高中理科数学知识点总结（按课本分）_赠送小初高学霸笔记等_小初高知识点_小初高知识点_高考数学知识点

2017 年新人教版高中数学知识点总结
高中数学 必修1 知识点
第一章 集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
定义：研究对象统称为元素，元素组成的总体叫做集合（简称集）。
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N 表示自然数集， N ¿或 N 表示正整数集， Z 表示整数集， Q 表示有理数集， R 表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
a M a M aM a M a
如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记做 ；如果 不是集合 的元素，就说 不
M aM
属于 ，记做 ，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
③描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在花括号内先写上
表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后面写出这个集合中元素所
具有的共同特征。
x x x
{ | 具有的性质}， 其中 为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合

叫做空集( ).
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图

(1)A A
 A
(2)
A⊆B
子集 （或 A中的任意元素都属于 (3) 若
A⊆B
且
BC
， 则 A(B) B A
B⊇A) B AC
A⊆B B A 或
(4) 若 且 ， 则
A B
 A
A  B A⊆B （1）  （A为非空子集）
真子 ，但存在元素
 AB BC AC B A
集
（或B  (2)若  且  ，则 
A）A中的任一元素都属于 
集合 (1)A B
相等 A B B，B中的任一元素都  A(B)
属于A (2)B A
对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关
子集：
A⊆B B⊇A)
系，称集合A为集合B的子集，记作： （或
Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。
A⊆B B A
集合相等：如果集合A是集合B的子集( )，且集合B是集合A的子集( )，此时，集合A与
A B
集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作：

真子集：如果集合A⊆B，但存在元素 ，称集合A是集合B的真子集，记作：A B


（或B  A）
空集：不含有任何元素的集合叫做空集，记为，空集是任何集合的子集。
（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子
集，它有2n 2非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义 性质 示意图
A A A
（1） 
{x|xA, A 
交集 A  B xB} 且 （2） A  B A A B
（3） 
A B B

A A A
（1） 
{x|xA, A  A
并集 A  B xB} 或 （2） A  B  A A B
（3） 
A B  B

1. 2.
补集
{x|xU,且xA}
AA B
并集：由所有属于集合A或属于集合B组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：  （读作“A并
B”）,即：
A B {x|xA, xB}
 = 或
A B
交集：由属于集合A且属于集合B所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：  （读作“A交
B”）,即：
A B {x|xA, xB}
 = 且
全集：如果一个集合中含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，
补集：
简称集合A的补集，记作： ，即
{x|xU,且xA}
=
【补充知识】
一、集合中元素的个数：用 n（P）表示集合 P 中元素的个数， ,则
二、（1）含绝对值的不等式的解法
不等式 解集
|x|a(a 0) {x|a xa}
|x|a(a 0) x|xa xa}
或
axb |x|a
把 看 成 一 个 整 体 ， 化 成 ，
|axb|c,|axb|c(c0) |x|a(a 0)
型不等式来求解
（2）一元二次不等式的解法
判别式
0 0 0
b2 4ac
二次函数
y ax2 bxc(a 0) O
O L=
的图象 O
b b2 4ac
一元二次方程
x  b
ax2 bxc0(a0) 1,2 2a x  x  无实根
1 2 2a
的根 x  x )
（其中 1 2ax2 bxc0(a0) b
{x|x x x x } x } R
的解集 1或 2 {x| 2a
ax2 bxc0(a0)
{x|x  x x }  
1 2
的解集
〖1.2〗函数及其表示
【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
f
A B A
①函数的定义：设 、 是两个非空的数集，如果按照某种对应关系 ，使对于集合 中的任意
x B f(x) f :AB
一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B
的一个函数，记作：
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数的
集合 叫做函数的值域。值域是集合B的子集。
②函数的三要素:定义域、对应关系和值域．
③函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这两个函数相等．
（2）区间的概念及表示法
a,b ab
①设 是两个实数，且 ，
a xb x [a,b]
满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为 ；
a xb x (a,b)
满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为 ；
a xb a xb x [a,b)
满足不等式 ，或 的实数 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为 ，
(a,b]
；
实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为 ，“ ”读作“无穷大”，“ ”读作“负无穷大”，“
xa,xa,xb,xb x
”读作“正无穷大”。满足 的实数 的集合分别表示为
[a,),(a,),(,b],(,b)
．
{x|a xb} (a,b) a b ab
注意：对于集合 与区间 ，前者 可以大于或等于 ，而后者必须 ．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
f(x)
① 是整式时，定义域是全体实数．f(x)
② 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
f(x)
③ 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

xk (kZ)
y tanx 2
⑤ 中， ．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
f(x)
⑦若 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数
的 定义域的交集．
f(x) [a,b] f[g(x)]
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 的定义域为 ，其复合函数
a g(x)b
的定义域应由不等式 解出．
⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个
最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问
的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的
值域或最值．
y  f(x) y x
③判别式法：若函数 可以化成一个系数含有 的关于 的二次方程
a(y)x2 b(y)xc(y)0 a(y)0 x,y
，则在 时，由于 为实数，故必须有
b2(y)4a(y)c(y)0
，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为
三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．
解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．
分段函数
（6）映射的概念
f
A B A
①映射的定义：设 、 是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系 ，使对于集合 中任意
B f :AB
一个元素x，在集合 中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应 为从集合A到
f
A B A B
集合B的一个映射。（包括集合 ， 以及 到 的对应法则 ）
A B aA,bB a b
②象：给定一个集合 到集合 的映射，且 ．如果元素 和元素 对应，那么我们
b a a b
把元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象．
〖1.3〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义 图象 判定方法
性 质
如果对于定义域I内某个区间 y y=f(X) （1）利用定义
D 上的任意两个自变量的值 （2）利用已知函数的单调
f(x )
x 1 、x 2 ,当 x 1 < x 2 时，都有 2 性
f(x)<f(x)，那么就说f(x)在 （3）利用函数图象（在某
1 2
这个区间D上是增函数． f(x ) 个区间图象上升为增）
1 （4）利用复合函数
o
x x x
函数的 1 2
单调性 y y=f(X) （1）利用定义
（2）利用已知函数的单调
如果对于定义域I内某个区间
性
上D的任意两个自变量的值 f(x )
1 （3）利用函数图象（在某
x 、x ，当 x< x 时，都有
f 1 (x 1 )> 2 f(x 2 )，那 1 么就 2 说f(x)在 f(x 2 ) 个 （ 区 4） 间 利 图 用 象 复 下 合 降 函 为 数 减）
这个区间D上是减函数．
o x
x x
1 2
单调区间：如果函数 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 在这一
区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 的单调区间。
（2）最大（小）值定义
y  f(x) I M
①最大值定义：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
xI f(x)M
（1）对于任意的 ，都有 ；
x I f(x )M
（2）存在 0 ，使得 0 ．f(x) f (x) M
那么，我们称 M 是函数 的最大值，记作 max ．
y  f(x) I m
②最小值定义：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
xI f(x)m
（1）对于任意的 ，都有 ；
x I f(x )m m f(x)
（2）存在 0 ，使得 0 ．那么，我们称 是函数 的最小值，记作
．
【补充知识】
①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数
为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
y  f[g(x)] u  g(x)
②对于复合函数 ，令 ，
y  f(u) u  g(x) y  f[g(x)]
若 为增， 为增，则 为
增；
y  f(u) u  g(x) y  f[g(x)]
若 为减， 为减，则 为
y  f(u) u  g(x)
增 ； 若 为 增 ， 为 减 ， 则
y  f[g(x)] y  f(u) u  g(x)
为减；若 为减， 为增，
y  f[g(x)]
则 为减．
（复合函数单调性：同增异减）
a
f(x) x (a 0)
x
③打“√”函数 的图象与性质
f(x) (, a] [ a,) [ a,0) (0, a]
分别在 、 上为增函数，分别在 、 上为减函数．
【1.3.2】奇偶性
（1）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的
定义 图象 判定方法
性 质
如果对于函数f(x)定义域内 （1）利用定义（要先
任意一个x，都有f(－x)=f(x), 判断定义域是否关于
那么函数f(x)就叫做偶函数． 原点对称）
函数的 （2）利用图象（图象
奇偶性 关于y轴对称）如果对于函数f(x)定义域内 （1）利用定义（要先
任意一个x，都有f(－x)=－ 判断定义域是否关于
f(x),那么函数f(x)就叫做奇函 原点对称）
数． （2）利用图象（图象
关于原点对称）
f(x) x0 f(0)0
②若函数 为奇函数，且在 处有定义，则 ．
y y
③奇函数在 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数
（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本
初等函数的图象．
①平移变换
y  f(x) h0  ,左  移h  个单  位 y  f(xh)
h0,右移|h|个单位
y  f(x) k0  ,上  移k  个单  位 y  f(x)k
k0,下移|k|个单位
②伸缩变换
y  f(x) 0    1,  伸 y  f(x)
1,缩
y  f(x) 0  A  1,  缩 y  Af(x)
A1,伸
③对称变换
x轴 y轴
y  f(x)y f(x) y  f(x)y  f(x)
y  f(x) 原  点 y f(x) y  f(x) 直  线  y  x y  f 1(x)
去掉y轴左边图象
y  f(x)y f(|x|)
保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
y  f(x)
保

