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高2021级数学（文科）答案
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的求解方法，结合集合的交集，可得答案.
【详解】由不等式 ，分解因式可得 ，解得 ，则
，
所以 .
故选：A.
2．已知 （i为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由已知等式求出复数 ，得到复数 ，由复数的几何意义得 在复平面内对应
的点所在象限.
【详解】由 ，得 ，则 ，在复平面内对应的点位于第
二象限.
故选：B
3．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先化为标准型，利用抛物线的准线方程可得答案.
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，所以准线方程为 .
故选：A.
4．已知函数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】利用分段函数的定义代入求值即可.
【详解】由题意可得： .
故选：C．
5．已知 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．11 D．无最小值
【答案】A
【分析】作出可行域,将目标函数变为 ,通过平移直线 即可求出 的
最小值.
【详解】根据题意,可行域如图所示:将直线 平移至刚好经过 时, 取的最
小值: .
故选:A.
6．下列函数中，既是 上的增函数，又是以 为周期的偶函数的是（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断作答.
【详解】显然函数 、 都是奇函数，AC不是；
当 时， ，而函数 在 上单调递减，函数 在
上单调递减，B不是；
函数 是周期为 的偶函数，当 时， ，为原函数，即
在 上递增，D是.
故选：D
7．定义在R上的奇函数 满足 是偶函数，当 时， ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得 ，进而可得
，即函数 是周期为4的周期函数，从而利用周期性即可求
解.
【详解】根据题意，函数 是定义在 上的奇函数，则 ，且 ，
又函数 是偶函数，则 ，变形可得 ，
则有 ，进而可得 ，
所以函数 是周期为4的周期函数，
则 .
故选：C.
8．用半径为10cm，圆心角为 的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为
（ ）
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司A． B．128 C． D．96
【答案】C
【分析】根据题意确定圆锥的母线长，根据扇形的弧长求出圆锥的底面半径和高，根
据圆锥体积公式即可求得答案.
【详解】设圆锥的底面半径为R，由题意可知圆锥母线长为 ，
由题意可得 ，
故圆锥的高为 ，
故圆锥的体积为 ，
故选：C
9．下列说法正确的有（ ）
①对于分类变量 与 ，它们的随机变量 的观测值 越大，说明“ 与 有关系”
的把握越大；
②我校高一、高二、高三共有学生 人，其中高三有 人.为调查需要，用分层
抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为 的样本，那么应从高三年级抽取 人；
③若数据 、 、 、 的方差为 ，则另一组数据 、 、 、 的方差
为 ；
④把六进制数 转换成十进制数为： .
A．①④ B．①② C．③④ D．①③
【答案】A
【分析】利用独立性检验可判断①；利用分层抽样可判断②；利用方差公式可判断③；
利用进位制之间的转化可判断④.
【详解】对于①，对于分类变量 与 ，它们的随机变量 的观测值 越大，说明“
与 有关系”的把握越大，①对；
对于②，由分层抽样可知，应从高三年级抽取的人数为 ，②错；
对于③，记 ，则 ，
所以，数据 、 、 、 的平均数为
试卷第4页，共3页，
其方差为
，③错；
对于④，把六进制数 转换成十进制数为： ，④对.
故选：A.
10．已知函数 的部分图象如图所示，若将函
数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函数图象可求出 的解析式为 ，再根据平移规则
可得 .
【详解】由图象可知， ，解得 ；
由振幅可知 ；
将 代入可得 ，又 ，即可得 ，
因此 ，
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司易知 ，
故选：C.
11．人们用分贝 来划分声音的等级，声音的等级 （单位： ）与声音强度
（单位： ）满足 .一般两人小声交谈时，声音的等级约为
，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为 ，那么老师上课时声音
强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍
【答案】C
【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系，求出声音等级即可比较得解.
【详解】∵声音的等级式 （单位： ）与声音强度 （单位： ）满足
，
又∵老师的声音的等级约为63dB，
，解得 ，即老师的声音强度约为 ，
∵两人交谈时的声音等级大约为 ，
，解得 ，即两人交谈时的声音强度约为 ，
老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的 倍.
