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绵阳南山中学高 2021 级高三上期 10 月月考试题
文科数学参考答案
1-5BBCAD 6-10BDCCA 11-12AC
12.【详解】由题意知： 或 ,
7 7 3
6 +3 = 4+ 6 +3 = 4 + , ∈
∴ 或 .
1 1
=3(1+4 ) =3(3+4 ), ∈
∵ 在 上单调递增,∴ ,∴ .
7 5 5π 7 1 2
( ) 6 ,3 3 − 6 ≤ 2 2 ≤2⋅ ⇒ ≤2
①当 时,取 知 ,此时 ,当 时,
1 1 1 7 5
=3(1+4 ) =0 =3 ( )= sin 3 +9 ∈ 6 ,3
,此时 在 上不单调,舍去.
1 2π 7 5
3 +9 ∈ 2, 3 ( ) 6 ,3
取 时, ,此时 ,当 时, 此时 在
5 5 4 7 5 5 4 3 7
=1 =3 ( )= sin 3 − 9 ∈ 6 ,3 3 − 9 ∈ 2 , 3 ( )
上单调递增,∴ .
7 5 5
6 ,3 =3
②当 时,取 知 ,此时 ,当 时,
1 7 5
=3(3+4 ) =0 =1 ( )= sin +3 ∈ 6 ,3
,此时 在 上单调递增,∴ .
3 7 5
+3 ∈ 2 ,2 ( ) 6 ,3 =1
综上： 或 , .
5 5 8
=3 1 =3+1= 3
13． 14． 15． 16．39
1 5
16.【2详解】由 2 得 −2 ,
2 2 2 2
令 1− + +, − =0 1− + 的 +图 象关=于 对称,
2 2 2 2
显然 = 1为− 的 两+个 零 点+ ,故由 对 称=性可1知− , 的+另 外 两+个 零点分别为 =−2,
1,−1 −5,−3
即 ,解得 ,
25−5 + =0 =8
令 9−3 + =0 =15,则 ,
2 2 ′ 2
故当ℎ = 1− 或 +8 +15 ℎ 时,=−4单 调+递2增 , +4 −1
当 <−2− 5 或−2< <−2时+, 5 单ℎ调 递减,
− 5< <−2 >−2+ 5 ℎ
答案第1页,共4页又 , ,
画出ℎ −2−图象5可=得ℎ −2+,故5 =16ℎ −2 =−9 .
=16 + + =8+15+16=39
17．(1) ；(2) .
3 2
−8, 8 + ∈ 2 +1
【详解】（1）解： ,--------------------------------------------3分
π
= ⋅ = 2cos(2 +4)+1
所以 解得单调减区间为： .-------6分
3
2 ≤2 +4 ≤ +2 , ∈Z, −8, 8 + ∈
（2）解：由（1）知 ,---------------------------------------------------8分
π
g = 2cos 2+12 +1
当 时,可得 ,--------------------------------------------------------------------9分
π π 7π
∈ 2, 2+12∈ 3,12
所以当 时,即 ,函数 的最大值为 .------------------------------------12分
π π 2
2 +4 =3 =24 g 2 +1
18．(1) ；(2) .
=2 −1 =2 +1
【详解】（1） ,----------------------------------------------------3分
令 得 − −1 = , 解=得2 −1, 因≥此2 .----------------------------6分
∗
（ 2）=1 1 =1+1− 1 1 =1 ,--- - -- = --- 2 -- --- − -- 1 --- --- ∈ --- --------------------------------9分
1 1 1 1 1
+1 = 2 −1 2 +1 =2 2 −1−2 +1
故 ,
1 1 1 1 1 1 1 1
=2 1−3+3−5+5−7+⋯+2 −1−2 +1
故 .---------------------------------------------------------------------------12分
1 1
=2 1−2 +1 =2 +1
19．(1) ；(2) .
= 3 2 3
【详解】（1） ------------------------------------------------5分
sin2 2sin cos sin π
2
（2）由余弦定1+理co得s2 = 2cos =cos = 3, = 3 ,∴ ,---------------------------------7分
2 2 2 2
因为 的周长为 = + −2 cos =3 = 3 ,得 , ,
. △所以 的面积 +为 + =2 + 3 + = 3+ 3 =6+2 . 3 ------ -- = --- 2 -- --- = --- 4 -- 12 =分
1 1 π
2 3 △ △ =2 sin =2×4×2×sin3 =2 3
20．(1)极大值 ,极小值 ；(2) .
5
0 =3 1 =2 3,+∞
【详解】（1） 时， ,-------------------------------------2分
3 ′ 2
=2 =3 −3 =3 −1
答案第2页,共4页令 ,解得 或 .-----------------------------------------------------------------------4分
′
当 =或0 时=, 0 =1 单调递增；当 时, 单调递减.
′ ′
所以 >1 的 极<大0值为 >0, , 极 小值为 .- 0 --- < --- -- < --- 1 ------- --- ---- < --- 0 - , -- --- --------------6分
5
（2）
当
时,
0 =3
,因此
1 =2
在 上恰有3个实数解等价于
有三 =个0解,即 0 =与3 ≠ 0 图+象1有=三0个 交∈点R .---- R ----------------------------------8 分=
4 4
2 2
+ = = +
因为 ,令 ,可得 或 ;令 可得 .
