辽宁省六校2023-2024学年高三上学期期初考试数学(1)_2023年8月_028月合集_2024届辽宁省六校高三上学期期初考试

2023—2024 学年度（上）省六校高三年级期初考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合Ax 2x1 ，Bx 02x5 ，则AB  1 5  5  1 A．x x  B． x x2 C．x x  D．x x   2 2  2  2 2.已知复数z1ii，则下面关于复数z的命题正确的是 1 1 A．z   i B．复数z的虚部与实部互为相反数 2 2 C． z 1 D．复数z对应的点在第一象限 3.果ab0，那么下列不等式成立的是 1 1 1 1 A．  B．abb2 C．aba2 D．  a b a b 3x 1 x0 4.已知函数 f x ，若 f(a)2，则 f(a1)  log 3 x1 x0 A．log 10 B．log 5 C．log 2 D．1 3 3 3 5.已知函数 f x的图象如图1所示，则图2所表示的函数是 A．1 f x B．f 2x C． f x1 D．1 f x 6. 为纪念我国伟大数学家祖冲之在圆周率上的贡献，国际上把3.1415926称为“祖率”，某教师为了增加学 生对“祖率”的印象，以“祖率”为背景设计如下练习：让同学们把小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6进行随机 排列，整数部分不变，那么可以得到小于3.14的不同数有（ ）个 A. 120 B. 240 C. 480 D. 720 学科网（北京）股份有限公司7. 黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的 历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列 a  时，发现其递推公式a a a ,  nN* 就可以利用“ 叠罗汉” 的 n n2 n1 n a a a 3 1 2 a a a a a a 思想来处理，即 4 3 2 1 2 2 ，如果该数列 a  的前两项 a a a a a a a n 5 4 3 1 2 2 3  分别为a 1,a 2，其前n项和记为S ，若a m，则S  1 2 n 2023 2021 2m1 A. m2 B. C. m2 D. 2m 2 8. 已知定义域为R 的函数 f x ，其导函数为 f x，且满足 fx2f x0，且 f 01，则 1 A. e2f 11 B. f   e 2 1 C. f 1e2 D. f 1ef   2 二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分. 9. 月亮公转与自转的周期都大约为27天，阴历是按月亮的月相周 期安排的历法，人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时刻y x 2 4 7 10 15 22 （简称“月出时刻”，单位：h）与阴历日数x（xN*，且x30） y 8.1 9.4 12 14.4 18.5 24 的有关数据如表所示，并且根据表中数据，求得y关于x的经验回 归方程为yˆ 0.8xaˆ.其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日0：00）才 出来.则（ ） A．x10，y14.4 B．aˆ6.8 C．预报月出时刻为16h的那天是阴历13日 D．预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上4：00 10. 若关于x的不等式x2m3x3m0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值可以是 13 1 1 13 A． B． C． D． 2 2 2 2 学科网（北京）股份有限公司11.已知 f x是定义在R上的偶函数，且对任意xR，有 f 1xf 1x，当x0,1时， f xx2x2，则下列结论正确的是 A． f x是以4为周期的周期函数 B． f 2021 f 20222 C．函数y f xlog x1有3个零点 D．当x3,4时， f xx29x18 2 12. 设a 1,b1，且abab1，那么    2 A．ab有最小值2 21 B．ab有最大值 21 C．ab有最大值32 2 D．ab有最小值32 2 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分. 5  2  13. 已知  ax2   展开式中的常数项为80，则实数a  .  x  f x 14. 已知函数 f  x21  的定义域为1,2，则函数gx 的定义域为________. lgx2 15. 已知过点P(a,1)可以作曲线y＝lnx的两条切线，则实数a的取值范围是________． 16. 已知集合A  x x2n1,nN* ，B  x x2n,nN*  ，将AB中的所有元素按从小到大的顺序排 列构成一个数列a ，设数列a 的前n项和为S ，则使得S 1000成立的最小的n的值为 n n n n _____________. 四、解答题:本题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.  1  17. 若数列 是等差数列，则称数列a 为调和数列.