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2023-2024学年度（上）阶段性考试（一）
数学（文科）
高2021级
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 （i为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．3
5．已知 满足约束条件 ,则目标函数 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．11 D．无最小值
6．下列函数中，既是 上的增函数，又是以 为周期的偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．定义在R上的奇函数 满足 是偶函数，当 时， ，则
（ ）
A． B． C．0 D．2
8．用半径为10cm，圆心角为 的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的体积为（ ）
A． B．128 C． D．96
9．下列说法正确的有（ ）
①对于分类变量 与 ，它们的随机变量 的观测值 越大，说明“ 与 有关系”的把握越大；
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学科网（北京）股份有限公司②我校高一、高二、高三共有学生 人，其中高三有 人.为调查需要，用分层抽样的方法从
全校学生中抽取一个容量为 的样本，那么应从高三年级抽取 人；
③若数据 、 、 、 的方差为 ，则另一组数据 、 、 、 的方差为 ；
④把六进制数 转换成十进制数为： .
A．①④ B．①② C．③④ D．①③
10．已知函数 的部分图象如 图所
示，若将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图 象，
则（ ）
A． B．
C． D．
11．人们用分贝 来划分声音的等级，声音的等级 （单位： ）与声音强度 （单位：
）满足 .一般两人小声交谈时，声音的等级约为 ，在有50人的课堂上
讲课时，老师声音的等级约为 ，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的
（ ）
A．1倍 B．10倍 C．100倍 D．1000倍
12．函数 的定义域为 ，当 时， 且 ，若函数
有四个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ．
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学科网（北京）股份有限公司14．已知 ， ，则 .
15．如图，若坐标轴和双曲线与圆 的交点将圆 的周长八等分，且
，则该双曲线的渐近线方程为 ．
16．设函数 ，有下列结论：
① 的图象关于点 中心对称；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上单调递减；
④ 在 上最小值为 ，其中所有正确的结论是 ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.）
17．最近，纪录片《美国工厂》引起中美观众热议，大家都认识到，大力发展制造业，是国家强盛
的基础，而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍，中国应未雨绸缪.某工厂有35周岁
以上(含35周岁)工人300名，35周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.
现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工
人年龄在“35周岁以上(含35周岁)”和“35周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数
分成5组: 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
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学科网（北京）股份有限公司（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“35周岁以下
组”工人的概率.
（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 的列联表，
并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
生产能
非生产能手 合计
手
35岁以下
35岁以上
合计
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．已知向量 ，函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)在 中， 分别是角 的对边，且 ， ，求 的周
长．
19．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为菱形， 为等边三角
形，且 ， ， 为 的中点．
(1)若 为线段 上动点，证明： ；
(2)求点 与平面 的距离．
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学科网（北京）股份有限公司20．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线 与 交于 ，
两点， 的周长为8，且点 在 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与圆 ： 交于C，D两点，当 时，求 面积的取值范
围．
21．已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个零点 ， ，求实数 的取值范围；
22．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：
（如图），称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，当 时，
(1)求E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的面积的
最大值.
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