故选：C
12．函数 的定义域为 ，当 时， 且 ，若函
数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 在 上的图象每次向右平移2个单位，且纵坐标变为原来的一半，
试卷第6页，共3页得到 在 上的图象，根据 的图象与 有四个不同的交点，得到
的取值范围.
【详解】先作出 在 上的图象，根据 可知 在 上的图象
为 在 上的图象向右平移2个单位且纵坐标变为原来的一半得到，
同理得到 上的图象，如图：
函数 有四个不同的零点可看作 与 有四个不同的交点，
由图可知 ，故 .
故选：A．
13．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ．
【答案】35
【分析】根据等差数列的前n项和公式，及等差数列的性质求解即可.
【详解】解： 等差数列 的前n项和为 ， ，
，
故答案为：35.
14．已知 ， ，则 .
【答案】
【分析】本题首先可通过同角三角函数关系求出 ，然后根据二倍角公式即可
得出结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
试卷第7页，共3页
学科网（北京）股份有限公司则 ，
故答案为： .
15．如图，若坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆 的周长八等分，且
，则该双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据圆的性质，结合代入法、双曲线渐近线方程进行求解即可.
【详解】
设双曲线的标准方程为 ，
设圆 与双曲线在第一象限内的交点为 ，连接 、 ，
则 ，
因为坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆 的周长八等分，则 ，
故点 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，所以 ，
试卷第8页，共3页所以该双曲线的渐近线方程为 ．
故答案为：
16．设函数 ，有下列结论：
① 的图象关于点 中心对称；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上单调递减；
④ 在 上最小值为 ，
其中所有正确的结论是 ．
【答案】②③
【分析】整理化简 解析式可得 ，根据正弦函数的相关性质
逐一进行判断即可．
【详解】
，
当 时， ，则 的图象关于点 中心对称，故①错误；
当 时， ，则 的图象关于直线 对称，故②正确；
由 ，得 ，
当 即 时，函数 单调递减，
则当 时，函数 单调递减，故③正确；
当 时， ，可知函数 在 上单调递增，
试卷第9页，共3页
学科网（北京）股份有限公司∴ 的最小值为 ，故④错误．
故答案为：②③．
17．最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，
是国家强盛的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应
未雨绸缪.某工厂有35周岁以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为
研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名
工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“35周岁以上(含35
周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组:
分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方
图.
（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名
“35周岁以下组”工人的概率.
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成
的列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
生产能手 非生产能手 合计
35岁以下
35岁以上
合计
附表:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
试卷第10页，共3页【答案】（1） ；（2）列联表见解析，有把握.
【分析】（1）分别计算样本中日平均生产件数不足60件的工人中35周岁以上组工人
个数与35周岁以下组工人个数，并分别做好标记，然后利用列举法以及古典概型计算
方法可得结果.
（2）分别计算“35周岁以上组”与“35周岁以下组”中的生产能手个数，然后列出
表格，并依据公式计算 ，可得结果.
【详解】（1）由已知得，
样本中有35周岁以上组工人60名，35周岁以下组工人40名，
所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，
35周岁以上组工人有 (人)，记为 ；
35周岁以下组工人有 (人)，记为
从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种:
至少有一名“35周岁以下组”工人的可能结果共有7种：
.
故所求的概率:
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，
“35周岁以上组”中的生产能手 (人)，
“35周岁以下组”中的生产能手 (人)，
据此可得 列联表如下:
生产能手 非生产能手 合计
35岁以下 10 30 40
35岁以上 30 30 60
试卷第11页，共3页
学科网（北京）股份有限公司合计 40 60 100
所以得:
所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，审清题意，同时识记公式，简单计算，属
基础题.
18．已知向量 ，函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边，且 ， ，求
的周长．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，二倍角公式、辅助角公式求出并化简 ，
再利用正弦函数单调性求解作答.
（2）由（1）求出 ，再利用余弦定理求解作答.