留

x轴

上

方图

象
y | f(x)|
将x轴下方图象翻折上去
（2）识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义
域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，
获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
x a n
①如果 ，那么 叫做 的 次方根,其中， ．
n a n
当 是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数， 的 次方根用符号
n a
表示；
n a n
当 是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。正数 的正的 次方根用符号
n a n n a n n
表示，负的 次方根用符号 表示，正的 次方根和负的 次方根可以合并写成 。负
数没有偶次方根；
0的任何次方根都是0，记作 。
n a n a n a
②式子 叫做根式，这里 叫做根指数， 叫做被开方数．当 为奇数时， 为任意实数；
n a0
当 为偶数时， ．
(n a)n a
③根式的性质： ；
n n an a
当 为奇数时， ；
a (a0)
n an |a|
n a (a0)
当 为偶数时， ．
（2）分数指数幂的概念
m
an  n am(a0,m,nN , n1)
①正数的正分数指数幂的意义是：  且 ．
 m 1 m 1
a n ( )n  n ( )m(a 0,m,nN ,
a a  n1)
②正数的负分数指数幂的意义是： 且 ．
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（底倒指反）．
（3）分数指数幂的运算性质
ar as ars(a 0,r,sR) (ar)s ars(a 0,r,sR)
① ②
(ab)r arbr(a 0,b0,rR)
③【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
y ax(a 0 a 1)
指数函数的定义：函数 且 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是
R。
函数名称 指数函数
定义 y ax(a 0 a 1)
函数 且 叫做指数函数
a 1 0a1
y y  ax y  ax y
图象
y 1 y 1 (0,1)
定义域 R
(0,1)
值域 1 (0,) 1
过定点 O 图 0 象过定点x (0,1) ，即当 x0 时， y O1 ． 0 x
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数
ax 1 (x0) ax 1 (x0)
函数值的 ax 1 (x0) ax 1 (x0)
变化情况
ax 1 (x0) ax 1 (x0)
a a a
变化对 图象的影响 在第一象限内， 越大图象越高；在第二象限内， 越大图象越低．
〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算
（1）对数的定义
ax  N(a 0,且a 1) x a N xlog N a
①若 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 a ，其中 叫做
N
对数的底数， 叫做真数．
②对数式与指数式的互化： ．
③负数和零没有对数．
（2）几个重要的对数恒等式
log 10 log a1 log ab b
a ， a ， a ．
（3）常用对数与自然对数
将以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 记为 ；在科学技术中常使用无理数
e=2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把 记为 。lgN log N lnN log N e2.71828
常用对数： ，即 10 ；自然对数： ，即 e （其中 …）．
（4）对数的运算性质
a0,a1,M 0,N 0
如果 ，那么：
①加法： ; ②减法： ;
③数乘： ;
④换底公式：
;
n
log Mn  log M(b0,nR)
⑤ ab b a ; ⑥ alog a N  N
.
【2.2.2】对数函数及其性质
（5）对数函数
y log x(a 0 a 1)
对数函数的定义：函数 a 且 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义
(0,)
域是
。
函数名称 对数函数
定义 y log x(a 0 a 1)
函数 a 且 叫做对数函数
a 1 0a1
x 1 x 1
y y log x y y log x
a a
图象
1 1 (1,0)
O 0 (1,0) x O 0 x
(0,)
定义域
值域 R
过定点 (1,0) x1 y 0
图象过定点 ，即当 时， ．
奇偶性 非奇非偶
单调性 (0,) (0,)
在 上是增函数 在 上是减函数
log x0 (x1) log x0 (x1)
a a
函数值的 log x0 (x1) log x0 (x1)
变化情况 a a
log x0 (0 x1) log x0 (0 x1)
a a
a a a
变化对 图象的影响 在第一象限内， 越大图象越靠低；在第四象限内， 越大图象越靠高．
(6)反函数的概念y  f(x) A C y  f(x) x x(y)
设函数 的定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得式子 ．
y C x(y) x A
如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么
x(y) x y x(y) y  f(x)
式子 表示 是 的函数，函数 叫做函数 的反函数，记作
x f 1(y) y  f 1(x)
，习惯上改写成 ．
（7）反函数的求法
y  f(x) x f 1(y)
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式 中反解出 ；
x f 1(y) y  f 1(x)
③将 改写成 ，并注明反函数的定义域．
（8）反函数的性质
y  f(x) y  f 1(x) y  x
①原函数 与反函数 的图象关于直线 对称．
y  f(x) y  f 1(x)
②函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域．
P(a,b) y  f(x) P'(b,a) y  f 1(x)
③若 在原函数 的图象上，则 在反函数 的图象上．
y  f(x)
④一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数．
〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
y  x x 
一般地，函数 叫做幂函数，其中 为自变量， 是常数．
（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
y
幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)；
幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；
是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
(0,) (1,1)
②过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ．
0 [0,)
③单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数；
0 (0,)
如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数；
x y
在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴．
 
④奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数；当 为偶数时，幂函数为偶函数；
q
 q
p p,q p qZ p q y  xp p
当 （其中 互质， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数；若 为
q q
q y  xp p q y  xp
奇数 为偶数时，则 是偶函数；若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数．
y  x,x(0,)
⑤图象特征：幂函数 ，1 0 x1 y  x x1 y  x
当 时，若 ，其图象在直线 下方；若 ，其图象在直线 上方；
1 0 x1 y  x x1 y  x
当 时，若 ，其图象在直线 上方；若 ，其图象在直线 下方．
【补充知识】二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
f(x)ax2 bxc(a 0) f(x)a(xh)2 k(a 0)
①一般式： ②顶点式： ③两根式：
f(x)a(xx )(xx )(a 0)
1 2
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
x f(x)
③若已知抛物线与 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 更方便．
（3）二次函数图象的性质
b
x ,
f(x)ax2 bxc(a 0) 2a
①二次函数 的图象是一条抛物线，对称轴方程为 顶点坐标是
b 4acb2
( , )
2a 4a
．
b b b
(, ] [ ,) x
a0 2a 2a 2a
②当 时，抛物线开口向上，函数在 上递减，在 上递增，当
4acb2 b
f (x) (, ]
min 4a a0 2a
时， ；当 时，抛物线开口向下，函数在 上递增，在
b b 4acb2
[ ,) x f (x)
2a 2a max 4a
上递减，当 时， ．
f(x)ax2 bxc(a 0)  b2 4ac0 x
③二次函数 当 时，图象与 轴有两个交点

M (x,0),M (x ,0),|M M ||x x |
1 1 2 2 1 2 1 2 |a|
．
ax2 bxc0(a 0)
（4）一元二次方程 根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚
不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，
下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
ax2 bxc0(a 0) x ,x x  x
设一元二次方程 的两实根为 1 2，且 1 2．令
f(x)ax2 bxc a x b
2af(x)ax2 bxc a
，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向： ②对称轴位置：
b
x
2a 
③判别式： ④端点函数值符号．

