2025 届高三·八月·六校联考
数学科试题
命题人：刘嘉 审题人：翟浩宇 张汇华
（满分 150 分.考试时间 120分钟.）.
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号､考场号､座位号填写
在答题卡上.并用 2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一､单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.若集合A=
{
x x≤1
}
,B=
{
x lnx<1
}
，则
(
A
)∩B=（
）
R
A.
(
0,1
)
B.
(
0,e
)
C.
(
1,e
)
D.
( e,+∞)
( ) 11
2.已知随机变量X服从正态分布N 1,σ2 ，若P(X <0)+P(X <3)= ，则P(2< X <3)=（ ）
10
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
3.若函数 f ( x )=ex−
m
m 在区间
( 2,+∞)
上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A.
[−2,0 )
B.
(−∞,−2 ]
C.
(−∞,0 )
D.
[ 2,+∞)
4.已知：sin
(α+β)=m,tanα=3tanβ，则sin (α−β)=（
）
m m m m
A. B.− C. D.−
4 4 2 2
5.在菱形ABCD中，若 AB−AD = AB ，且AD在AB上的投影向量为λAB，则λ=（ ）
1 1 2 2
A.− B. C.− D.
2 2 2 2
6.已知函数 f ( x )= x ( x+a )2在x=1处有极小值，则实数a=（ ）
A.3 B.−3 C.1 D.−1
7.将半径为R的铁球磨制成一个圆柱体零件，则可能制作的圆柱体零件的侧面积的最大值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A.πR2 B.2πR2 C.2 2πR2 D.4πR²
x2 y2
8.设双曲线C: − =1 ( a0,b>0)的左､右焦点分别为F,F ，过F 的直线与C的右支交于M，N两
a2 b2 1 2 2
点，记MFF 与NFF 的内切圆半径分别为r,r .若rr =9a2，则C的离心率为（ ）
1 2 1 2 1 2 1 2
A. 2 B. 3 C.3 D.4
二､多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.已知奇函数 f ( x ) 的定义域为R，若 f ( x )= f ( 2−x ) ，则（ ）
A. f
(
0
)=0
B. f
(
x
)
的图象关于直线x=2对称
C. f ( x )=−f ( x+4 ) D. f ( x ) 的一个周期为4
10.已知等比数列 { a } 的公比为q，前n项和为S .若S =−1，且∀n∈N*,a >a ，则（ ）
n n 1 n−2 n
1
A.a >0 B.0<q<1 C.a >a D.S <
2 n−1 n n q−1
11.设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都有三角形式：r
( cosθ+isinθ)
，其中r为复数z的
模，θ是以x轴的非负半轴为始边，射线OZ为终边的角（也被称为z的辐角）.若
z =r ( cosα+isinα) ，z =r ( cosβ+isinβ) ，则z ⋅z =rr
cos (α+β)+isin (α+β) .从0，1，
1 1 2 2 1 2 1 2
3中随机选出两个不同的数字分别作为一个复数的实部和虚部，如此重复操作n次，可得到n个复数：
z ,z ,,z ,记X = z z z .（ ）
1 2 n n 1 2 n
A.不存在n，使得 X =2024
n
π
B.若( X )2024为实数，则X 的辐角可能为
1 1 6
11
C. X ≤4的概率为
4
27
3
D.
(
X
)2为整数的概率为
4 8
三､填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.已知圆x2 + y2 =4与抛物线y2 =2px ( p>0 ) 的准线交于A，B两点，若 AB =2 3，则 p=
___________.
学科网（北京）股份有限公司 π π π
13.若函数 f ( x )=sin ωx− 与g ( x )=sin ωx+ 在区间0, 上均单调递增，则实数ω的取值范
4 4 2
围为___________.
14.已知正方体ABCD−ABC D 的棱长为1，若在该正方体的棱上恰有4个点M，满足
1 1 1 1
MB + MC =d ，则d的取值范围为___________.
1
四､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+csinB=a，
（1）求角B的大小，
c
（2）若AB边上的高为 ，求cosC .
4
16.（15分）
π
如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABC ⊥平面BCD，∠BCD=∠BDC = .P为棱AC的中点，点Q在
6
棱CD上，PQ⊥ BC，且DQ=2QC.
