令 ，求得 在 上单调递增，转化为 有两个
不同的实根，令 ，求得函数 单调性与最值，再由 ，令
，得出函数 的单调性，得出 ，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数 ，可得 ，
因为 在 处的切线方程平行于直线 ，
所以 ，即 ，解得 ，则 ，
可得 ，故 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
解：由 ，得 ，
两边同时取对数得 ，即 ，可得 ，
可得 ，则 ，
所以关于 的方程 在 上有两个不同的实数根，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
要使 有两个不同的实根，则需 有两个不同的实根，
令 ，则 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以 ；
当 时， ， 没有零点；
当 时， ，当且仅当 时，等号成立， 只有一个零点；
当 时， ， ， ，
令 ，则 ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 .
所以 在 上有一个零点，在 上有一个零点，符合条件.
综上可得，实数 的取值范围是 .
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范
围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