3
−8
因此 在= ， 3 单 调 递>减0 ,在 >，2 ，< 0 单 调<递0增,且 0< < .- 2 --------------10分
根据函 数 图象0可2知 .-−--∞-----0---,---2-----+---∞-------------------- ---2----=---3-----------------12分
21．(1)答案见解析 ；∈(2)3,+∞ ；证明见解析.
∈(e,+∞)
【详解】（1） ,-----------------------------------------1分
′ +1 1 ( +1)( +1)
2 2
= + + = ( >0)
当 时, ,所以 在区间 上单调递增.------------------------------------3分
′
当 ≥ 0时, 令 >0 ,得 ( ) (；0,令+∞) ,得 ,-------------------------------4分
′ 1 ′ 1
<0 >0 0< <− <0 >−
所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
1 1
综上 :当 ( ) 时, 0,− 在 区间 上单调递 − 增 , , +∞
≥0 ( ) (0,+∞)
当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.--------------5分
1 1
（ 2） < 方 0 程 ( ) 0,− ,即 − ,等 , 价 + 于 ∞ ,---------------6分
2
( )= e + ln −1 + ln = e ln e = e
令 ,其中 ,则 ,显然 ,令 ,则 ,
′ ln −1
2
所以 = e 在 > 区 0 间 上 > 单 0 调 递 ln 减 , = 且 由 ≠ 时 1 ℎ = 可ln得 在 ℎ 区 间 = ln 上 ,
在ℎ区 间 上0,1单调递减,在区间 → 0上单ℎ 调 递<增0 ,所以 0,1 ℎ( )<0 ,
极小值
ℎ (1,e) (e,+∞) ℎ( ) =ℎ(e)= e
所以关于 的方程 有两个实根 , ,
有 , =ln , , 1 -- - 2 -------------------------------------------------------------8分
1 2
1 = 1e 2 = 2e ∈(e,+∞)
要证 ,即证 ,即证 ,只需证 ,
2
1+ 2 e 1 2 2 2
e > 1 2 1e ⋅ 2e >e 1 2 >e ln 1+ln 2 >2
答案第3页,共4页因为 ,所以 ,整理可得 ,
1 = ln 1 1− 2 = ln 1−ln 2 1+ 2 ln 1+ln 2
不妨设 2 = ln 2 ,则只 1需+证 2 = ln 1+ln 2 ,-- 1 - − -- - 2 -- = --- ln -- - 1 - − - l - n - - 2 --------------------10分
1+ 2 1
1 > 2 >0 ln 1+ln 2 = 1− 2ln 2 >2
即 1 ,令 , ,其中 ,
1 2 1− 2 2 2 −1 1 2( −1)
1
ln 2 > 1+ 2 = 2 +1 = 2 >1 ( )= ln − +1 >1
因为 ,所以 在区间 上单调递增,
2
′ 1 4 ( −1)
2 2
= −( +1) = ( +1) >0 (1,+∞)
所以 ,故 .---------------------------------------------------------------12分
2
1+ 2 e
ℎ( )> ℎ(1)=0 e > 1 2
22．(1) 的普通方程为 , 的直角坐标方程为 ；(2) .
2 2
1 + −2=0 2 4 + 2 =1 3+ 2
【详解】（1）由 得 ,代入得 的普通方程为 ．------2分
2 2
= 1− 2 2 =1− 1 + −2=0
由 得 ,因为 , ,
2 4 2 2 2 2 2 2
2
=sin +1 sin + =4 = + = sin
所以 的直角坐标方程为 .----------------------------------------------------------------5分
2 2
2 4 + 2 =1
（2）设曲线 上的任意一点的坐标为 , ,-----------6分
2 2
2: 4 + 2 =1 (2cos , 2sin ) ∈[0,2 )
则M到 的距离 ,----------------------------------------------8分
|2cos + 2sin −2| | 6sin( + )−2|
1 = 2 = 2
当 时,M到 的距离最大,此时 .-----------------------10分
6+2
sin( + )=−1 1 = 2 = 3+ 2
23．(1) ；(2) .
1 5
【详解】（
−2
1）
,4当 ∈
时
−
,
1,1
=1 ≤4⇔ +1 + 3 −2 ≤4
即 或 或 ,-----------------------------------------------------3分
2 2
<−1 −1< ≤3 >3
所以1不−等4 式≤的4解集 3 为 −2 ≤.4-------4-- --−---1--≤---4-------------------------------------------------------5分
1 5
−2,4
（2） 的解集包含 ,即 恒成立,------------------------------7分
1 1
即
<3 0,2 ∀ ∈ 0,2 ,
,
<3
所以 + +2−3 <3 ⇔−3 −1< , < +1
所以(−4 −1)m .- a - x --<---- ---<---(-2-- --+---1--)- m -- in -------------------------------------------------------------10分
∈ −1,1 答案第4页,共4页
