高2021级高三上期入学测试参考答案（理科）(1)_2023年9月_01每日更新_8号_2024届四川省射洪中学高三上学期开学考试_四川省射洪中学2024届高三上学期开学考试理科数学

射洪中学高2021级高三上期入学考试
理科数学参考答案
一、选择题 BACDC DBAAD CC
1 4
12.【详解】由条件知b= ，c=2ln2-ln3=ln ，
4 3
设fx  =x-sinx，x∈0,+∞  ，
则fx  =1-cosx≥0，所以函数fx  在0,+∞  上单调递增，
于是fx  >f0  =0，即x>sinx，
π π 4 1
所以a=sin < < = =b，
16 16 16 4
设gx 
1
=lnx-1-
x
 x>0  ，则gx 
1 1 x-1
= - = ，
x x2 x2
当0<x<1时，gx  <0，当x>1时，gx  >0，
所以函数gx  在0,1  上单调递减，在1,+∞  上单调递增，
所以gx  ≥g1 
1
=0，即lnx≥1- ，当x=1时取等号，
x
4 1 1
所以c=ln >1- = =b，得到b<c，所以a<b<c．
3 4 4
3
二、填空题
1
13.10 14. 15.癸未 16.[-1,+∞)
6
16.【详解】由题意，函数f(x)=lnx-ax+1,g(x)=xex，
1+lnx-xex
要使得f(x)≤g(x)，即xex≥lnx-ax+1，即a≥ 对x∈(0,+∞)恒成立，
x
x+lnx
即a≥
  -ex+lnx  +1-x
对x∈(0,+∞)恒成立，
x
令h(x)=ex-x-1，可得h(x)=ex-1，
当x>0时，h(x)>0，hx  单调递增；当x<0时，h(x)<0，hx  单调递增，
所以函数h(x)在(0,+∞)单增，在(-∞,0)单减，
所以h(x)≥h(0)=0，即ex-x-1≥0，当且仅当x=0时，等号成立，
令H(x)=x+lnx，因为H(x)在(0,+∞)单增，
1
且H
e

1 1
= -1<0,H(1)=1>0，故∃x ∈ ,1
e 0 e
 使得H(x )=0，即x +lnx =0，
0 0 0
即(x+lnx)-ex+lnx≤x+lnx-(x+lnx+1)=-1，
[(x+lnx)-ex+lnx]+1-x
即 ≤-1，所以a≥-1，
x
即实数a的取值范围是[-1,+∞).
三、解答题
17.由m=2及x2-2mx+m2-1<0，得x2-4x+3<0，解得1<x<3，
所以B={x|1<x<3}，
理科答案第1页 共4页又A={x|-2<x≤3}，所以A∩B={x|1<x<3}.
由x2-2mx+m2-1<0，得[x-(m-1)][x-(m+1)]<0，
所以m-1<x<m+1，
所以B={x|m-1<x<m+1}.
由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，
m-1≥-2，
所以

解得-1≤m≤2，
m+1≤3，
所以m的取值范围为[-1,2].
18.(1)解：因为f(x)=x3-x2+1，
2
所以 f(x)=3x2-2x=3xx-
3
 ,x∈R,
x∈-∞,0 
2
∪ ,+∞
3
 ,fx 
2
>0;x∈0,
3
 ,fx  >0,
则f(x)的单调增区间为-∞,0 
2
, ,+∞
3

2
，f(x)的单调减区间为0,
3
 ，
2
所以f(x) =f(0)=1，f(x) =f
极大值 极小值 3

23
= ；
27
(2)设切点坐标为(m,n),则n=m3-m2+1①，
由f(x)=3x2-2x得：则f(m)=3m2-2m.
n n
由k= ，m≠0，得：则 =3m2-2m,n=3m3-2m2.②，
m m
由①②得m3-m2+1=3m3-2m2，
即2m3-m2-1=0，
即m-1  2m2+m+1  =0，若2m2+m+1=0，此时Δ=1-8=-7<0，则该方程无实数根，若m-
1=0，解得m=1，
综上m=1，代入得n=1，
所以切点坐标为(1,1).
19.(1)解：依题意可得2×2的列联表
选择物理 不选择物理 合计
男 300 140 440
女 280 180 460
合计 580 320 900
nad-bc
可得K2=
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
900300×180-280×140
=
 2
≈5.248<6.635，
440×460×580×320
所以不能有99％的把握认为“选择物理与学生的性别有关”
(2)根据题意，可得得分的随机变量X的可能取值为0，2，4，
C1 C1 1 C1 C1 3
则P(X=0)= 1 ⋅ 2 = ，P(X=4)= 3 ⋅ 2 = ，
C1 C1 8 C1 C1 8
4 4 4 4
理科答案第2页 共4页1 3 1
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=4)=1- - = ，
8 8 2
所以随机变量X的的分布列为：
X 0 2 4
1 1 3
P
8 2 8
则随机变量X的期望为EX 
1 1 3 5
=0× +2× +4× = .
8 2 8 2
b2+( 3)2=a2
20.(1)依题意，   1 ，解得  a=2 ，
⋅2a⋅2b=4 b=1
2
x2
所以椭圆C的方程为 +y2=1.
4
(2)由(1)知A(-2,0),A (2,0)，
1 2
显然直线EF不垂直于y轴，设其方程为x=my+1，E(x,y),F(x ,y )，
1 1 2 2
x=my+1

