文档内容
2023-2024 学年秋学期高三年级期初调研考试
数学学科试卷
时间： 120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.
【详解】由题意可得：
又
∴
故选：C
【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.
2. 已知复数 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算，得到 ，再根据复数的模长公式即可得到结果.
【详解】因为
第1页/共25页
学科网（北京）股份有限公司则 ，所以
故选:B.
3. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，则数列 的公比 （
）
A. 1或 B. 或 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项的性质及等比数列通项公式计算可得.
【详解】∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
即 ，
整理得 ，即 ，
∵ ，∴ ，解得 或 .
故选：A．
4. 若双曲线 的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求出k，即可求出离心率.
【详解】因为 为双曲线，所以 ，化为标准方程为： .
由焦距为6可得： ，解得：k=1.
第2页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以双曲线为 .
所以双曲线的离心率为 .
故选：A
5. 向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公
式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量 ，把 绕
其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A沿逆时针
方向旋转 角得到点P.已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转
后得到点P，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出 的坐标，再根据旋转角求出 的坐标，然后设出点P的坐标，解出即可.
【详解】解：由题意可知 ，把点 绕点A逆时针方向旋转 ，得到点 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ， ，
所以点 的坐标为 ，
故选：D.
第3页/共25页
学科网（北京）股份有限公司6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出 ，再根据 利
用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】解：因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
所以
故选：C
7. 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
第4页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】利用给定图象求出 ，进而求出 即得函数 解析式，再代入求解作答.
【详解】由 ， ，得 ，
由 ，又 ，得 ，
观察图象知， ，解得 ，则 ，
因此， ，所以 ．
故选：C
8. 若关于 的方程 有三个不等的实数解 ，且 ，其中 ，
为自然对数的底数，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令 ，则有 ，令函数 ，画出其图象，结合
图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， 且 ， ，
即可求解．
第5页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由关于的 方程 ，
令 ，则有 ，
令函数 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
其图象如下：
要使关于 的方程 有3个不相等的实数解 ， ， ，
且 ，
结合图象可得关于 的方程 一定有两个实根 ， ，
且 ， ，由韦达定理知， ， ，
第6页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，
又 ，
可得 ，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是通过换元，将较复杂的方程转化为一元二次方程，再利用导数工
具说明函数的单调性.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为9 B. 的最小值为
的
C. 最小值为 D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号， 取得最小值9，故A正确；
，
根据二次函数的性质可知，当 ， 时， 取得最小值 ，故B错误；
第7页/共25页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，即 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即 最大值 ，故C错误；
，当且仅当 ，即 时取等号，此时 取
得最小值 ，故D正确．
故选：AD．
10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”
的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
不喜欢天宫课
喜欢天宫课堂
堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：① ， .②当 时，
.
A. 从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C. 根据小概率值 的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参
加测试的学生成绩的均值为85
【答案】BC
第8页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式判断A，首先求出样本中喜欢天宫课堂的频率，再根据独立重复试验的
概率公式判断B，计算出卡方，即可判断C，根据平均公式判断D.
【详解】对于A：从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率
，故A错误；
对于B：样本中喜欢天宫课堂的频率 ，从全校学生中任选3人，
恰有2人不喜欢天宫课堂的概率 ，故B正确；
对于C：因为 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联，故C正确；
对于D：抽取的喜欢天宫课堂的学生男、女生人数分别为 、 ，
又男生的平均成绩为 ，女生的平均成绩为 ，所以参加测试的学生成绩的均值为
，故D错误；
故选：BC
11. （多选题）如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ， ，且
，以下结论正确的有（ ）
第9页/共25页
学科网（北京）股份有限公司A.
B. 点 到平面 的距离为定值
C. 三棱锥 的体积是正方体 体积的
D. 异面直线 ， 所成的角为定值
【答案】ABC
【解析】
【分析】由线面垂直推出异面直线垂直可判断A；由点到平面的距离可判断B；运用三棱锥的体积公式可
判断C；根据异面直线所成角的定义判断D.
