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高 2024 届高考诊断考试（一）数学试题
（试卷满分：150分 120分钟完卷）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解出集合A，找到A的补集，再求出和B的交集.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所
以 ．
故选：B．
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的除法法则求复数 ，再由共轭复数定义求 .
【详解】∵ ，
∴ ．
故选：D.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
【详解】因为 ，所以
.
故选：A.
4. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法．十进制的算筹计数法就
是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．下图是利用算筹表示数1～9的一
种方法．例如：3可表示为“ ”，26可表示为“ ”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，
则用1～9这9个数字表示的所有两位数中，个位数与十位数之和为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，求出数字和为5的两位数个数作答.
【详解】1根算筹只能表示1，2根算筹可表示2和6，3根算筹可表示3和7，4根算筹可表示4和8，5根
算筹可表示5和9，
因此5根算筹表示的两位数有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12个，
其中个位数与十位数之和为5的有14，41，23，32，共4个，
所以所求概率为 ．
故选：A
5. 若数列 的前 项积 ，则 的最大值与最小值的和为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C【解析】
【分析】由题可得 ，利用数列的增减性可得最值.
【详解】∵数列 的前 项积 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
时也适合上式，
∴ ，
∴当 时，数列 单调递减，且 ，
当 时，数列 单调递减，且 ，
故 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ 的最大值与最小值之和为2.
故选：C.
6. 如图所示，正方形 的边长为2，点 ， ， 分别是边 ， ， 的中点，点 是线段
上的动点，则 的最小值为（ ）A. B. 3 C. D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设 ， ，（ ），即可得到 、
，根据数量积的坐标表示得到 ，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，则 、 、 、 ，
设 ， ，（ ），则 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ， ，
所以
，
又 ，所以当 时 取得最小值为 .
故选：A
7. 椭圆 的左右焦点为 ， ，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足 ， ，若四边形 的周长等于 ，则椭圆C的离心率为 （
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ， ，可得点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，
再根据四边形 的周长结合椭圆的离心率公式即可得解.
【详解】因为 ，所以点 为线段 的中点，
因为 ，所以 ，
即 ，所以点 为线段 的中点，
又因点 为线段 的中点，
所以 且 ， 且 ，
所以四边形 的周长为 ，
又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以 ，
所以 ，即 ，
故椭圆C的离心率为 .
故选：C.8. 已知偶函数 满足 ， ，且当 时， .若关于
的不等式 在 上有且只有 个整数解，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知，函数 是周期为 的周期函数，由题意可得关于 的不等式 在 上
有且只有 个整数解，数形结合可得出实数 的取值范围.
【详解】因为偶函数 满足 ，则 ，即 ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，
当 时， ，令 ，可得 .
由 可得 ，由 可得 .
所以，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为关于 的不等式 在 上有且只有 个整数解，
则关于 的不等式 在 上有且只有 个整数解，如下图所示：
因为 ，且 ，又因为 ，所以，要使得不等式 在 上有且只有 个整数解，
则这五个整数解分别为 、 、 、 、 ，
所以， ，即 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用不等式的整数解的个数求参数的取值范围，解题的关键在于作出函数
的图象，明确整数解是哪些整数，再结合图形求解.
二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9. 已知函数 ，则（ ）
A. B. 的最小正周期为
C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先根据三角函数二倍角化简，然后利用整体代入法研究函数图像即可；
【详解】 选项A正确；
所以函数 的最小正周期为 选项B正确；
根据余弦函数图像性质， （余弦函数对应的单调递减区间），函数单调
递减，选项C正确；
根据余弦函数图像性质， （余弦函数对应 单调递增区间），函
的
数不单调，选项D错误；
故选：ABC.
10. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天
一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表：人
学校 平均运动时间 方差
数
200
甲校 10 3
0
300
乙校 8 2
0
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为 ，方差为 ，则（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平均数和方差的计算公式求解.
【详解】依题意，总平均时间为 ，
方差为 .
故选：BC
11. 如图，平行六面体 中， ， ， 与 交于点O，则下列说法
正确的有（ ）
A. 平面 平面
B. 若 ，则平行六面体的体积C.
D. 若 ，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A，由题意可得四边形 为菱形，则可得 ，再计算 ，可得
，从而得 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于B， 连接 ，可
得 ，从而可证得 平面 ，进而可求出体积，对于C，利用空间向量的加法分析判
断，对于C，设 ，则可得 ，然后利用向量的夹角公式计算判断.