①k＜x1 ≤x2
y y
b
x  
f(k)0 a0 2 a

O k O
k x 1 x 2 x x 1 x 2 x

b f (k )  0
x
a  0
2a

②x1 ≤x2 ＜k
y y
b
f (k )  0 x  
a  0
2 a

O x O k
2
x 1 k x x 1 x 2 x

x   b a  0 f (k )  0
2 a

③x1 ＜k＜x2 af(k)＜0
y y
a0
f (k )  0

O k
x 1 x 2 x x 1 O k x 2 x
f(k)0
a  0

④k1 ＜x1 ≤x2 ＜k2y a  0 y b
x  
2a
 f (k 1 )  0 f (k 2 )  0

x 1 x 2 k 1 k 2
O k 1 k 2 x O x 1 x 2 x

f (k )  0 
b 1 f (k )  0
x   2
2a a  0
 
⑤有且仅有一个根x1 （或x2 ）满足k1 ＜x1 （或x2 ）＜k2 f(k1 )f(k2 ) 0，并同时考虑
f(k1 )=0或f(k2 )=0这两种情况是否也符合
y
a  0 y
 f (k )  0 f (k )  0
1 1

x k k
1 2 2
O k 1 x 2 x O x 1 k 1 x 2 x
 
f (k )  0
2 a  0 f (k 2 )  0

⑥k1 ＜x1 ＜k2 ≤p1 ＜x2 ＜p2
此结论可直接由⑤推出．
f(x)ax2 bxc(a 0) [p,q]
（5）二次函数 在闭区间 上的最值
1
x  (pq)
f(x) [p,q] M m 0 2
设 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，令 ．
a0
（Ⅰ）当 时（开口向上）
b b b b
  p p q m f( )  q
2a m f(p) 2a 2a 2a
，则 ②若 ，则 ③若 ，则
①若
m f(q)b b
  x   x
2a 0 M  f(q) 2a 0 M  f(p)
，则 ② ，则
①若
a0
(Ⅱ)当 时(开口向下)
b b b b
  p p q M  f( )  q
2a M  f(p) 2a 2a 2a
①若 ，则 ②若 ，则 ③若 ，则
M  f(q)
b b
  x   x
2a 0 m f(q) 2a 0 m f(p)
①若 ，则 ② ，则 ．
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点y=f(x)(x∈D) f (x)=0
1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数x叫做函数
y=f(x)(x∈D)
的零点。
y=f (x) f (x)=0 y=f (x)
2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数
的图象与x轴交点的横坐标。即：
f (x)=0 y=f (x)
方程 有实数根⇔函数 的图象与x轴有交点⇔函数 有零点．
3、函数零点的求法：
y=f (x)
求函数 的零点：
f (x)=0
（代数法）求方程 的实数根；
y=f (x)
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用
函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
y=ax2 +bx+c(a≠0)
二次函数 ．
１）△＞０，方程 有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次
函数有两个零点．
２）△＝０，方程
ax2 +bx+c=0
有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个
交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
３）△＜０，方程
ax2 +bx+c=0
无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
高中数学 必修2 知识点
第一章 空间几何体
1.1柱、锥、台、球的结构特征
多面体：有若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻
两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
旋转体：把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直
线叫做旋转体的轴。
棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面
所围成的多面体叫做棱柱。棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧
面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、
五边形……分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
这个多面体叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱
锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角形、四边形、五边形……分别叫做三棱锥、四
棱锥、五棱锥……其中，三棱锥又叫做四面体。
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分
别叫做棱台的下底面和上底面。由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱锥、四棱锥、五
棱锥……。
圆柱：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转所形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆
柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；
无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
圆柱和棱柱统称为柱体。
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为对称轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
棱锥和圆锥统称为椎体。
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。棱台和圆台统称为台体。
球：以半圆的直径所在直线为旋转体，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做
球心，半圆的直径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
简单组合体的构成的两种基本形式：一种是由简单几何题拼接而成；一种是由简单几何题截去或挖去一部
分而成。
1.2空间几何体的三视图和直观图
1、投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其
中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面。
中心投影：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。
平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。平行投影的投影线是平行的。在平行投
影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影。
2、三视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从
几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面
正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体
的三视图。
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下
3、画三视图的原则：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视
图宽度一样。
长对正、高平齐、宽相等
4、直观图：斜二测画法
5、斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；
（3）.画法要写好。
6、用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1、棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
①圆柱的表面积
②圆锥的表面积
③圆台的表面积
(记忆技巧：等于用各个圆的半径乘以 的和，即 ，圆柱看做半径相等的两个圆，圆锥看
做其中一个圆的半径为0)
2、空间几何体的体积
①柱体的体积1
V= S ×h
3 底
②锥体的体积
③台体的体积
3、球的体积和表面积
S=4πR2
①球的表面积
球体的体积
②
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
D
2.1.1 平面
1 平面含义：平面是无限延展的 α
A B
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平的平面通常画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角画
成450，且横边长等于其邻边长的2倍（如图）。如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体
感，通常把被遮挡部分用虚线画出来。
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用代表平面的平行四边形
的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者
平面BD。
（3）点与平面的关系：点A在平面 内，记作 ；点B在平面 外，记作 。
3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
A
符号表示为： α
· L
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。 A B
α
推论：①一条直线和直线外一点确定一个平面； · C ·
·
②两条平行直线确定一个平面；
③两条相交直线确定一个平面。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：
β
α P
L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 ·2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1、异面直线：不在任何一个平面内的直线叫做异面直线。
2、空间的两条直线的位置关系有且只有三种：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
3、公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
强调：公理4也叫做空间平行线的传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
4、等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
注意：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直
线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
2
③ 如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
异面直线的夹角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把 所成的
锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面的位置关系有且只有三种：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点，字母表示为 ；
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点，字母表示为 ；
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点，字母表示为 。
注意：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，字母表示为 。
2、两个平面之间的位置关系有且只有两种：
（1）两个平面平行 —— 没有公共点，字母表示为 ；
（2）两个平面相交 —— 有一条公共直线，字母表示为 ；2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义（没有公共点）；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平
行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、面面平行性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、直线与平面垂直定义：如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相
垂直，记作 ，直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它
们唯一公共点P叫做垂足。
2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意：（1）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
（2）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
3、直线与平面的夹角：一条直线PA和一个平面 相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直
线叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个
平面所成的角。
一条直线垂直于平面，则说直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则说直线与
平面所成的角是0°的角。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面。
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作
垂直于棱 的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的 叫做二面角的平面角。二面角的大小可以用
它的平面角来衡量，二面角的平面角多少度，就说这个二面角多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面
角。两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说两个平面互相垂直。
4、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2，面面垂直性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图
平面（公理 1、公理 2、公理 3、公理
4）
空间直线、平面的位置关系
直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系
第三章 直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成
的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,
即： k = tanα
注意：⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
（3）由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、 直线的斜率公式:经过两点 ， （ ）的直线的斜率公式：
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两直线平行判定：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果
它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: ①上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．
②若直线 可能重合时，则有
两直线垂直判定：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果
2、
它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的方程
3.2.
3.2.1 直线的点斜式方程
l P (x ,y ) k l
、 直线的点斜式方程： 直线 经过点 0 0 0 ，且斜率为 ，直线 方程为：
1
y−y =k(x−x )
0 0
l l
y=y
：①当直线 倾斜角为0°时，直线与x轴平行或重合，直线 方程为： 0；
注意
l l
x=x
②当直线 倾斜角为90°时，直线与y轴平行或重合，不能用点斜式表示，直线 方程为： 0。
l k y (0,b) l y=kx+b
、直线的斜截式方程：已知直线 的斜率为 ，且与 轴的交点为 ，直线 方程为：
2
l y l y (0,b) l y
直线 在 轴上的截距：直线 与 轴交点 的纵坐标b叫做直线 在 轴上的截距。
注意：截距不是距离，是一个带符号的实数。
3.2.2 直线的两点式方程
P (x ,y ),P (x ,y ) (x ≠x ,y ≠y ) l
、直线的两点式方程：已知两点 1 1 1 2 2 2 其中 1 2 1 2 ，直线 方程为：
1
y−y x−x
1 1
=
y −y x −x
2 1 2 1
x =x 或y =y x =x
当 1 2 1 2时，直线没有两点式方程。当 1 2时，直线平行于y轴，直线方程为：
注意：
x=x y =y y=y
0；当 1 2时，直线平行于x轴，直线方程为： 0。
、直线的截距式方程：已知直线 l 与x轴的交点为 A(a,0) ，与 y 轴的交点为 B(0,b) ，其中
2
a≠0,b≠0 l
，直线 方程为：
直线 l 在x轴上的截距：直线 l 与x轴交点 (a,0) 的纵坐标a叫做直线 l 在x轴上的截距。
x +x y +y
(
1 2, 2 2
)
P (x ,y ),P (x ,y ) 2 2
3、中点坐标公式：点 1 1 1 2 2 2 的中的M的坐标为
3.2.3 直线的一般式方程
x,y
Ax+By+C=0
1、直线的一般式方程：关于 的二元一次方程 （A，B不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式
3.3.1两直线的交点坐标
1、两直线交点坐标求法：联立解方程组，例：
L1 ：3x+4y-2=0 L2 ：2x+y +2=0
解：解方程组
解得
所以L1 与L2 的交点坐标为M（-2，2）
3.3.2 两点间距离
PP  x x 2 y y 2
1 2 2 2 2 1
两点间的距离公式：
3.3.3 点到直线的距离公式
1．点到直线距离公式：
|Ax +By +C|
0 0
d=
P(x ,y ) l:Ax+By+C=0 √A2 +B2
点 0 0 到直线 的距离为：
l l l Ax+By+C =0
2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线 1和 2的一般式方程为 1： 1 ，
|C −C |
1 2
d=
l Ax+By+C =0 l l √A2 +B2
2： 2 ，则 1与 2的距离为
两平行线间的距离:两平行线间的距离是指夹在两条直线间公垂线段的长。
第四章 圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程为：
M(x ,y )
2、点 0 0 与圆 的关系的判断方法：
（1）
(x
0
a)2 (y
0
b)2
>
r2
，点在圆外 ；(x a)2 (y b)2 r2
（2） 0 0 = ，点在圆上；
（3）
(x
0
a)2 (y
0
b)2
<
r2
，点在圆内。
4.1.2 圆的一般方程
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0
1、圆的一般方程： （ ）
2、圆的一般方程判定方法：
①当 时，方程表示以 为圆心， 为半径长的圆；
②当 时，方程只有一个解，它表示一个点 ；
③当 时，方程没有实数解，它不表示任何图形。
3、圆的一般方程的特点：
(1)① 和 的系数相同，不等于0； ②没有 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则
指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 圆与圆的位置关系
l C
1、判断直线 与圆 的位置关系方法：
l C
与圆 的方程组成的方程组是否有解：
①直线
l C
（1）有两组实数解时，直线 与圆 相交；
l C
与圆 相切；
（2）有一组实数解时，直线
l C
与圆 相离。
（3）无实数解时，直线
l ax+by+c=0 C
②用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线 ： ，圆 ：
D E
x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 (−
2
, −
2
)
d
，圆的半径为r，圆心 到直线的距离为 ，则判别直线与圆
的位置关系的依据有以下几点：
（1）当
d<r
时，直线
l
与圆
C
相交；
（2）当
d=r
时，直线
l
与圆
C
相切；
（3）当
d>r
时，直线
l
与圆
C
相离。
4.2.2 圆与圆的位置关系
1、判断两圆的位置关系方法：两圆的方程组成的方程组是否有解：
①
（1）有两组实数解时，两圆相交；
两圆相切；
（2）有一组实数解时，
两圆相离。
（3）无实数解时，
l
②设两圆的连心线长为 ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
l>r +r C C
（1）当 1 2时，圆 1与圆 2相离；
l=r +r C C
（2）当 1 2时，圆 1与圆 2外切；
|r −r |<¿¿l<r +r C C
（3）当 1 2 1 2时，圆 1与圆 2相交；
l=|r −r | C C
（4）当 1 2 时，圆 1与圆 2内切；
l<|r −r | C C
（5）当 1 2 时，圆 1与圆 2内含；
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化
为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
R
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．
M
4.3.1空间直角坐标系 O Q y
P M'
1、空间直角坐标系：以单位正方体一个顶点为原点，以过这个顶点的三条棱的长
度为单位长，建立三条数轴：x轴、 y 轴、z轴，这样的坐标系叫做空间直角坐 x
Oxyz
标系 ，其中点O叫做坐标原点，x轴、 y 轴、z轴叫做坐标轴。通过每个坐标轴的平面叫做坐标
xOy yOz zOx z
平面，分别称为 平面、 平面、 平面。
(x,y,z) P
2、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组 来表示，该数组叫 2
P
1
做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记 M(x,y,z) ，x叫做点M的横坐 O
M H N y
2 2
M M
标， y 叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。有序实数组 (x,y,z) 与 1
N 1 N
空间直角坐标系中的点一一对应。
x
4.3.2空间两点间的距离公式
P (x ,y ,z ) P (x ,y ,z )
1、空间中:点 1 1 1 1 ， 2 2 2 2 之间的距离公式：
|P P |= √ (x −x ) 2 +( y −y ) 2 +(z −z ) 2
1 2 1 2 1 2 1 2高中数学 必修3 知识点
第一章 算法初步
1.1.1 算法的概念
1、算法概念：
在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或
步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2. 算法的特点:
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，
前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.
(4)不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设
计好的步骤加以解决.
1.1.2 程序框图
1、程序框图基本概念：
（一）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地
表示算法的图形。
一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。
（二）构成程序框的图形符号及其作用
程序框 名称 功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可
起止框 少的。
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中
任何需要输入、输出的位置。
输入、输出框
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式
处理框 等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明
判断框 “是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：
1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图
符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。
1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，
它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而
A
下地连接起来，按顺序执行算法步骤。如在示意图中，A框和B
框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执
行B框所指定的操作。 B
2、条件结构：
条件结构是指在算法中通过对条件的判断
根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。
条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能
同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。
3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，
这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重
复结构，循环结构可细分为两类：
（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行
完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P
不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。
（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，
如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循
环结构。
当型循环结构 直到型循 环结构 A
A
注 意 ： 1 循环结 构要在某个条件下终止循环， 这 就 需
P
P
要 条 件结构来判断。因此，循 环
成立
成立
结 构 不成立 中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。 2 在 不成立 循环
结 构 中 都 有 一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次 数，累加变量用于输
出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。
1.2.1 输入、输出语句和赋值语句1、输入语句
（1）输入语句的一般格式
图形计算器
（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功 能；（3）“提示内容”提示用户输入
格式
什 INPUT“提示内容”；变量 么样的信息， INPUT “提示内容”，变量
变量是指程序在运行时其值是可以变化的量； （4）输入语句要求输入的值只能是
具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变
量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。
2、输出语句
（1）输出语句的一般格式
图形计算器
（ 2 ） 输 出 格式
Disp “提示内容”，变量
PRINT“提示内容”；表达式
语 句 的 作
用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出
的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。
3、赋值语句
（1）赋值语句的一般格式
图形计算器