【详解】解：对于 ，根据题意， ， ，且 ，所以 平面
，而 平面 ，所以 ，所以 正确；
的
对于 ， 到平面 距离是定值，所以点 到 的距离为定值，所以 正确；
对于 ，三棱锥 的体积为
，三棱锥 的体积是正方
体 体积的 ，所以 正确；
对于 ，当点E在 处，F为 的中点时，异面直线AE，BF所成的角是 ，当 在 的中
第10页/共25页
学科网（北京）股份有限公司点时，F在 的位置，异面直线AE，BF所成的角是 ，显然两个角不相等，命题 错误；
故选： ．
12. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】将 变为 结合指数函数的性质，判断A;构造函数
，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利
用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.
【详解】由题意， ，得 ，
， ，∴ ，∴ ，A对；
，令 ，即有 ，
令 ，
在 上递减，在 上递增，
因为 ，∴ ，
作出函数 以及 大致图象如图：
第11页/共25页
学科网（北京）股份有限公司则 ，∴ ，结合图象则 ，
∴ ，∴ ，B对；
结合以上分析以及图象可得 ，∴ ，
且 ，
∴ ，C对；
由C的分析可知， ，
在区间 上，函数 不是单调函数，即 不成立，即 不成
立，故D错误；
故选：ABC．
【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三
角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知“ ”是假命题,则实数 的取值范围为________.
【答案】
【解析】
第12页/共25页
学科网（北京）股份有限公司【分析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到 ，构造
函数 求 在所给区间上的最小值.
【详解】解：由题意可知， 是真命题
对 恒成立，
令
令 则 ；令 则 ；
即 在 上单调递减， 上单调递增；
故答案为：
【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.
14. 数据 的第25百分位数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先按照从小到大，排序，计算第三和第四个数据的平均数即为所求.
【详解】先按照从小到大排序： ，共12个数据， .
第13页/共25页
学科网（北京）股份有限公司第3，4个数据分别为 则第25百分位数为 ，
故答案为： .
15. 已知随机变量 ，其中 ，则
___________.
【答案】0.2
【解析】
【分析】由 服从的分布类型可直接求出 ， ，从而求出 ，再根据正态分布的对称性即
可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，且 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：0.2.
16. 定义在实数集 上的偶函数 满足 ，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】
， 令
， 则 ， 进 一 步 可 得 函 数 的 周 期 为 4 ，
第14页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，解方程即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
令 ，则 ，
所以
故函数 的周期为4，
所以 ，
又因为 是偶函数，则 为偶函数，
又因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，
又 ，
即 ，即 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查抽象函数周期性，涉及到函数的奇偶性等知识，考查学生逻辑推理能力与数学运算
求解能力，是一道有一定难度的题.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在 中，
（1）求 ；
第15页/共25页
学科网（北京）股份有限公司（2）若 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
的
【分析】(1)应用三角恒等变换,正弦定理化简已知等式,结合 ,可得 值,即得 的值;
(2)由题意利用三角形面积公式可求 的值,进而可求 的值,由余弦定理可求 的值,即可求解 的周长
的值.
【小问1详解】
由 ,及正弦定理得 ，
即得 ，
又因为 中, ，
所以 ,
又因为 ,所以 即 ．
又 ，故 ．
【小问2详解】
由题意， ，故 ，
即 ，故 ，
由余弦定理 ，解得 .
第16页/共25页
学科网（北京）股份有限公司故三角形 的周长为
18. 已知等差数列 和等比数列 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件列出方程组，求出公差和公比，得到通项公式；
（2）先求出 ，利用裂项相消法求出 .
【小问1详解】
设 公差为 公比为 ，则
，解得 ；
.
【小问2详解】
∵ ，
∴ .
第17页/共25页
学科网（北京）股份有限公司.
19. 如图1，在 中， ， ， ，P是 边的中点，现把 沿
折成如图2所示的三棱锥 ，使得 .