由x2 消去x并整理得m2+4
+y2=1
4
 y2+2my-3=0，
-2m -3
则y +y = ，yy = ，
1 2 m2+4 1 2 m2+4
y y
因为直线A E的斜率k = 1 ，直线A F的斜率k = 2 ，
1 1 x +2 2 2 x -2
1 2
3
而my 1 y 2 = 2 y 1 +y 2  ，
因此 k 1 = y 1x 2 -2
k 2

y 2x 1 +2 
= y 1my 2 -1 
y 2my 1 +3 
3
myy -y 2 y 1 +y 2 = 1 2 1 =
myy +3y 1 2 2
 -y 1
3 2 y 1 +y 2 
1 3
y + y 2 1 2 2 1 = = ，
3 9 3 +3y y + y 2 2 1 2 2
1
即直线A E和A F的斜率之比为定值 ，
1 2 3
tan∠EAO k 1
于是 1 = 1 = ，3tan∠EAO=tan∠FA O，
tan∠FA O k 3 1 2
2 2
所以存在λ=3，使得3tan∠EAO=tan∠FA O.
1 2
1 1
21.(1)由已知f(x)=lnx+1，当0<x< 时，f(x)<0，当x> 时，f(x)>0，
e e
1
∴f(x)的减区间是0,
e

1
，增区间 ,+∞
e
 ；
(2)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，g(x)定义域是R，
不等式2fx  ≤gx  -2x为2(lnx+1)≤ax2+2ax-2x，
∴不等式2(lnx+1)≤ax2+2ax-2x在(0,+∞)上恒成立，
2lnx+2+2x
∴a≥ 在(0,+∞)上恒成立，
x2+2x
2lnx+2+2x (x+1)(x+2lnx)
设h(x)= ，则h(x)=- ，x>0时，x+1>0，(x2+2x)2>0，
x2+2x (x2+2x)2
1
又φ(x)=x+2lnx在(0,+∞)上是增函数，φ
2

1
= -2ln2<0，φ(1)=1>0，
2
理科答案第3页 共4页1
∴存在x ∈ ,1
0 2
 ，使得φ(x )=0，0<x<x 时φ(x)<0，h(x)>0，x>x 时，φ(x)>0，h(x)<0，即
0 0 0
h(x)在(0,x )上递增，在(x ,+∞)上递减，
0 0
x
φ(x )=x +2lnx =0，lnx =- 0，
0 0 0 0 2
2lnx +2+2x 2+x 1 1
h(x) =h(x )= 0 0 = 0 = ，∴a≥ ，
max 0 x2+2x x2+2x x x
0 0 0 0 0 0
1
∵x ∈ ,1
0 2

1
，∴ ∈(1,2)，
x
0
∴整数a的最小值为2．
22.解析：(1)由题可知：(x-2)2=(sinα-cosα)2=1-sin2α，y2=1+sin2α，
所以C 的普通方程为(x-2)2+y2=2
1
2 2
又ρ sinθ+ cosθ
2 2

2
- =0，即C 的直角坐标方程为：x+y-1=0
2 2
2 
2
x=1-
2
t
由(1)可知，C 的参数方程为： ， 2 2
y= t
2
2
代入C 中有：-1- t
1 2

2 1
+ t2=2，
2
即t2+ 2t-1=0，即tt =-1，t +t =- 2
1 2 1 2
1 所以 PA  1 + PB  PA =  +PB  PA  ⋅PB  = t 1  +t 2  t 1 t 2  =t 1 -t 2  = t 1 +t 2  2-4tt = 6 1 2
1
23.解析：(1)当x≥ 时，fx
2

1
=2x+2x-1=4x-1<3，解得 ≤x<1；
2
1
当0<x< 时，则有fx
2

1
=2x+1-2x=1<3，解得0<x< ；
2
当x≤0时，fx 
1
=-2x+1-2x=1-4x<3，解得- <x≤0.
2
综上所述，不等式fx 
1
<3的解集为- ,1
2
 .
(2)证明：由绝对值三角不等式可得fx  =2x  +2x-1  ≥ 2x-2x-1    =1，
1
当且仅当0≤2x≤1时，即当0≤x≤ 时，等号成立，故m=1，
2
所以a+b  +b+c  =a+2b+c=1，
又因为a，b，c均为正数，
1 1 1 1
所以 + = +
a+b b+c a+b b+c
 a+b  +b+c   
a+b b+c a+b b+c
=2+ + ≥2+2 ⋅ =4，
b+c a+b b+c a+b
1 1 1
当且仅当a+b=b+c= 时，等号成立，故 + ≥4
2 a+b b+c
理科答案第4页 共4页