【详解】对于A，因为在平行四边形 中， ，所以四边形 为菱形，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以 ，
因为 ， 所以 ，
所以 ，所以 ，
为
因 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，所以A正确，
对于B，连接 ，因为 ， ，所以 ，
所以 为直角三角形，即 ，因为 ∥ ，所以 ，
因为由选项A知 平面 ， 平面 ，所以 ，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以平行六面体的体积
，所以B正确，
对于C，因为四边形 为平行四边形，所以 为 的中点，
所以 ，所以 ，所以C错误，
对于D，设 ，因为在菱形 中， ，所以
，
所以 ，所以D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判断，考查平行六面体体积
的求法，考查空间向量的运算，解题的关键是正确利用平行六面体的性质结合题意分析求解，考查空间想
能力和计算能力，属于较难题.
12. 已知函数 ，下列选项正确的是（ ）
.
A 有最大值
B.C. 若 时， 恒成立，则
D. 设 为两个不相等的正数，且 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；对于B：利用作差法比较大小；对于C：
利用定点分析判断；对于D：利用极值点偏离分析证明.
【详解】对于选项A：由题意可得：函数 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 有最大值 ，故A正确
对于选项B：因为 ，
则 ，
所以 ，故B错误；
对于选项C：构建 ，则 ，
因为 ，且当 时， 恒成立，
则 ，解得 ，
若 ，则 当 时恒成立，
则 在 上单调递减，则 ，符合题意
综上所述： 符合题意，故C正确；对于选项D：因为 ，
整理得 ，即 ，
由选项A可知：函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当x趋近于0时， 趋近于0，且令 ，解得 ，
不妨设 ，
构建 ，
因为 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ，即 ，
可得 ，
注意到 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 ，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；
（2）构造新的函数 ；
（3）利用导数研究 的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 展开式中的各二项式系数之和为256，则 的系数是_______
【答案】112
【解析】
【分析】由二项式系数和等于 求得 的值，再利用展开式的通项公式计算即可.
【详解】依题意得： 解得
则
由 ，解得
从而 .
故答案为：
14. 现从甲、乙、丙3人中选派一人参加“垃圾分类”知识竞答，他们商议通过玩“石头、剪刀、布”游戏解
决：如果其中两人手势相同，另一人不同，则选派手势不同的人参加；否则重新进行一局“石头、剪刀、
布”游戏，直到确定人选为止.在每局游戏中，甲、乙、丙各自出3种手势是等可能的，且各局游戏是相互
独立的，则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先求出进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率，然后根据各局游戏是相互独立，
即可得到结果.【详解】设事件 表示“进行一局游戏，成功确定参加活动人选”，
则 ，
则进行一局游戏，没有确定参加活动人选的概率为 ，
且各局游戏是相互独立的，
则直到第三局游戏才最终确定选派人员的概率为 .
故答案为：
15. 已知等比数列 满足： ， .数列 满足 ，其前 项
和为 ，若 恒成立，则 的最小值为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，求出 、 的值，可得出数列 的通项公式，可求出 的通
项公式，求出 ，利用对勾函数的单调性求出 的最大值，即可得出实数 的最小值.
【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，
所以， ，解得 ，则 ，
所以， ，
，所以，数列 为等差数列，所以， ，
则 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ；当 时， .
又因为 ，故 的最大值为 .
因此， 对任意的 恒成立，所以， ，故 的最小值为 .
故答案为： .
16. 已知抛物线 上存在两点 （ 异于坐标原点 ），使得 ，直线AB与x轴
交于M点，将直线AB绕着M点逆时针旋转 与该抛物线交于C，D两点，则四边形ACBD面积的最小
值为________．
【答案】
【解析】
【分析】设直线 的方程为 ，联立方程组，由条件证明 ，由此可得 ，再求 ，
求四边形ACBD面积的解析式，求其最小值即可.
【详解】由已知直线 的斜率存在，且不为 ，
故可设直线 的方程为 ，联立 ，
消 得， ，
方程 的判别式 ，
设 ，则 ，
所以
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
又 异于坐标原点 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，
且
所以直线 与 轴的交点为 ，
所以点 的坐标为 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，
消 得， ，方程 的判别式 ，
设 ，则 ，
所以 ，
由已知 ，
所以四边形ACBD面积 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，
设 ，可得 ， ，
所以当 时，即 时， 取最小值，最小值为 ，
所以四边形ACBD面积的最小值为 .
故答案为： .【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的
方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的
等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
四、解答题（共6小题，共70分）
17. 在 中，角 所对的边分别为 ， ．
（1）求角 ；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换与三角函数的恒等变换化简题干条件，从而得解；
（2）利用三角形面积公式与余弦定理分别得到 与 的值，从而求得 ，由此得解.
【小问1详解】
，
由正弦定理得 ，即 ，
即 ， ，
，【小问2详解】
，
又 ，
所以 ，即 （负值舍去），
又 ，所以 的周长为 .
18. 已知数列 的首项 ，且满足 .