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
的
【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理 逆定理，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行
证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
在图1中作 ，交 于 ，连接 ，
∵ ， ， ，P是 边的中点，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
第18页/共25页
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
在图2中，∵ ，∴ ，∴ ．
又 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
【小问2详解】
以O为原点，以 、 、 为坐标轴建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，
∴ ， ，
设平面ABC的法向量为 ，
，
∵ 平面 ，∴ 为平面 的一个法向量，
∴ ，
由图可知二面角 为锐角，
∴二面角 的余弦值为 ．
第19页/共25页
学科网（北京）股份有限公司20. 现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接
种，每个窗口至少有一位同学等候．
（1）求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；
（2）设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用排列组合求出事件得总数及甲乙排在一起的情况得数量，再根据古典概型及对立事
件得概率公式即可得解；
（2）先写出随机变量 的取值，再求出对应随机变量的概率，再根据期望公式进行求解 ．
【小问1详解】
解：总数为 ，
其中甲乙排在一起的情况为： ，
故甲、乙两人在不同窗口等候的概率为 ；
【小问2详解】
解： 可取 ，
，
第20页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，
，
所以 .
21. 已知椭圆 的左右顶点为A、B，直线l： .已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l
于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.
（1）记直线AM，AN的斜率分别为 、 ，求 的值；
（2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）首先设出点 的坐标，根据 ，利用斜率公式表示 ；
（2）当直线 PQ 的斜率存在时，设直线方程 ，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示
，从而得到 与 的关系，计算定点坐标，并验证当直线的斜率不存在
第21页/共25页
学科网（北京）股份有限公司时，也过此定点.
【小问1详解】
由已知可得MN为圆G的直径，所以 ，则 ，
根据题意不妨设 ， ， 则 ，所以
，所以 .
【小问2详解】
证明：当直线PQ的斜率存在时，
设直线PQ的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，所以 ， ，
，
所以 ，
所以 ，
即 ，或 ，
当 时，直线l的方程为 ，过定点 ，
当 时，直线l的方程为 ，过定点 ，舍去.
当直线PQ斜率不存在时， ， ， ，
直线 方程是 与椭圆方程 联立得 ，同理得 ，此时直
第22页/共25页
学科网（北京）股份有限公司线PQ的方程是 ，过定点 ，
综上可知，直线PQ过定点，该定点坐标是 .
22. 已知函数 ， 既存在极大值，又存在极小值.
（1）求实数 的取值范围；
（2）当 时， 、 分别为 的极大值点和极小值点，且 ，求实数 的取
值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）由已知可得 ，分析可知方程 有两个不等的实根，解方
程 ，可得出关于 的不等式，即可得解；
（2）求得 ， ，可得出 ， ，由已知可得
，构造函数 ，其中 ，分 、 两
种情况讨论，利用导数分析函数 的单调性，验证不等式 对任意的 是否恒成立，综
合可得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
解：由 可得
第23页/共25页
学科网（北京）股份有限公司，
因为函数 既存在极大值，又存在极小值，则 必有两个不等的实根，则 ，
由 可得 ， ，所以， ，解得 且 .
因此，实数 的取值范围是 .
【小问2详解】
解： ，则 .
由 可得 ，此时函数 单调递减，
由 可得 或 ，则函数 的增区间为 和 ，
所以， ， ，则 ， ，
由题意可得 对任意的 恒成立，
由于此时 ，则 ，
所以， ，则 ，
构造函数 ，其中 ，
则 ，
令 ，则 .
①当 时， ，所以 ， 在 上单调递增，
第24页/共25页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，符合题意；
②当 时， ，设方程 的两根分别为 、 ，
则 ， ，设 ，
则当 时， ，则 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，不合题意.
综上所述， 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，在求解时注意根据函数值符号
判断出参数的符号，进而对参数进行分类讨论求解.
第25页/共25页
学科网（北京）股份有限公司