格式
变量＝表达式
（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中
的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变
量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；
（5）对于一个变量可以多次赋值。
注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。
如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因
式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
1．2．2条件语句
1、条件语句的一般格式有两种：（1）IF—THEN—ELSE语句；（2）IF—THEN语句。2、IF—THEN—ELSE
语句
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。
IF 条件 THEN 否
语句1 满足条件？
是
ELSE
语句2 语句1 语句2
END IF
图1 图2
分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对
IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语
句2。
3、IF—THEN语句
IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。
IF 条件 THEN 是
语句
满足条件？
END IF
（ 图
语句
3） 否
（ 图
4）
注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；
END IF表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN
后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。
1．2．3循环语句
循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有
当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。即WHILE语句和UNTIL语句。
1、WHILE语句
（1）WHILE语句的一般格式是 对应的程序框图是
循环体
WHILE 条件
是
循环体
满足条件？
WEND
否
（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间
的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条
件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。
因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
2、UNTIL语句
（1）UNTIL语句的一般格式是 对应的程序框图是
DO
循环体
循环体
LOOP UNTIL 条件 否
满足条件？
是（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一
次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个
过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先
执行循环体后进行条件判断的循环语句。
分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）
（1） 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；
在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环
1.3.1辗转相除法与更相减损术
1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
S R R
（1）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商 0和一个余数 0；（2）：若 0＝0，则n为m，n的
R R S R R
最大公约数；若 0≠0，则用除数n除以余数 0得到一个商 1和一个余数 1；（3）：若 1＝0，则
R R R R S R
1为m，n的最大公约数；若 1≠0，则用除数 0除以余数 1得到一个商 2和一个余数 2；……
R R
依次计算直至 n＝0，此时所得到的 n1即为所求的最大公约数。
2、更相减损术
我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数
的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。
翻译为：（1）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
（2）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，
直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数.
分析：（略）
3、辗转相除法与更相减损术的区别：
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗
转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差
相等而得到
1.3.2秦九韶算法与排序
1、秦九韶算法概念：
f(x)=axn+a xn-1+….+ax+a 求值问题
n n-1 1 0f(x)=a
n
xn+a
n-1
xn-1+….+a
1
x+a
0
=( a
n
xn-1+a
n-1
xn-2+….+a
1
)x+a
0
=(( a
n
xn-2+a
n-1
xn-3+….+a
2
)x+a
1
)x+a
0
=......=(...( a
n
x+a
n-1
)x+a
n-2
)x+...+a
1
)x+a
0
求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v=ax+a
1 n n-1
然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
v
2
=v
1
x+a
n-2
v
3
=v
2
x+a
n-3
...... v
n
=v
n-1
x+a
0
这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。
2、两种排序方法：直接插入排序和冒泡排序
1、直接插入排序
基本思想：插入排序的思想就是读一个，排一个。将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与
已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一
个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）
2、冒泡排序
基本思想：依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,
小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重
复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气
泡上升,所以叫冒泡排序.
1.3.3进位制
1、概念：进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数
称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字
0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示
为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
a a ...aa (0a k,0a ,...,a ,a k)
n n1 1 0(k) n n1 1 0 ，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001 表示二进制数,34 表示5进制数
(2) (5)
第二章 统计
2.1.1简单随机抽样
1．总体和样本：在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体．把每个研究对象叫做个体．把总体中个体的
总数叫做总体容量．为了研究总体 的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分： 研究，
我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．
2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随
机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同（概率相等），样本的每个单位完全
独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。
3．简单随机抽样常用的方法：
（1）抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保
证程度。
4．抽签法:
（1）给调查对象群体中的每一个对象编号；
（2）准备抽签的工具，实施抽签
（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查
例：请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。
5．随机数表法：
例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。
2.1.2系统抽样
1．系统抽样（等距抽样或机械抽样）：
把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本
采用简单随机抽样的办法抽取。
K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）
前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的
规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，
说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。
2．系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较
简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序
排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。
2.1.3分层抽样
1．分层抽样（类型抽样）：
先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各
个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总
体的样本。
两种方法：
1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样
的方法抽取样本。2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别
代表该子总体，所有的样本进而代表总体。
分层标准：
（1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。
（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。
（3）以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。
3．分层的比例问题：
（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。
（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主
要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对
各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。
2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征
x +x +⋯+x
x= 1 2 n
n
1、本均值：
√(x −x) 2 +(x −x) 2 +⋯+(x −x) 2
s=√s2
=
1 2 n
n
2、．样本标准差：
3．用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息
会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。
虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标
准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体
的信息。
4．（1）如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变
（2）如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍
(x−3s,x+3s)
（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间 的应用；
“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理
2.3.2两个变量的线性相关
1、概念:
（1）回归直线方程
（2）回归系数
2．最小二乘法
3．直线回归方程的应用（1）描述两变量之间的依存关系；利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系
（2）利用回归方程进行预测；把预报因子（即自变量x）代入回归方程对预报量（即因变量Y）进
行估计，即可得到个体Y值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如
已经得到了空气中NO 的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空
2
气中NO 的浓度。
2
4．应用直线回归的注意事项
（1）做回归分析要有实际意义；
（2）回归分析前,最好先作出散点图；
（3）回归直线不要外延。
第三章 概 率
3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义
1、基本概念：
（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；
（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；
（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；
（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；
（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出
n
A
现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)= 为事件A出现的概率：
n
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常
数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
n
A
n
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值 ，
它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅
度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的
可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为
必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—
P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其
具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；
（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种
情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；
①求出总的基本事件数；
A包含的基本事件数
总的基本事件个数
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则
称这样的概率模型为几何概率模型；
（2）几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
P（A）= ；
（2） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出
现的可能性相等．高中数学 必修4 知识点
第一章 三角函数
1.1 任意角和弧度制
1、任意角的概念：包括正角、负角和零角。按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形
成的角叫做负角。如果一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角。
2、象限角和轴线角
 x 
象限角：使角 的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 是第
几象限角．
 