（1）求证： 是等比数列；
（2）求数列 的前项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合等比数列的定义分析证明；
（2）先根据等比数列的通项公式可得 ，再利用分组求和结合等比数列的求和公式运算求
解.
【小问1详解】
因为 ，即 ，
则 ，又因为 ，可得 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列.
【小问2详解】
由（1）知 ，所以 .
所以
，
当 为偶数时，可得 ；
当 为奇数时，可得 ；
综上所述： .
19. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年 4月23日
为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 位年轻人，对这些人
每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，估计这 位年轻人每天阅读时间的平均数 （单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
（2）若年轻人每天阅读时间 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，求
；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组 ，
， 的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于 的
人数 的分布列和数学期望．
附参考数据：若，则① ；② ；③
．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列见解析；期望为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可；
（2）依据 ，利用正态分布的对称性计算即可；
（3）先由题意得到随机变量 的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即
可.
【小问1详解】
根据频率分布直方图得：
．
【小问2详解】
由题意知 ，即 ，所以 ．
【小问3详解】
由题意可知 ， 和 的频率之比为： ，
故抽取的10人中 ， 和 分别为：2人，4人，4人，
随机变量 的取值可以为 ，
， ，
， ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
20. 如图所示，在三棱锥 中，已知 平面 ，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，在线段 上（不含端点），是否存在点 ，使得二面角的余弦值为 ，若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在； 是 上靠近 的三等分点
【解析】
【分析】（1）过点 作 于点 ，由面面垂直性质定理可得 平面 ，由此证明
，再证明 ，根据线面垂直判定定理证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求平面 ，平面 的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条
件列方程确定点 的位置；
【小问1详解】
过点 作 于点 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．【小问2详解】
假设在线段 上（不含端点），存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，
以 为原点，分别以 、 为 轴， 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
即 取 ， ， ，
所以 为平面 的一个法向量，
因为 在线段 上（不含端点），所以可设 ， ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
即 ，
取 ， ， ，
所以 为平面 的一个法向量，，又 ，
由已知可得
解得 或 （舍去）， 所以，存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，
此时 是 上靠近 的三等分点．
21. 在平面直角坐标系 中，已知点 、 ， 的内切圆与直线 相切于点
，记点M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线 上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接 .若直线
的斜率与直线 的斜率之和为0，试比较 与 的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据内切圆的性质得到 ，从而结合双曲线的
定义得到轨迹方程；（2）根据条件设 ， ， ， ， ， ，根据
直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到 ， ，结合弦长公式
得到 ，从而证明 ，进而可得 相似于 ，由四点
共圆的知识即可得到答案.
【小问1详解】
因为点 、 ， 的内切圆与直线 相切于点 ，
所以 ，
因此根据双曲线的定义可知，点 的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线的右支，
设点 的轨迹C的方程为 ，焦距为 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以点 的轨迹方程C为
【小问2详解】
由题意，直线 的斜率互为相反数，记 ，
则 ， ， ， ， ，
设 ，则直线 ， .联立直线 和双曲线方程 ，
整理得 .
该方程有两个不等实根 ， ，
则
根据韦达定理可得 ， ，
同理可得 ， .
又因为 ， .
， .
则 ，同理可得
即
进而可得 相似于 ，
即 ， ，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得
从而得 .
因此
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合问题.关键在于直线与双曲线方程的联立，进而通过韦
达定理的转化得到 ，进而得到 相似于 ，由A，B，Q，P四点共圆，可得
从而 进而得到答案.本题考查学生的数据运算与分析能力、数形
结合能力、转化与化归能力，属于难题.
22. 已知函数 ．
（1）当 时，
（I）求 处的切线方程；
（II）判断 的单调性，并给出证明；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）（I） ；（II） 单调递增，证明见解析
（2）
【解析】的
【分析】（1）由导数 几何意义可求得切线的斜率，从而可求切线方程；由
，令 ，求导判断单调性得
，即可求解；
（2）当 ，取 判断不成立；当 时，三次求导结合隐零点进行判
断不成立；当 时， ，可得 ，即.
【小问1详解】
当 时， ，可得 .
（I） ，
所以在 处的切线方程为 ，即 .
（II） ，
设 ，则 单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时， 单调递增.
【小问2详解】
设 ，
由题意 恒成立.
①当 时， 不恒成立，不合题意；
②当 时，设 ， ，
， ， ，
设 ， ， ， 单调递增，
由零点存在定理得 ，使得 .
在 上 ， ，即 ，
所以 在 上单调递减， ， 不恒成立，不合题意；③当 时， ，
则 ，
当 时， ，即 ，则 ，
所以当 时， 单调递增.
可得： ，即 ，所以 .综上， 的取值范围为 ．
【点睛】不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图象在 上方即可)；
③分类讨论参数.
