文档内容
专题 15 函数及其基本性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 直接求
2024·全国新Ⅰ卷、2024·上海卷、2023·北京卷
函数值
2021·全国甲卷、2021·浙江卷
（10年3考）
考点2 函数的 2022·北京卷、2020·山东卷、2019·江苏卷
1.会用符号语言表达函数的单调
定义域与值域 2018·江苏卷、2016·江苏卷、2016·全国卷
性,掌握求函数单调区间的基本方
（10年6考） 2015·福建卷、2015·湖北卷
法，理解函数最大值、最小值的
2024·全国新Ⅰ卷、2023·北京卷、2023·全国甲
概念、作用和实际意义，会求简
卷
单函数的最值
考点3 函数单 2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2020·山东
调性的判断及其 卷 2.能够利用函数的单调性解决有关
应用 2020·全国卷、2019·北京卷、2019·全国卷 问题，了解奇偶性的概念和意
（10年8考） 2017·全国卷、2017·天津卷、2017·天津卷 义，会运用函数图象理解和研究
2017·北京卷、2017·全国卷、2016·天津卷 函数的奇偶性，了解周期性的概
2015·湖南卷、2015·全国卷 念和意义.会判断、应用简单函数
2024·天津卷、2024·上海卷、2023·全国甲卷 的周期性解决问题，能综合运用
2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国 函数的奇偶性、单调性、周期
乙卷、2021·全国甲卷、2021·全国新Ⅱ卷、 性、对称性等解决相关问题.
考点4 函数的 2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2020·山东
奇偶性及其应用 卷、2020·全国卷、2019·北京卷、2019·全国 该内容是新高考卷的必考内容，
一般会以抽象函数作为载体，考
（10年9考） 卷、2017·全国卷、2016·天津卷、2015·广东
查函数的单调性、奇偶性、周期
卷、2015·天津卷
性及对称性，是新高考一轮复习
2015·天津卷、2015·陕西卷、2015·广东卷
的重点内容.
2015·福建卷
考点5 函数的
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·全
周期性及其应用
国甲卷、2018·全国卷、2018·江苏卷、2017·山
（10年5考）东卷、2016·山东卷、2016·四川卷
2024·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全
考点6 函数的
国乙卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全
对称性及其应用
国卷、2016·全国卷、2016·全国卷、2015·全国
（10年7考）
卷
考点01 直接求函数值
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 的定义域为R， ，且当 时
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】代入得到 ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.
【详解】因为当 时 ，所以 ，
又因为 ，
则 ，
，
，
，
，则依次下去可知 ，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用 ，再利用题目所给的函数性质
，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.
2．（2024·上海·高考真题）已知 则 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的形式可求 .【详解】因为 故 ，
故答案为： .
3．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
故答案为：1
4．（2021·全国甲卷·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
5．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 若 ，则 .
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于 的方程，解方程可得 的值.
【详解】 ，故 ，
故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域
1．（2022·北京·高考真题）函数 的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
2．（2020·山东·高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 ，再解不等式组即可.
【详解】由题知： ，解得 且 .
所以函数定义域为 .
故选：B
3．（2019·江苏·高考真题）函数 的定义域是 .
【答案】 .
【分析】由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.
【详解】由已知得 ,
即
解得 ，
故函数的定义域为 .
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它
们的解集即可．
4．（2018·江苏·高考真题）函数 的定义域为 ．
【答案】[2，+∞）
【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数 有意义，则 ，解得 ，即函数 的定义域为 .
点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.
5．（2016·江苏·高考真题）函数y= 的定义域是 .
【答案】
【详解】试题分析：要使函数有意义，需满足 ，函数定义域为
考点：函数定义域
6．（2016·全国·高考真题）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是
A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝
【答案】D
【详解】试题分析:因函数 的定义域和值域分别为 ,故应选D．
考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．
7．（2015·福建·高考真题）若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：由于函数 的值域是 ，故当 时，满足
，当 时，由 ，所以 ，所以 ，所以实
数 的取值范围 .
考点：对数函数的性质及函数的值域.
【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数
的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，
本题的解答中，当 时，由 ，得 ，即 ，即可求解实数 的取值范围.
8．（2015·湖北·高考真题）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据根号下非负及真数大于零可得函数的定义域.