若实数a、b、c依次成调和数列，则称b是a和c的 a  n n 调和中项. 1 (1)求 和1的调和中项； 3 (2)已知调和数列a ，a 6，a 2，求a 的通项公式. n 1 4 n 18. 飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新 潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到 学科网（北京）股份有限公司如下列联表: 飞盘运动 性别 合计 不爱好 爱好 男 6 16 22 女 4 24 28 合计 10 40 50 (1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人 访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)依据小概率值0.01的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩 大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还 一样吗？请解释其中的原因. nadbc2 附:2  ，其中nabcd. abcdacbd  0.1 0.01 0.001 x 2.706 6.635 10.828  19.已知函数 f x x3ax2 xaR （1）若函数 f x 存在两个极值点，求a的取值范围； （2）若 f x xlnxx在 0, 恒成立，求a的最小值. 学科网（北京）股份有限公司20. 2023年4月23日是第28个“世界读书日”.为了倡导学生享受阅读带来的乐趣、尊重和保护知识产 权，立德中学举办了一次阅读知识竞赛.初赛中每支队伍均要参加两轮比赛，只有两轮比赛均通过的队伍才 3 能晋级.现有甲、乙两队参赛，初赛中甲队通过第一轮和第二轮的概率均为 ，乙队通过第一轮和第二轮的 4 3 2 概率分别为 ， ，且各队各轮比赛互不影响. 5 3 （1）记甲、乙两队中晋级的队伍数量为X，求X的分布列和数学期望； （2）经过激烈的比拼，甲、乙两队成功进入决赛争夺冠军.决赛共有两道抢答题.第一题中，某支队伍若抢 到并答对则加10分，若抢到但答错则对方加10分.第二题中，某支队伍若抢到并答对则加20分，若抢到但 1 答错则对方加20分.最终得分高的队伍获胜.假设两支队伍在每一题中抢到答题权的概率均为 ，且每一题 2 答对的概率分别与初赛中通过对应轮次的概率相等.各队各题作答互不影响.已知甲队获得了冠军，计算第二 题是由甲队抢到答题权的概率. 21. 设数列a 的前n项和为S ．已知a 1，2na 2S n2n，nN*． n n 1 n n (1)求证：数列a 是等差数列； n a2 (2)设数列b 的前n项和为T ，且T 2n1，令c  n ，求数列c 的前n项和R ． n n n n b n n n 学科网（北京）股份有限公司f x xlnxmx1 f x0 22. 已知函数 ，且 ． m （Ⅰ）求实数 的取值范围； 1 1 1 (1 )(1 ) (1 )k  k n 3 32 3n k （Ⅱ）设 为整数，且对任意正整数 ，不等式 恒成立，求 的最小值； 2023 1 2023 ( )2024  ( )2023 2024 e 2024 （Ⅲ）证明： 学科网（北京）股份有限公司2023—2024 年高三上学期期初考试数学答案 1-4 CBDA 5-8 CBAB 9．AD 10．BD 11．ACD 12．AD 13．1 14．2,33,5 15．0,e 16．36 17．（1）设 1 和1的调和中项为b，依题意得：3、 1 、1成等差数列， 3 b 1 3+1 1 所以 = =2，解得：b= ， b 2 2 故 1 和1的调和中项为 1 ； 5 分 3 2 （2）依题意，  1  是等差数列，设其公差为d，   a  n 1 1 1 则3d   d  ， 2 6 9 1 1 1 1 2n1 所以  n1d   n1 ， a a 6 9 18 n 1 故a  18 . 10 分 n 2n1 18．（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为4:6 ， 按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人. 随机变量X 的取值为:0,1,2,3. C3 1 PX 0 6  , C3 6 10 C1C2 1 PX 1 4 6  , C3 2 10 C2C1 3 PX 2 4 6  , C3 10 10 C3 1 PX 3 4  , C3 30 10 随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 1 1 3 1 P 6 2 10 30 学科网（北京）股份有限公司随机变量X 的数学期望EX0 1 1 1 2 3 3 1  6 . 6 分 6 2 10 30 5 （2）零假设为H :爱好飞盘运动与性别无关联. 0 506244162 根据列联表重的数据，经计算得到2  1.2996.635x , 10402228 0.01 根据小概率值0.01的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，因此可以认为H 成立，即认为爱好飞 0 0 盘运动与性别无关联. 