（1）证明：AB⊥平面BCD；
（2）若AB= BD，求平面CPQ与平面ABD的夹角的余弦值.
17.（15分）
已知函数 f ( x )=ex +acosx在x=0处的切线方程为 y = x+2.
（1）求实数a的值；
3π
（2）探究 f ( x ) 在区间 − ,+∞ 内的零点个数，并说明理由.
2
18.（17分）
x2 y2
已知椭圆C: + =1的右焦点为F，点A，B在C上，且AF =λFB (λ>0 ) .当λ=1时， AB =3.
4 b2
（1）求C的方程；
AP
（2）已知异于F的动点P，使得 =λ.
PB
学科网（北京）股份有限公司（i）若A，B，P三点共线，证明：点P在定直线上：
3
（ii）若A，B，P三点不共线，且λ= ，求ABP面积的最大值.
5
19.（17分）
对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数
为a ；若n为奇数，则对3n+1不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为a .若a =1，则称正整
n n n
数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知a =m−9.求m的值；
m
{ } { }
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列 b ，记 b 的前n项和为S ，证
n n n
7( )
明：S < n∈N* .
n 3
学科网（北京）股份有限公司2025 届高三·八月·六校联考
数学科答案及评分标准
一､单项选择题（每小题 5分，共 40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A A C B D B D
二､多项选择题（每小题 6分，共 18分）
题号 9 10 11
答案 AD BC ACD
三､填空题（每小题 5分，共 15分）
题号 12 13 14
1 )
答案 2
0,
2
2, 4+2 2
四､解答题（共 5小题，共 77分）
15.（13分）
解：（1）在ABC中，A=π−( B+C ) ，
∴sinA=sin ( π−( B+C )) =sin ( B+C )=sinBcosC+sinCcosB
a b c
由正弦定理： = =
sinA sinB sinC
∴由sinA=sinBcosC+sinCcosB可得a =bcosC+ccosB，
又由题意知a
=bcosC+csinB,∴sinB=cosB，且B∈(
0,π
)
π
∴B= .
4
c
（2）在ABC中过点C作边AB的高CD，交边AB与D，由题意可知CD= ，且BCD和ACD都
4
是直角三角形.
π c 3
因为B= ，所以BCD是等腰直角三角形，所以BD=CD= ,AD= AB−BD= c
4 4 4
2 10
由勾股定理，BC2 = BD2 +CD2,AC2 = AD2 +CD2，解得BC = c,AC = c.
4 4
学科网（北京）股份有限公司a2 +b2 −c2
在ABC中，由余弦定理得：cosC = ，
2ab
2 2
2 10
c + c −c2
因此
cosC =
4 4
=−
5
2 10 5
2⋅ c⋅ c
4 4
16.（15分）
（1）证明：如图1，取棱CD靠近D的三等分点R，连结AR,BR，则Q是CR的中点，
∴PQ∥ AR,BC ⊥ AR.
设BC = 3a，则BD= 3a,CD=2BCcos∠BCD=3a,CR=2a.
( )
在BCR中，由余弦定理，BR= ( 3a)2 +(2a)2 −2× 3a ×( 2a )×cos∠BCD =a，
∴BR2 +BC2 =CR2,BC ⊥ BR.
又AR∩BR= R,∴BC ⊥平面ABR，即BC ⊥ AB.
又由平面ABC ⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD= BC,∴AB⊥平面BCD.
（2）由（1）知，AB⊥ BC,AB⊥ BR.以B为原点，BC的方向为x轴正方向建立如图2所示的空间直
角坐标系B−xyz.
( ) ( ) 3 1
令AB= BD= 3,∴C 3,0,0 ,A 0,0, 3 ,R ( 0,1,0 ) ,Q , ,0.
2 2
学科网（北京）股份有限公司
设平面CPQ的法向量为n
=(
x,y,z
)
，
1
n ⋅AC =0, 3x− 3z =0, ( )
则 1 即 令z =1，可得n = 1, 3,1 .
1
n ⋅AR=0, y− 3z =0,
1
3 1
易知平面ABD的一个法向量为BQ= , ,0.