【详解】由函数 的表达式可知，函数 的定义域应满足条件：，解之得 ，
即函数 的定义域为 ，
故选：C．
考点03 函数单调性的判断及其应用
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
4．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D
5．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
6．（2020·山东·高考真题）已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有
成立，则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【分析】利用函数单调性定义即可得到答案.
【详解】对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
等价于对于任意两个不相等的实数 ，总有 .
所以函数 一定是增函数.
故选：C
7．（2020·全国·高考真题）设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
8．（2019·北京·高考真题）下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
【答案】A
【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.
【详解】函数 ，
在区间 上单调递减，
函数 在区间 上单调递增，故选A.
【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴
含数形结合思想，属于容易题.
9．（2019·全国·高考真题）设 是定义域为 的偶函数，且在 单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把 ，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】 是R的偶函数， ．
，
又 在(0，+∞)单调递减，
∴ ，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
10．（2017·全国·高考真题）函数 在 单调递减，且为奇函数，若 ，则满足
的 的取值范围是．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数， ，
即 则有 ，解得 ，故选D.
11．（2017·天津·高考真题）已知奇函数 在 上是增函数，若 ， ，
，则 的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意： ，
且： ，
据此： ，
结合函数的单调性有： ，
即 .
本题选择C选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数
函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结
合不仅能比较大小，还可以解不等式.
12．（2017·天津·高考真题）已知奇函数 ，且 在 上是增函数.若 ，， ，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 是奇函数，从而 是 上的偶函数，且在 上是增函数，
，
，又 ，则 ，所以即 ，
，
所以 ，故选C．
【考点】指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数
函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结
合不仅能比较大小，还可以解不等式.
13．（2017·北京·高考真题）已知函数 ，则
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【详解】分析：讨论函数 的性质，可得答案.
详解：函数 的定义域为 ，且
即函数 是奇函数，
又 在 都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
14．（2017·全国·高考真题）函数 的单调递增区间是
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 >0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，
令t= ，则y=lnt，
∵x∈(−∞,−2)时,t= 为减函数；x∈(4,+∞)时,t= 为增函数；
y=lnt为增函数，
故函数f(x)=ln( )的单调递增区间是(4,+∞)，
故选D.
点睛：形如 的函数为 , 的复合函数， 为内层函数, 为外层函
数.
当内层函数 单增，外层函数 单增时，函数 也单增；
当内层函数 单增，外层函数 单减时，函数 也单减；
当内层函数 单减，外层函数 单增时，函数 也单减；
当内层函数 单减，外层函数 单减时，函数 也单增.
简称为“同增异减”.
15．（2016·天津·高考真题）已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满
足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得 ，故选
C
【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准
确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
16．（2015·湖南·高考真题）设函数 ，则 是
A．奇函数，且在（ ）上是增函数 B．奇函数，且在（ ）上是减函数
C．偶函数，且在（ ）上是增函数 D．偶函数，且在（ ）上是减函数
0,1 0,1
【答案】A
0,1 0,1
【详解】试题分析：由题意得，函数的定义域为 ，解得 ，
又 ，所以函数 的奇函数，由 ，令 ，又由 ，则
，即 ，所以函数 为单调递增函数，
根据复合函数的单调性可知函数 在 上增函数，故选A.
考点：函数的单调性与奇偶性的应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的判定、函
数的单调性的判定与应用、复合函数的单调性的判定等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解
答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于基础题.
17．（2015·全国·高考真题）设函数 ,则使 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】试题分析： ，定义域为 ，∵ ，∴函数 为偶函数，
当 时， 函数单调递增，根据偶函数性质可知：得 成立，∴
，∴ ，∴ 的范围为 故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．
根据函数的表达式可知函数 为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在 大于零的单调性为递增，根
据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把 可转化为 ，
解绝对值不等式即可．
考点04 函数的奇偶性及其应用
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则 ，故A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，
则 ，则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.
2．（2024·上海·高考真题）已知 ， ，且 是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可求参数 .
【详解】因为 是奇函数，故 即 ，
故 ，
故答案为： .
3．（2023·全国甲卷·高考真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到 ，从而求得 ，再检验即可得解.
【详解】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出 值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.