k360 k360 90,k
第一象限角的集合为
 
k360 90 k360 180,k
第二象限角的集合为
 
k360 180 k360 270,k
第三象限角的集合为
 
k360 270 k360 360,k
第四象限角的集合为
轴线角：角的终边在坐标轴上，则称这个角为轴线角。
 
k180,k
x
终边在 轴上的角的集合为
 
y
k180 90,k
终边在 轴上的角的集合为
 
k90,k
终边在坐标轴上的角的集合为
 
3、所 有 与 角 终 边 相 同 的 角 ， 连 同 角 在 内 ， 可 以 构 成 一 个 集 合 ：
 
即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和。
4、弧度制的概念
角度制与弧度制：用度作为单位度量角的单位制叫做角度制。用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
1
弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
l

r  l  r
弧度数的计算：如果半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，那么角 的弧度数的绝对值是 ．
 
的正负由角 的终边的旋转方向决定。
 180
1  1   57.3
2360 180   
5、弧度制与角度制的换算公式： ， ， ．
【补充内容】
为弧度制 l r
r l C S
1、若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ，
1 1
S  lr  r2
C 2rl 2 21 1
S  lr  r2
C 2rl 2 2
， ．
1.2 任意角的三角形函数
1、任意角三角函数的定义：

单位圆定义法：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。设 是一个任意角，它的终边与
x,y

单位圆交于点 ,那么：

①y叫做 的正弦，记作 ，即 ；

②x叫做 的余弦，记作 ，即 ；

③ 叫做 的正切，记作 ，即 。
正弦、余弦、正切统称为三角函数。
 
x,y r r  x2  y2 0
 
终边定义法：设角 终边上任意一点 的坐标是 ，它与原点的距离是 ，
y x y
sin cos tan x0
r r x
则 ， ， ．
2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦
为正．

3、三角函数线：与单位圆有关的有向线段 ，分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切
线，统称为三角函数线。即：
sin cos tan
， ， ．
y
P T
v
O M A x
 
、同角三角函数的基本关系：同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切。
4
1sin2cos21  sin21cos2,cos21sin2 
；
sin  sin
2  tan sintancos,cos 
cos  tan
．
1.3 三角函数的诱导公式1、函数的诱导公式：
1sin2ksin cos2kcos tan2ktank
， ， ．
2sinsin coscos tantan
， ， ．
3sinsin coscos tantan
， ， ．
4sinsin coscos tantan
， ， ．
   
5sin  cos cos  sin
   
 2   2 
， ．
   
6sin  cos cos  sin
   
 2   2 
， ．
口诀：奇变偶不变，符号看象限。（注释： ，当k为奇数时，函数名改变；当k为偶数时，

函数名不变。变化后的函数的符号跟把 看成锐角时原函数的符号一致。）
1.4 三角函数的图象与性质
1、正弦（余弦）曲线：正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和和余弦曲线。
2、正弦函数、余弦函数的性质
周期函数的概念：对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
，那么函数 就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。如果在周期函
数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期。
①周期性：正弦函数（余弦函数）是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是
。
②奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
③单调性：正弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从-1增大到
1；在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到-1。
余弦函数在每一个闭区间 上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区
间 上都是减函数，其值从1减小到-1。④最大值与最小值：正弦函数当且仅当 时取得最大值 1，当且仅当
时取得最小值-1；
余弦函数当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小
值-1。
3、正切函数的性质与图象
①周期性：正切函数是周期函数，周期是 。
②奇偶性：正切函数是奇函数。
③单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。
④值域：正切函数的值域是实数集R。
y sinx
1.5 函数 的图象
y sinx y sinx
1、函 数 （ ） 的 图 象 ： 函 数 （ 其 中
）的图象，可以看作用下面的方法得到：先画出函数 的图象；再把正弦曲线向
 y sinx
左（右）平移 个单位长度，得到函数 的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来
1
y sinx
 
的 倍，得到函数 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍（横坐标不
y sinx
变），这时的曲线就是函数 的图象．
y sinx0,0
2、函数 的性质：
振幅：做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离。
频率：做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数。
x 
相位： 称为相位；x=0时的相位 称为初相。
2 1 
 f  
   2 x 
①振幅： ；②周期： ；③频率： ；④相位： ；⑤初相： ．
【知识拓展】
y sinx x x y x x
函数 ，当 1时，取得最小值为 min ；当 2时，取得最大值为
1 1 
 y  y   y  y   x x x  x 
y 2 max min 2 max min 2 2 1 1 2
max1 1 
 y  y   y  y   x x x  x 
y 2 max min 2 max min 2 2 1 1 2
max ，则 ， ， ．
3、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函 y sinx y cosx y  tanx
性 数
图 质
象
定   
义 R R x xk ,k
域  2 
值 1,1 1,1
R
域
 x2kk
x2k k 当 时，
2
当 y 1
x2k
max ；当
y 1
最 时 ， max ； 当 k y 1
既无最大值也无最小值
值  时， min ．
x2k
2
k y 1
时， min ．
周 2 2 
期
性
奇 奇函数 偶函数 奇函数
偶
性
  