2 2
n ⋅BQ
3 15
1
设平面CPQ和平面ABD的夹角为θ，则cosθ= = = ，
n ⋅ BQ 5 5
1
15
∴平面CPQ和平面ABD夹角的余弦值为 .
5
17.（15分）
解：（1）由题可知 f′( x )=ex −asinx，
由x=0处的切线方程为y = x+2,∴k = f′( 0 )=e0 =1，
把点 ( 0,2 ) 代入得e0 +acos0=2,∴a =1.
（2）由（1）可知 f ( x )=ex +cosx,∴ f′( x )=ex −sinx，
令g ( x )= f′( x ) ,g′( x )=ex −cosx，
3π 3π
当x∈ − ,−π时，g′( x )>0，则g ( x ) 在区间 − ,−π上单调递增.
2 2
3π − 3π
g − =e 2 −1<0,g (−π )=e−π >0，
2
−3π
∴由零点存在定理可知，存在x ∈ ,−π，使得g ( x )=0，即ex 0 =sinx ,
0 2 0 0
3π 3π
∴当x∈ − ,x 时， f′( x )<0，则 f ( x ) 在区间 − ,x 上单调递减；
2 0 2 0
当x∈( x ,−π ) 时， f′( x )>0，则 f ( x ) 在区间 ( x ,−π ) 上单调递增，
0 0
3π − 3π 3π
又 f − =e 2 +cos − >0, f (−π )=e−π −1<0，
2 2
3π
∴由零点存在定理可知 f ( x ) 在区间 − ,−π上有且仅有一个零点.
2
学科网（北京）股份有限公司当x∈[−π,0 ) 时， f′( x )=ex −sinx>0；
当x∈[ 0,+∞) 时， f′( x )=ex −sinx≥e0 −1≥0：
∴ f ( x ) 在区间 [−π,+∞) 上单调递增.
又 f (−π )=e−π −1<0, f ( 0 )=e0 +1>0，
∴由零点存在定理可知，存在唯一零点x ∈[−π,0 ) ，使得 f ( x )=0，
2 2
−3π
综上可得， f ( x ) 在区间 ,+∞ 有且仅有两个零点.
2
18.（17分）
解：（1）当λ=1时，由对称性可知AB⊥ x轴，
c2
∴ AB =2b 1− =b2 =3，
4
x2 y2
∴C的标准方程为 + =1.
4 3
（2）（i）（方法一）点P异于点F,∴λ≠1，
设A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ，直线AB的方程为x=my+1，
1 1 2 2
x2 y2 ( )
联立方程 + =1，得 3m2 +4 y2 +6my−9=0，
4 3
6m 9
∴y + y =− ,y y =− ，
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
x +λx =1+λ,
由AF =λFB可知 1 2
y +λy =0,
1 2
AP
A,B,P三点共线，且 =λ(λ>0且λ≠1)，
PB
∴点P在线段AB的延长线或反向延长线上，
x −λx
则PA=λPB，设P ( x,y ) ，则x= 1 2 ，
1−λ
y
x + 1 x
y 1 y 2 x y +x y
由 y +λy =0，则λ=− 1 ，代入上式得x= 2 = 1 2 2 1 ，
1 2 y y y + y
2 1+ 1 1 2
y
2
学科网（北京）股份有限公司x y +x y ( my +1 ) y +( my +1 ) y 2my y +( y + y )
∴x= 1 2 2 1 = 1 2 2 1 = 1 2 1 2 ，
y + y y + y y + y
1 2 1 2 1 2
6m 9
把 y + y =− ,y y =− ，代入上式得x=4，命题得证.
1 2 3m2 +4 1 2 3m2 +4
（方法二）点P异于点F,∴λ≠1，
x +λx =1+λ,
设A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ，由AF =λFB可知 1 2
1 1 2 2 y +λy =0,
1 2
AP
A,B,P三点共线，且 =λ(λ>0且λ≠1)，
PB
x −λx
∴点P在线段AB的延长线或反向延长线上，PA=λPB，设P ( x,y ) ，则x= 1 2 ，
1−λ
x −λx ( x −λx )( 1+λ) ( x −λx )( x +λx )
∴ 1 2 = 1 2 = 1 2 1 2 ，
1−λ ( 1−λ)( 1+λ) 1−λ2
x2 y2 x2 y2
1 + 1 =1①, 2 + 2 =1②，
4 3 4 3
x2 −λ2x 2 y2 −λ2y 2
将①式减去②式，得 1 2 + 1 2 =1−λ2，
4 3
( x +λx )( x −λx ) ( y +λy )( y −λy )
即 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =1−λ2，
4 3
则 ( x +λx )( x −λx )=4 ( 1−λ2 ) ，
1 2 1 2
∴点P在定直线x=4上，命题得证.