故选：B.
6．（2022·全国乙卷·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
7．（2021·全国甲卷·高考真题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 的值.
【详解】由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化
是解决本题的关键.
8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 （答案不唯一， 均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的 .
【详解】取 ，则 ，满足①，
， 时有 ，满足②，
的定义域为 ，
又 ，故 是奇函数，满足③.
故答案为： （答案不唯一， 均满足）
9．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数 的值.
【详解】因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，故 ，
故答案为：1
10．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得 ，
对于A， 不是奇函数；
对于B， 是奇函数；
对于C， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
11．（2020·山东·高考真题）若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的
x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等
于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
12．（2020·全国·高考真题）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【分析】根据奇偶性的定义可判断出 为奇函数，排除AC；当 时，利用函数单调性的性质
可判断出 单调递增，排除B；当 时，利用复合函数单调性可判断出 单调递减，从而
得到结果.
【详解】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，
在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根
据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的
性质和复合函数“同增异减”性得到结论.
13．（2019·北京·高考真题）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【分析】根据定义域为R的函数 为偶函数等价于 进行判断.
【详解】 时， , 为偶函数；
为偶函数时， 对任意的 恒成立，
，得 对任意的 恒成立，从而 .从而“ ”是“ 为偶函
数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
14．（2019·全国·高考真题）设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)= ，则当x<0时，f(x)=
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得 ，结合奇偶性可得 .
【详解】 是奇函数， 时， ．
当 时， ， ，得 ．故选D．
【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化
与化归的思想解题．
15．（2017·全国·高考真题）函数 在 单调递减，且为奇函数，若 ，则满足
的 的取值范围是．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 是奇函数，故 ；又 是减函数， ，
即 则有 ，解得 ，故选D.
16．（2016·天津·高考真题）已知 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递增，若实数 满
足 ，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得 ，故选
C【考点】利用函数性质解不等式
【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：
（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．
（2）借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准
确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．
17．（2015·广东·高考真题）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A．y= B．y=x+ C．y=2x+ D．y=x+ex
【答案】D
【详解】试题分析：直接利用函数的奇偶性判断选项即可．
解：对于A，y= 是偶函数，所以A不正确；
对于B，y=x+ 函数是奇函数，所以B不正确；
对于C，y=2x+ 是奇函数，所以C不正确；
对于D，不满足f（﹣x）=f（x）也不满足f（﹣x）=﹣f（x），所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，所
以D正确．
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶性的判断，基本知识的考查．
18．（2015·天津·高考真题）已知定义在R上的函数 为偶函数,记
,则 ,的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 为偶函数得 ,所以 ,
,所以 ,故选B.
考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.
19．（2015·天津·高考真题）已知函数 为偶函数，记 ， ，
，则 的大小关系为 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：因为 为偶函数，所以 ，在 上单调递增，并且 ，因为
， ，故选C．
考点：函数的单调性
【思路点睛】本题考查的是比较大小相关知识点，一般比较大小我们可以采用作差法、作商法、单调性法
和中间量法，本题的题设中有解析式且告诉我们为偶函数，即可求出参数 的值，所以我们采用单调性法，
经观察即可得到函数的单调性，然后根据可以通过函数的奇偶性转化到同一侧，进而判断出几个的大小，
然后利用函数的单调性即可判断出所给几个值的大小．
20．（2015·陕西·高考真题）设 ，则
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
【答案】B
【详解】试题分析：函数 的定义域为 ，关于原点对称，
，因此函数 是奇函数， 不恒等于0，函数 是增函数，故答案为
B．
考点：函数的奇偶性和单调性．
21．（2015·广东·高考真题）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
【详解】解：A． f（﹣x）＝（﹣x）2+sin（﹣x）＝x2﹣sinx，则f（﹣x）≠﹣f（x）且f（﹣x）≠f（x），
则函数f（x）为非奇非偶函数；
B．f（﹣x）＝（﹣x）2﹣cos（﹣x）＝x2﹣cosx＝f（x），则函数f（x）是偶函数；
C．f（﹣x） 2x f（x），则函数f（x）是偶函数；
D．f（﹣x）＝﹣x+sin2（﹣x）＝﹣x﹣sin2x＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，
故选A．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义进行判断，是解决本题的关键．
22．（2015·福建·高考真题）下列函数为奇函数的是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 是非奇非偶函数； 和 是偶函数； 是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．
考点05 函数的周期性及其应用
1．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数 的一个周期为 ，求出函数一个周期中的
的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，
简单明了，是该题的最优解.