2k ,2k
 
 2 2
在 2k,2kk
  
单
k 在 上

k ,k

调 上是增函数；在 2k,2k 在  2 2
性   2k  ,2k 3  是 k 增  函  数  ；在 k
 2 2  上是减函数． 上是增函数．
k
上是减函数．
k,0k 对 称 中 心
对称中心    k 
对   k ,0  k  ,0  k
称 xk k  2   2 
性 2 对称中心
对称轴 xkk 无对称轴
对称轴
第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
1、平面向量的概念
向量：既有大小，又有方向的量叫做向量。（数量：只有大小，没有方向的量．只有大小，没有方向的量，
称为数量）有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。以A为起点、B为终点的有向线段记作 ,线段AB的长度也
叫做有向线段 的长度，记作 .
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
向量的表示：向量用有向线段表示。向量 的大小，也就是向量 的长度（或称模），记作 。
长度为0的向量叫做零向量，记作0（书写用 ）。长度等于1个单位的向量叫做单位向量。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．向量 、
平行，通常记作 。零向量与任一向量平行，即对于任意向量 ，都有 ．
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
2.2 平面向量的线性运算
1、向量加法运算：
⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加
法。
⑵向量加法运算法则：
①三角形法则的特点：首尾相连．
②平行四边形法则的特点：共起点．
     
a  b  ab  a  b
⑶三角形不等式： ．
⑷运算性质：
    
a00a a
① ；
   
ab b a
②交换律： ；
     
ab c a b c
③结合律： ．
a  x ,y  b  x ,y  a  b  x x ,y  y 
⑸坐标运算：设 1 1 ， 2 2 ，则 1 2 1 2 ．
2、向量减法运算：
⑴相反向量的概念：
相反向量：与 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 。零向量的相反向量仍是零向
量。
相反向量的性质：①任一向量与其相反向量的和是零向量，即 。
②如果 、 是互为相反的向量，那么 。
⑵向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，即：
向量减法的几何意义：若 、 的起点相同，则 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向
量。
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
C
 
a  x ,y  b x ,y  a  b x x ,y  y 
⑶坐标运算：设 1 1 ， 2 2 ，则 1 2 1 2 ．

 a
x ,y  x ,y  x x ,y  y  
设  、  两点的坐标分别为 1 1 ， 2 2 ，则 1 2 1 2 ． 
b

   

3、向量数乘运算及其几何意义： ab  CC

 a
⑴向量的数乘：实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作

a
．
 
a   a
① ；
   
0 a a 0 a a 0
②当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时，
 
a 0
．
a a  a  a  a    a  b  a  b 
⑵运算律：① ；② ；③ ．
a  x,y a  x,yx,y
⑶坐标运算：设 ，则 ．
 
a a 0   
b  b a
4、向量共线定理：向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 ．

a  x ,y  b x ,y    x y x y 0
向量共线定理坐标表示：设 1 1 ， 2 2 ，其中
b 0
，则当且仅当 1 2 2 1
 
 b b 0
a
时，向量 、 共线．
向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
 
e e
1、平面向量基本定理：如果 1、 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
   

   a e e e e
a
，有且只有一对实数 1、 2，使 1 1 2 2 ．不共线的向量 1、 2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底。
向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，做 则 叫做向量 与
的夹角。当 时， 与 同向；当 时， 与 反向。如果 与 的夹角是90°， 与 垂直，记作 。
2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解。
向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，
对于平面内的任一一个向量 ，有且只有一对实数x、y，使得 ，我们把有序数对（x，y）叫
做向量 的坐标，记作 ，其中x叫做 在x轴上的坐标，y叫做 在y轴上的坐标。
3、向量的坐标运算
①两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），即：
，
②实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，即：
③一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标，即：
4、平面向量共线的坐标表示：设 ，当且仅当 时，向量 。
    x ,y  x ,y 
5、分点坐标公式：设点  是线段 1 2上的一点， 1、 2的坐标分别是 1 1 ， 2 2 ，当
 x x y y 
   1 2 , 1 2 
 1  2 时，点  的坐标是  1 1  ．（当 λ=1 时，就为中点公式。）
2.4 平面向量的数量积
1、平面向量的数量积：
 
 
a b a b
⑴已知两个非零向量 和 ，把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即：
        
ab  a b cos a 0,b 0,0 180
，
  
  
a b a b b a
其中， 是 与 的夹角， （或 ）叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影。
0
零向量与任一向量的数量积为 ．
的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。
   
        ab  a b
a b a b  ab 0 a b
⑵性质：设 和 都是非零向量，则① ．②当 与 同向时， ；当
  a  b   a  b  a  a  a 2  a 2 a   a  a  a  b   a  b 
a b
与 反向时， ； 或 ．③ ．    a b    a  b  a    b   a  b  c  a  c  b  c 
ab ba
⑶运算律：① ；② ；③ ．
⑷坐标运算：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：
a  x ,y  b  x ,y  a  b   x x  y y
若非零向量 1 1 ， 2 2 1 2 1 2．
a  x,y a 2  x2  y2 a   x2  y2
推论：①若 ，则 ，或 ．
a  x ,y  b  x ,y  a  b   x x  y y 0
②设 1 1 ， 2 2 ，则 1 2 1 2 ．

⑸向量夹角公式：设 a  、 b  都是非零向量， a  x 1 ,y 1  ， b x 2 ,y 2  ，  是 a  与 b  的夹角，则


ab x x  y y
cos  1 2 1 2

a  b x2  y2 x2  y2
1 1 2 2
．
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
coscoscossinsin coscoscossinsin
⑴ ；⑵ ；
sinsincoscossin sinsincoscossin
⑶ ；⑷ ；
tantan
tan
1tantan
tantantan1tantan
⑸ ⇒ （ ）；
tantan
tan
1tantan
tantantan1tantan
⑹ ⇒ （ ）．
和角公式和差角公式：任意角 的三角函数值与其和角 的三角函数值的关系公式 ，
， 叫做和角公式；公式 ， ， 叫做差角公式。
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式（倍角公式）：
sin22sincos
⑴ ．
1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα) 2
推论：
cos2cos2sin22cos2112sin2
⑵
α α
cosα=2cos2 −1,cosα=1−2sin2
2 2
推论：①升幂公式cos21 1cos2
cos2 sin2
2 2
②降幂公式 ， ．
2tan
tan2
1tan2
⑶ ．
3、半角公式：
α √1−cosα
sin =± ,
2 2
α √1+cosα
cos =± ,
2 2
α √1−cosα sinα 1−cosα
tan =± = =
2 1+cosα 1+cosα sinα
⇒（后两个不用判断符号，更加好用）
【知识拓展】
1、① ； ；
； 。
②万能公式：
α α
2tan 1−tan2
2 2
sinα= ;cosα=
α α
1+tan2 1+tan2
2 2
2、合一变形：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

tan
y=Asin(ωx+ϕ)+B sincos 2 2 sin

形式。 ，其中 ．
3、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角
公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和
差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的
变形如：
α α α
① 2α 是α 的二倍； 4α 是 2α 的二倍；α 是 2 的二倍； 2 是 4 的二倍；
30o π π
15o =45o −30o =60o −45o = sin = cos =
2 12 12
② ；问： ； ；π π π
+α= −( −α)
α=(α+β)−β 4 2 4
③ ；④ ；
π π
2α=(α+β)+(α−β)=( +α)−( −α)
4 4
⑤ ；等等
（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通
常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的
代换变形有：
1=sin2α+cos2α=tanαcotα=sin90o =tan45o
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常
用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理
√1+cosα
式 常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；
（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
1+tanα 1−tanα
=_______________ =______________
1−tanα 1+tanα
如： ； ；
tanα+tanβ=____________ 1−tanαtanβ=___________
； ；
tanα−tanβ=____________ 1+tanαtanβ=___________
； ；
2tanα= 1−tan2α=
； ；
tan20o +tan40o +√3tan20otan40o
=
；
sinα+cosα=
= ；
asinα+bcosα= tanϕ=
= ；（其中
）
1+cosα= 1−cosα=
； ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊
值与特殊角的三角函数互化。
sin50o (1+√3tan10o
)=
如： ；
tanα−cotα=
。高中数学 必修5 知识点
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
C a b c 
1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。在 中， 、 、 分别为角 、
a b c
  2R
 、 C 的对边，则有sin sin sinC
R C
( 为 的外接圆的半径)
解三角形：把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素
求其他元素的过程叫做解三角形。
a 2Rsin b2Rsin c2RsinC
2、正弦定理的变形公式：① ， ， ；
a b c
sin sin sinC 
② 2R ， 2R ， 2R ；
a:b:csin:sin:sinC
③ ；
④
1 1 1
S  bcsin absinC  acsin
3、三角形面积公式： C 2 2 2 ．
、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，
4
a2 b2 c2 2bccos
即：
b2c2a2
cos
2bc
推论：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果一个三角形两边的平
方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，
那么第三边所对的角是锐角。
【补充内容】：
1、射影公式： ， ，
2、其他公式：① , , ;② ， ；
③
3、 .
4、
； 。
5、模尔外得公式：
① ; ②
第二章 数列：
2.1 数列的概念和简单表示法
1.数列的有关概念：
（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列
中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首
项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。
数列的一般形式可以写成： 简记为 。 数列是有序的。数列
可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1,2,…,n}）为定义域的函数 。
（2） 通项公式：如果数列 的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个
a 2n2 1
公式叫做这个数列的通项公式。如: n 。
（3） 递推公式：已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与他的前一项 （或前
几项）可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
a 1,a 2, a a a (n2)
如: 1 2 n n1 n2 。
2．数列的表示方法：
（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a）孤立点表示。
n
（3） 解析法：用通项公式表示。 （4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类： 常数列: a  2
n