【详解】（1）依题意，
，
由 得： ，
所以函数 的单调递增区间是 .
（2）由（1）知， ，即 ，而 ，
则 ，于是 ，解得 ，
由余弦定理有 ，即
，
解得 ，
试卷第12页，共3页所以 的周长为 .
19．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为菱形，
为等边三角形，且 ， ， 为 的中点．
(1)若 为线段 上动点，证明： ；
(2)求点 与平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）因 为线段 上动点，明显要证明 平面 ，利用线面垂直判
定定理，分别证明 ， 即可；
（2）利用等体积变换求距离即得.
【详解】（1）
连接 ， ．
∵ 为等边三角形， ， ， ，
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， ，
， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ， ，
平面
又 平面 ，
（2）由（1）知 平面
试卷第13页，共3页
学科网（北京）股份有限公司平面 ，∴ ．
由题意 ，
∴ ， ，
∴ 中， ，
∴ 中， ，
∴ 中，由余弦定理得 ，
设点 到平面 的距离为 ，
则 即 ，
，
得 ，
故点 与平面 的距离为
20．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 与
交于 ， 两点， 的周长为8，且点 在 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与圆 ： 交于C，D两点，当 时，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 的周长结合椭圆的定义得出 ，再将 代入椭圆方
试卷第14页，共3页程，即可求出 ，进而得出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为 ，由点到之间距离公式及勾股定理得出 ，
设 ， ，由直线 方程与椭圆方程联立，得出 和 ，代入
，设 ， ，由 的单调性得
出值域，即可求出 的范围．
【详解】（1）因为 的周长为8，
所以 ，解得 ，
将点 的坐标代入椭圆方程 ，得 ，解得 ，
所以椭圆E的方程为 ．
（2）由（1）知圆 的方程为 ，设直线l的方程为 ，
则圆心 到直线l的距离 ，
由 ，可得 ．
设 ， ，联立方程组 ，
消去x得 ，
试卷第15页，共3页
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
设 ，
易知 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ．
21．已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点 ， ，求实数 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
试卷第16页，共3页【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求解；（2）首先判断函数的单调性，以及
极值，根据函数的零点个数判断 ，再通过构造函数，根据函数的单调性，
以及零点，求解不等式的解集；（3）根据函数的单调性，转化为证明
，再构造函数 ，利用导数判断函数的单
调性，即可证明.
【详解】（1）当 时， ，
， ， ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）函数 的定义域为 ，
，
当 时， 恒成立， 单调递增，所以 不可能有2个零点；
当 时，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ，当 时， ，
所以要满足函数 有2个零点，只需 ，
即 ，
整理得 ，
设 ，函数的定义域为 ，
试卷第17页，共3页
学科网（北京）股份有限公司，所以 在定义域上单调递增，
且 ，则不等式 的解集为 ，
所以 的取值范围为 ；
（3）证明：由（2）知， ，则 ，
要证明 ，即证明 ，
不妨设 ，
因为 ，所以 ，
又 ，函数 在 上单调递增，
此时需证明 ，
当 ， 时，
可得 ，
因为 ，即证明 ，
设 ，函数的定义域为 ，
，
所以 在 单调递增，则 ，
，所以 ，
试卷第18页，共3页又 在 上单调递增，所以 ，
即 ，命题得证.
【点睛】关键点睛：本题考查导数研究函数的性质，不等式，双变量，零点偏移问题，
本题第三问的关键是利用分析法转化为证明 ，再根据
，构造函数，即可证明.
22．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：
（如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当 时，
(1)求E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 ， 代入曲线E，化简可得答案；
（2）不妨设 ， ， ， ，则
试卷第19页，共3页
学科网（北京）股份有限公司的面积 ，令 ，可得 ，再
利用配方计算可得答案.
【详解】（1）将 ， 代入曲线E，
得 ，即 ，
所以，E的极坐标方程为 ；
（2）不妨设 ， ，
即 ， ，
则 的面积
由于 ，
令 ，
则 ， ，
则 ，
故当 时， ，
即 的面积的最大值为 .
试卷第20页，共3页