2．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】推导出函数 是以 为周期的周期函数，由已知条件得出 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
3．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 是奇函数和 是偶函数条件，可以确定出函数解析式 ，进而利
用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
[方法二]：
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计
算的效果．
4．（2018·全国·高考真题）已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，
则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，
所以 ,
因此 ，
因为 ，所以 ，，从而 ，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函
数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
5．（2018·江苏·高考真题）函数 满足 ，且在区间 上，
则 的值为 ．
【答案】
【详解】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解
析式求结果.
详解：由 得函数 的周期为4，所以 因此
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现 的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定
义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量
的取值范围.
6．（2017·山东·高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6
－x，则f(919)＝ .
【答案】6
【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简 ，再代入求值.
【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知, 是周期函数,且 ,所以 .
【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.
7．（2016·山东·高考真题）已知函数 的定义域为 .当 时， ；当 时，
；当 时， .则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：当 时, ,所以当 时,函数 是周期为 的周期函数,所以
,又函数 是奇函数,所以 ,故选D．
考点：函数的周期性和奇偶性．8．（2016·四川·高考真题）已知函数 是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时， ，
则 = .
【答案】
【详解】因为函数 是定义在 上周期为2的奇函数，所以
，所以 ，即 ，
，所以 .
考点06 函数的对称性及其应用
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，此时 在 处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称
；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项
判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的
通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称性和已知条件得到 ，从而得到 ，
，然后根据条件得到 的值，再由题意得到 从而得到 的值
即可求解.
【详解】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .所以 .
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后
得到所需的一些数值或关系式从而解题.
4．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】 可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线 对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
5．（2018·全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：确定函数 过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．
详解：函数 过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有 过此点．
故选项B正确
点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．
6．（2017·全国·高考真题）已知函数 ，则
A． 在（0，2）单调递增 B． 在（0，2）单调递减
C． 的图像关于直线x=1对称 D． 的图像关于点（1，0）对称
【答案】C
【详解】由题意知， ，所以 的图象关于直线 对称，故C正确，D错
误；又 （ ），由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，在 上单调
递减，所以A，B错误，故选C．【名师点睛】如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数的图象有对
称轴 ；如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数 的
图象有对称中心 ．
7．（2016·全国·高考真题）已知函数f（x）（x∈ ）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（
x）图像的交点为（x ,y ），（x ,y ），…，（x ,y ），则
1 1 2 2 m m
A．0 B．m C．2m D．4m
【答案】B
【详解】试题分析：因为 的图像都关于 对称，所以它们图像的交点也关于
对称，当 为偶数时，其和为 ；当 为奇数时，其和为 ，因此选B.
【考点】 函数图像的对称性
【名师点睛】如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数的图象有对称轴
；如果函数 ， ，满足 ，恒有 ，那么函数 的图象有对称
中心 .
8．（2016·全国·高考真题）已知函数 满足 ，若函数 与 图像的
交点为 则
A．0 B． C． D．
【答案】B
【详解】[方法一]：直接法.
由 得 关于 对称，
而 也关于 对称，
∴对于每一组对称点 ，
∴ ，故选B．
[方法二]：特值法.
由 得
不妨设因为 ，与函数 的交点为∴当 时， ，故选B．
[方法三]：构造法.
设 ，则 ，故 为奇函数.
设 ，则 ，故 为奇函数.
∴对于每一组对称点 .
将 ， 代入，即得
∴ ，故选B．
[方法四]：
由题意得,函数 和 的图象都关于 对称,
所以两函数的交点也关于 对称,
对于每一组对称点 和 ，都有 .
从而 .故选B.
考点：函数的性质.
【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考
察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于 对
称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难
度.
9．（2015·全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且
，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：设 是函数 的图像上任意一点，它关于直线 对称为
（ ），由已知（ ）在函数 的图像上，∴ ，
解得 ，即 ，
∴ ，解得 ，故选C．
考点：函数求解析式及求值