递增数列: a  2n1,a  2n
按项数 ¿{有穷数列
¿¿¿
按单调性
 递减数列: a
n
 n2 1
n
n
  摆动数列: a
n
 (1)n 2n①项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
②从第2项起，每一项都不小于它的前一项的叫做递增数列；从第2项起，每一项都不大于它的前一
项的叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小
于它的前一项的数列叫做摆动数列。
4．数列{a}及前n项和之间的关系:
n
S ,(n 1)
a  1
S n a 1 a 2 a 3   a n n S n S n1 ,(n2)
【补充内容】：
1、解题思路：给出了 的前n项和公式 或 与 的关系式，要求 的通项公式常用思路有二：
一 是 先 求 出 ， 再 用 公 式 来 求 出 ； 二 是 由 公 式
将它转化为 的递推关系式，再求 即可。
【注意】在 中，必须有 这个条件。而求 时，则按照 求解。
2、用递推公式求数列通项公式解题方法：
①累加法：当 满足一定条件时，常用
累加来求通项公式 。
②累乘法：当 满足一定条件时，常用 累乘。
③迭代法
④辅助数列法
等差数列
2.2-2.3
1．等差数列的概念：
①等差数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
②等差中项：由三个数a，A，b组成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
③通项公式：如果等差数列 的首项是 ，公差是 d，那么等差数列的通项公式是：
2．等差数列前n项和公式：na a  nn1
S  1 n na  d
n 2 1 2
【补充内容】：
1、等差数列 通项公式的变形推广式：
； ；
2、判断一个数列为等差数列的方法：
①定义法： ；
②中项公式法（递推法）： ；
③通项公式法： 为n的一次函数 ；
④求和法： （其中 为 的前n项的和）
3、等差数列的性质：
设数列 为等差数列，公差为 ，其前n项和为 ，则：
①若 ，则 ；
若 ，则 ；
②“片段和”性质： 也是等差数列，公差为 ；
③数列 ， 为等差数列，公差为 ，
④若 ，则 .
若 ，则 .
4、有限等差数列的奇数项和与偶数项和之比问题：
①若项数为2n ，则 ， ， ；
②若项数为2n-1 ，则 ， ， 。
5、设等差数列 ， 前n项和分别为 ， ，且 ，则：。
【注意】如果由 ，设 与 时，应设 ， .
2.4-2.5 等比数列
1．等比数列的概念：
①等比数列：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等比数列。这个常数叫做等差数列的公比，通常用字母q表示。
②等比中项：如果在a，b间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
③通项公式：如果等差数列 的首项是 ，公差是q，那么等比数列的通项公式是：
2．等比数列前n项和公式：
3. 等比数列的相关性质：
① 如果 等比数列，c是不等于0的常数，那么数列 也是等比数列。
② 如果 ， 是项数相等的等比数列，那么 也是等比数列。
【补充内容】：
1、常数列都是等差数列，但却不一定是等比数列（例如各项都为0的数列）。
2、等比数列 通项公式的变形推广式：① ；②
3、判断一个数列为等比数列的方法：
①定义法： ；
②中项公式法（递推法）： ；
③通项公式法： 成立 ；
求和法：
④
4、等比数列的性质
设 是等比数列，公比为q，前n项和为 ，则:①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③“片段和”性质： 也是等比数列，公差为 ；
“相关和”性质：
④
5、有限等比数列的奇数项和与偶数项和之比问题：
①若项数为 时，则 ；
时，则 ，
②若项数为
6、若数列 为等差数列， 为等比数列且公比为 ，求 的前n项和时，常用“乘公
比，错位减”的方法求和。
数列知识总结
1、等差数列与等比数列对比小结：
等差数列 等比数列
a a d(n2) a
一、定义 n n1 n q(n2)
a
n1
a a n1d a aqn1
1． n 1 1． n 1
a a nmd,nm a a qnm,(nm)
n m
n m
二、公式 na a  nn1 na q1
S  1 n na  d  1
2． n 2 1 2 S n   a 1 1qn  a 1 a n q q1
2．  1q 1q
a,b,c成等差2bac a,b,c成等比b2 ac
1． ， 1． ，
称 b 为 a 与 c 的等差中项 称 b 为 a 与 c 的等比中项
三、性质 2．若 mn pq （ m 、 n 、 p 、 2 ． 若 mn pq （ m 、 n 、 p 、
q*
）， 则
a
m
a
n
a
p
a
q
q*
），则
a
m
a
n
a
p
a
q
S S S S S S S S S S
3． n， 2n n， 3n 2n成等差数 3． n， 2n n， 3n 2n成等比数列
列
2、数列通项公式的求法：
（1）定义法：①等差数列： ； ②等比数列： .
（2）公式法：
（3）用递推公式求数列通项公式解题方法：①累加法：形如已知 ，且 （ 可求积），用：
累加来求通项公式 。
②累乘法：形如已知 ，且 （ 可求积），用：
累乘来求通项公式 。
③构造法（辅助数列）：
形 如 转 化 为 ： （ 为 待 定 系 数 ） ，
；
形 如 转 化 为 ： ，
；
形如 或 的形式；
3、数列前n项和的求法：
na a  nn1
S  1 n na  d
n 2 1 2
（1）公式法：①等差数列： ；
②等比数列：
（2）分组求和法：形如 ，可以分别对数列 和 进行求和；
（3）倒序相加法：如果数列 具有 或 ，可以用倒序相加法
进行求和；
第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
1、不等式的基本性质：如果 是正数，那么 ；如果 等于零，那么 ；如果 是负
数，那么 .也可以表示为：
ab0 ab ab0 ab ab0ab
； ； ．
2、不等式的性质：
a bba
①对称性： ；ab,bcac
②传递性： ；
abacbc
③可加性： ；
ab,c0acbc ab,c0acbc
④可乘性： . ；
ab,cd acbd
⑤同向可加性： ；
ab0,cd 0acbd
⑥ ；
ab0an bnn,n1
⑦ ；
a b0 n a  n bn,n1
⑧开方性质： ．
小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。
在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。
3.2 一元二次不等式及其解法
1、一元二次不等式的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不
等式。
2、一元二次不等式解法：
ax2 bxc0,(a0)
（1）化成标准式： ；（2）求出对应的一元二次方程的根；
（3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。
  0   0   0
y  ax2 bxc y  ax2 bxc y  ax2 bxc
二次函数
y  ax2 bxc
（a 0）的图象
一元二次方程 有两相等实根
有两相异实根
ax2 bxc0 b 无实根
x ,x (x  x ) x  x 
a 0的根 1 2 1 2 1 2 2a
ax2 bxc 0    b 
xx x或x x xx    R
(a 0)的解集 1 2  2a
ax2 bxc0
 
