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丰城中学2023-2024学年高三上学期10月段考
数学参考答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A B C D B C C BCD ABC CD ACD
13. 14. 15. 4 16.
17.【小问1详解】
解不等式 ，得 ，即 ，
当 时，解不等式 ，得 ，即 ，
于是 或 ，
所以 或 .………………………………………5分
【小问2详解】
原不等式化为： ，解得 ，
于是 ，
由 是 的必要不充分条件，则集合 是 的真子集，得 且等号不同时成立，
解得 . ………………………………………10分
18.（1） ；（2） .
解析:（Ⅰ）因为 ，
所以由 ，即 ，
由正弦定理得 ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ . ………………………………………6分
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
高三数学试卷 共6页 第1页
学科网（北京）股份有限公司∴ .……………………………12分
19.【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
解：（I） ①
②
由①+②得 ③
由①-②得 ④
由③÷④得 ……………………………6分
（II）∵ ，
，
……………………………12分
20．
（1）
（2）当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．
【分析】
（1）根据利润＝销售收入－成本结合已知条件求解即可，
（2）分 和 求出S的最大值，比较即可得答案.
【详解】
（1）当 时，
，
当 时，
高三数学试卷 共6页 第2页
学科网（北京）股份有限公司，
综上， ， ……………………………6分
（2）当 时， ，
函数的对称轴是 ，则函数在 上递增，
所以当 时，函数取得最大值1450；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时S的最大值为1490，
因为
所以当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元．……………………………12分
20．（1） （2）
【详解】
（1）
令 ，得
∴函数 的单调递增区间为 ……………………………6分
（2）
令 （ ），
则
可得，当 即 时， ；
高三数学试卷 共6页 第3页
学科网（北京）股份有限公司当 即 时，
∵存在 ， ，对任意 ，
有 恒成立，
∴ 为 的最小值， 为 的最大值，
∴ ， ，
∴ ，
∴ . ……………………………12分
22.【答案】（1） （2）见解析
【解析】
【分析】(1)转化为 有两个根，讨论单调性结合函数图象可求解；(2)等价于证明
构造函数即可证明.
【小问1详解】
由题可知, ,令 ,即 ,即 有两个根 ,
令 ,则 ,
由 得, ,解得 ;由 得, ,解得 ,
所以 在 单调递增, 单调递减, 时 ,
所以要使 有两个根,则 ,
解得 ,所以 . ……………………………12分
【小问2详解】
由(1)可知 且 ，所以
要证 ，只用证 ，等价于证明 ，
而 ，即 ，故等价于证明 ，
即证 .令 ，则 ，于 等价于证明 成立，
是
高三数学试卷 共6页 第4页
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，
所以 在 上单调递增，
故 ，即 成立，
所以 ，结论得证. ……………………………12分
高三数学试卷 共6页 第5页
学科网（北京）股份有限公司高三数学试卷 共6页 第6页
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