3 8
x + x = , 8
3 1 5 2 5 x =
（ii）当λ= 时，由（i）可知 解得 1 5
5 x − 3 x = 8 , x =0,
1 5 2 5 2
8
x =
不妨设A在第一象限，则将 1 5 代入C的方程，
x =0
2
8 3 3 ( )
得A , ,B 0,− 3 ，
5 5
8 2 3 3 2 16
∴ AB = −0 + + 3 = ，
5 5 5
学科网（北京）股份有限公司3 3
+ 3
则直线AB的方程为y = 5 ( x−0 )− 3，即y = 3 ( x−1 )，
8
−0
5
设P ( x,y ) ( y ≠ 3 ( x−1 ) ) ，由 P A B P =λ可知 x− 8 5 2 + y− 3 5 3 2 = 5 3 x2 +(y+ 3)2 ，
5 2 3 3 2
化简得 x− + y− =9，
2 2
5 3 3
∴点P在以M , 为圆心，3为半径的圆上，且不在直线y = 3 ( x−1 )上，
2 2
5 3 3
M , 在直线AB上，
2 2
1 16 24
∴PAB面积的最大值为 × ×3= .
2 5 5
19.解：（1）易知a =1,a =1,a =5,a =1,a =1,（后续直到20都不满足条件）
1 2 3 4 5
∴2和5为两个质数"理想数"；
（2）由题设可知a =m−9必为奇数，∴m必为偶数，
m
m 9
∴存在正整数 p，使得 =m−9，即m= +9：
2p 2p −1
9
∈Z，且2p −1≥1，
2p −1
∴2p −1=1，或2p −1=3，或2p −1=9，解得 p=1，或 p=2，
9 9
∴m= +9=18，或m= +9=12，即m的值为12或18.
21−1 22 −1
( )
（3）显然偶数"理想数"必为形如2k k∈N* 的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间： ( 20,22
, ( 22,24
, ( 24,26
,, ( 22k−2,22k
，
若奇数m>1，不妨设m∈ ( 22k−2,22k
，
若m为"理想数"，则 3m+1 =1 ( s∈N*，且s>2 ) ，即m= 2s −1( s∈N* ，且s>2 ) ，
2s 3
①当s =2t ( t∈N* ，且t >1 ) 时，m= 4t −1 = (3+1)t −1 ∈Z；
3 3
学科网（北京）股份有限公司( ) 2×4t −1 2×(3+1)t −1
②当s =2t+1 t∈N* 时，m= = ∉Z；
3 3
∴m=
4′−1(
t∈N* ，且t >1 ) ，
3
4′−1
又22k−2 < <22k，即3×4k−1 <4′−1≤3×4k，
3
易知t =k 为上述不等式的唯一整数解，
∴区间 ( 22k−2,22k ]存在唯一的奇数"理想数"m= 4k −1( k∈N*，且k >1 ) ，
3
显然1为奇数"理想数"，∴所有的奇数"理想数"为m=
4k −1(
k∈N* ) ，
3
3 ( )
∴所有的奇数"理想数"的倒数为 k∈N* ，
4k −1
3 3 1 3
< = ×
4k+1−1 4k+1−4 4 4k −1
1 1 1 1 1
∴S =b +b ++b <b +b ++b +b +<
+ + +
+ 1+ + +
n 1 2 n 1 2 n n+1 2 22 23 5 21
1 1 1 1 1 7
< 2 × 1 + 1+ 4 + 42 + <1+1× 1 = 3 ，即S < 7( n∈N* ) .
1− 1− n 3
2 4
学科网（北京）股份有限公司