列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后， 50060240401602 2  12.996.635x , 100400220280 0.01 根据小概率值0.01的独立性检验，推断H 成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联. 12 分 0 19．因为 f x x3ax2 xaR ， 所以 f 'x3x2 2ax1 因为函数 f x 存在两个极值点， 所以3x2 2ax10有两个不同的解， 所以4a2 120，解得a 3或a  3 5 分 lnx f x xlnx x在 0, 恒成立，即x2 axlnxa x恒成立， x ln x 令gx  x，则a gx x max 1lnxx2 因为gx ， x2 设hx1lnxx2 h10， y lnx,y 1x2在 0, 上都递减， 所以hx1lnxx2在 0, 上递减， 所以，当0 x 1时，hx0，此时g'x0，gx 在0,1上递增， 当x1时，hx0，此时g'x0，gx 在 1, 上递减， 学科网（北京）股份有限公司所以g(x)  g11， max 所以a1，即a 1 12 分 min 20解：（1）设“甲队晋级”为事件M ，“乙队晋级”为事件N ， 3 3 9 3 2 2 可得P(M)   ，P(N)   ， 4 4 16 5 3 5 则随机变量X 的可能取值为0,1,2，  9   2 21  9  2 9  2 41 可得PX 01 1  ；PX 11   1  .  16  5 80  16 5 16  5 80 9 2 9 PX 2   . 16 5 40 所以随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 9 21 41 40 P 80 80 21 41 9 77 则期望EX0 1 2  . 6 分 80 80 40 80 （2）由题意，第二题得分的那队获得胜利， 记事件A “甲队获得冠军”，B  “第二题由甲队抢到答题权”， 可得PAPBPA|BP  B  P  A|B   1  3  1   1 2  13 ， 2 4 2  3 24 PAB 1 3 3 又由PAB PB  P(B)P(A|B)   ， P(B) 2 4 8 3 故PB| A PAB  PBPA|B  8  9 . PA PA 13 13 24 12 分 21、1）2na 2S n2n①，当n2时，2n1a 2S n12n1②， n n n1 n1 ①－②得：2na 2n1a 2S S n2n12nn1, n n1 n n1 即2n1a 2n1a 2n1，所以a a 1，n2且nN*， n n1 n n1 学科网（北京）股份有限公司所以a 是以1为公差的等差数列． 5 分 n （2）由（1）得，a n．当n 1时，b T 1；当n2时，b T T 2n1； n 1 1 n n n1 又b 1满足上式，所以b 2n1 nN* ．所以c  n2 ，记数列c 的前n项和为R ． 1 n n 2n1 n n 12 22 32 n2 R    L  ，① n 20 21 22 2n1 1 12 22 32 n2 R    L  ，② 2 n 21 22 23 2n 1 1 3 5 2n1 n2 ①－②得 R    L   ，③ 2 n 20 21 22 2n1 2n 1 1 3 5 2n3 2n1 n2 则 R    L    ，④ 4 n 21 22 23 2n1 2n 2n1 1 1 1 1 n2 2n1 n2  1  2n1 n2 n24n6 ③－④得 R 11  L     121   3 ，所以 4 n 2 22 2n2 2n 2n 2n1  2n1 2n 2n1 2n1 n24n6 R 12 ． 12 分 n 2n1  m 22．（1）  f xxlnxm 0在0,上恒成立  x  m lnxm 0在0,上恒成立 x m 1 m xm 设gxlnxm ,gx   x x x2 x2 ① 当m0时，gx0恒成立 gx在0,上单调递增，且g10 x0,1时，gx0不符合题意，舍去 ② 当m0，令gx0，则xm，令gx0，则0xm gx在0,m上单调递减，在m,上单调递增 gx gmlnmm10 min 1x 设hxlnxx1,hx x hx0,则0x1;令hx0,则x1 hx在0,1上单调递增，在1，+上单调递减 hx h10,即当hm0时，m1 max 学科网（北京）股份有限公司m的取值范围是m1 4 分 （2）由（1）知，hx0,即lnxx1在0，+上恒成立当且仅当x1 时等号成立 1  1  1 令x1 ,则ln1  3n  3n  3n 1 1  1   1   1   1  1 1 1 3 3n  1 1  1 ln1 ln1 ...ln1   ...   1   31  32   3n  31 32 3n 1 2 3n  2 1 3 1 1 1 即(1 )(1 ) (1 ) e,k  e  3 32 3n 1 又1+ 1且kz,k的最小值为2 8 分 31 2023 1  1  1 2023 1 （3）令x1 ,则l n 1  ,即      2023  2023 2023 2024 e 2024 1  1  1 2023 1 令x1 ,则l n 1  ,即      2024  2024 2024 2024 e 2024 2023 12 分 2023 1 2023       2024 e 2024 学科网（北京）股份有限公司