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2024 届高三暑假作业检测试卷
数学
本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 （ 为虚数单位），其中 ， 为实数，则 ， 的值分别为（ ）
A. ，1 B. 1， C. 1，1 D. ，
3. 设P是双曲线 上一点，F，F 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF|=9，则|PF|等于（
1 2 1 2
）
A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 8
4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002
人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年
级被抽取的人数为（ ）
A. 36 B. 42 C. 50 D. 54
5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，则该圆锥轴截面的面积 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ， ， ， ，则 的值为（
）
A. B. C. D.
7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次
则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是 ，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
.
A 若 ， ， ， ，则
B. 若 ， ， ，则
.
C 若 ， ， ，则
D. 若 ， ， ，则
10. 已知圆 ，以下四个结论正确的是（ ）
A. 过点 与圆M相切的直线方程为
B. 圆M与圆 相交
C. 过点 可以作两条直线与圆M相切
D. 圆M上的点到直线 的距离的最大值为3
11. 在平面直角坐标系 中，点 是抛物线 的焦点，两点 、
在抛物线 上，则下列说法正确的是（ ）A. 抛物线 的方程为
B.
C. 以 为直径的圆的方程是
D. 、 、 三点共线
12. 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，则对任意 ，下列结论成立
的是（ ）
A .
B.
C. 不存在 ，使得
D. 存在 ，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ， ，则 __________.
14. 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 __________.
15. 已知函数 ，则 ______．
16. 当 时，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是____．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知 分别为 内角 的对边，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的值.18. 已知数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，数列 的前 项和为 ，求 .
19. 如图所示，直三棱柱 中， ， ，
.
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河
东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了
解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：
一般 激动 总计
男性 90 120
女性 25
总计 200
（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程
度有关？
（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获
得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金
返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学
期望．
附： ，其中 ．
0.100 0.050 0.010 0.001
.
2.706 3.841 6.635 10 828
21. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 是椭圆 的上顶点， 是
等边三角形， 的内切圆的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 在 轴负半轴上且 ，过 的直线与椭圆交于 ， 两点，求 面积的
最大值.
22. 已知函数 .
的
（1）若 在 处 切线方程平行于直线 ，求 的值以及此时的切线方程；
（2）若方程 在 上有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.