xx  xx  
(a0)的解集 1 2
3、一元二次不等式恒成立问题：
（1）在实数R上恒成立问题：
①一元二次不等式 ，对任意实数 恒成立
②一元二次不等式 ，对任意实数 恒成立③一元二次不等式 ，对任意实数 恒成立
④一元二次不等式 ，对任意实数 恒成立
注意：当不等式 未说明为一元二次不等式时，对任意实数x恒成立 ，
或
（2）在某区间上恒成立问题：
设 ，
① 时， 在区间 上恒成立
② 时， 在区间 上恒成立
③ 在区间 上恒成立 ,其中 是 的解集。
（3）函数 在D上恒成立问题：
①若 ,函数 在D上恒成立 在D上的最小值 恒成立；
②若 ,函数 在D上恒成立 在D上的最大值 恒成立。
4、一元二次方程根的分别问题：
①方程 在区间 内有两个实根的条件： ；
②方程 有一根大于k，另一根小于k的条件是： ；③方程 在区间 内有两个实根的条件： ；
④方程 在区间 外有两个不等实根的条件：
5、高次不等式的解法：数轴标根法（根轴法）
①将不等式化为标准形式：一端为0，另一端为一次因式（x系数为正）或二次不可约因式的积；
②求出各因式的实数根，并在数轴上依次标出；
③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根穿而不过
（奇过偶不过）；
④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
1、二元一次不等式（组）的概念
二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。
二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），所有
这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。
2、平面区域的概念
平面区域：在平的面直角坐标系中，二元一次不等式 表示直线 某
一侧所有点组成的平面区域，直线 叫做边界，把直线画成虚线，以表示区域不包括边
界。不等式 表示的平面区域包括边界，把边界画成实线。
判断平面区域在直线哪一侧的方法：取特殊点法。
3、线性规划问题的概念：
（1）线性规划问题：二元一次方程组的约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。
要求最大值的函数称为目标函数，如果函数是关于变量x、y的一次解析式，那么目标函数也称线性目标
函数。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条
件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可
行解叫做这个问题的最优解。
（2）解线性规划实际问题的步骤：（一）将数据列成表格；（二）列出约束条件与目标函数；（三）根
据图象求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④
答：求最值； （四）验证。
【补充内容】：
两类主要的目标函数的几何意义:
z axby z (xa)2 (yb)2
① -----直线的截距；② -----两点的距离或圆的半径；3.4 基本不等式
1、均值定理：两个正数的几何平均数小于或等于算术平均数，即：
ab
2 a b ab a b
其中 叫做正数 、 的算术平均数， 叫做正数 、 的几何平均数．
推论：.① ；
②
x y
2、均值定理的应用：设 、 都为正数，则有
s2
x y  s x y xy 4
⑴若 （和为定值），则且仅当 时，积 取得最大值 ．
xy  p x y x y 2 p
⑵若 （积为定值），则且仅当 时，和 取得最小值 ．
注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。选修 2-1
第一章 常用逻辑用语
1.1命题及其关系
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.判断为真的语句叫做真命
题.判断为假的语句叫做假命题.
p q p q
2、“若 ，则 ”形式的命题中的 叫做命题的条件， 叫做命题的结论.
3、四种命题
互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
那么就把这样的两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命
p q q p
题的逆命题。原命题为：“若 ，则 ”，逆命题为： “若 ，则 ”；
互否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和
结论的否定，那么就把这样的两个命题叫做互否命题。其中一个命题叫做原命题，另一个
p q p q
命题叫做原命题的否命题。原命题为：“若 ，则 ”，否命题为： “若 ，则 ”；
逆否命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和
条件的否定，那么就把这样的两个命题叫做互为逆否命题。其中一个命题叫做原命题，另
p q q
一个命题叫做原命题的逆否命题。原命题：“若 ，则 ”， 逆否命题：“若 ，
p
则 ”；
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
1.2充分条件与必要条件
pq p q q p
1、充分条件与必要条件：若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件．
p  q p q p q
2、充要条件：若 ，则 是 的充分必要条件，简称充要条件，也可以说 与 互
为充要条件．
A⊆B
3、利用集合间的包含关系： 例如：若 ，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；
若A=B，则A是B的充要条件；
1.3简单的逻辑联结词
1、逻辑联结词：
p q pq
⑴且(and) ：用联结词“且”把命题 和命题 联结起来，得到一个新命题，记作 ，
p q p q pq p q
读作“ 且 ”。当 ， 都是真命题时， 是真命题；当 ， 两个命题中有一个
pq
是假命题时， 是假命题。
p q pq
⑵或（or）：用联结词“或”把命题 和命题 联结起来，得到一个新命题，记作 ，
p q p q pq p q
读作“ 或 ”。当 ， 有一个命题是真命题时， 是真命题；当 ， 两个命题
pq
都是假命题时， 是假命题。
p p p
⑶非（not）：对一个命题 全盘否定，就得到一个新命题，记作 ，读作“非
p p p p p
”或“ 的否定”。若 是真命题，则 必是假命题；若 是假命题，则 必
是真命题。.
p q pq pq p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真1.3全称量词与存在量词

1、全称量词：“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全程量词，用“ ”表
示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。
∀x∈M,p(x)
¬¿¿
全称命题的否定是特称命题：全称命题p： ，它的否定 p：
∃x∈M,¬p(x)
。
2、存在量词：“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“
”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题；
∃x∈M,p(x)
¬¿¿
特称命题的否定是全称命题：特称命题p： ，它的否定 p：
∀x∈M,¬p(x)
。
第二章 曲线与方程
2.1曲线与方程
1、曲线的方程：在直角坐标系中，如果曲线C（看做点的集合或适合某种条件的点的轨
迹）上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系（曲线包括直线）：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
2.2椭圆
F F FF
1、椭圆：把平面内与两个定点 1， 2的距离的和等于常数（大于 1 2 ）的点的轨迹
叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
|MF|+|MF |=2a,(2a>|F F |)
即： 1 2 1 2 。
x2 y2 y2 x2
 1ab0  1ab0
a2 b2 a2 b2
2、椭圆的标准方程： ；
3、椭圆的几何性质：
x y
（1）椭圆的中心：椭圆关于 轴、 轴对称，这时原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中
心叫做椭圆的中心。
（2）椭圆的顶点：椭圆与它对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点。
（3）椭圆的长轴和短轴：椭圆对称轴被椭圆截得的线段叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长
分别是2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）椭圆的离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 表示，即：
c b2
e  1 0e1
a a2
。越接近1，则 越接近 ，从而 越小，因此椭圆越扁； 越接近0，则 越接近
0，从而 越接近于 ，这时椭圆就越接近于圆。
x y
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
x2 y2
标准方程  1ab0
a2 b2
范围 a xa 且 b yb b xb 且 a ya
 a,0  a,0  0,a  0,a
1 、 2 1 、 2
顶点
 0,b  0,b  b,0  b,0
1 、 2 1 、 2
轴长 短轴的长 2b 长轴的长 2a
焦点 F c,0 F c,0 F 0,c F 0,c
1 、 2 1 、 2
焦距 FF 2c  c2 a2 b2
1 2
对称性 关于 x 轴、 y 轴、原点对称
c b2
离心率 e  1 0e1
a a2
2.3双曲线
F F FF
1、双曲线：平面内与两个定点 1， 2的距离之差的绝对值等于常数（小于 1 2 ）的
点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
||MF|−|MF ||=2a,(2a<|F F |)
即： 1 2 1 2 。
x2 y2 y2 x2
 1a 0,b0  1a 0,b0
a2 b2 a2 b2
2、双曲线的标准方程： ；
3、双曲线的几何性质：
x y
（1）双曲线的中心：双曲线关于 轴、 轴对称，这时原点是双曲线的对称中心，双曲线
的对称中心叫做双曲线的中心。
（2）双曲线的顶点：双曲线与它对称轴的两个交点叫做椭圆的顶点。
（3）双曲线的实轴和虚轴：连接双曲线顶点的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a
叫做双曲线的实半轴长；双曲线的虚轴等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长。
b a
y  x y  x
a b
（4）渐近线： （焦点在x轴）、 （焦点在y轴）叫做双曲线的渐近线。（5）等轴双曲线：当 时，双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a，此时，双曲线的渐近
线方程为 ，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等
轴双曲线。
（5）双曲线的离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，叫做双曲线的离心率，因为
，所以双曲线的离心率 。
x y
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程  1a 0,b0  1a 0,b0
a2 b2 a2 b2
范围 xa 或 xa ， yR ya 或 ya ， xR
顶点  a,0  a,0  0,a  0,a
1 、 2 1 、 2
轴长 虚轴的长 2b 实轴的长 2a
焦点 F c,0 F c,0 F 0,c F 0,c
1 、 2 1 、 2
焦距 FF 2c  c2 a2 b2
1 2
对称性 关于 x 轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
c b2
离心率 e  1 e1
a a2
b a
渐近线方程 y  x y  x
a b
2.4抛物线
1、抛物线：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ l 不经过点F ）的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．
y2  2px  p  0 y2  2px  p  0
2、抛物线的标准方程： ； ；
x2  2py  p  0 x2  2py  p  0
； ；
3、抛物线的几何性质：
（1）抛物线的轴：抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
（2）抛物线的顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
（3）抛物线的离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物
线的离心率，用 表示， 。
y2  2px y2  2px x2  2py x2  2py
标准方程
 p  0  p  0  p  0  p  0图形
顶点
0,0
x y
对称轴 轴 轴
 p   p   p   p 
焦点 F  ,0  F   ,0  F  0,  F  0, 
 2   2   2   2 
p p p p
准线方程 x   x  y   y 
2 2 2 2
离心率 e1
范围 x0 x0 y  0 y  0
4、通径：过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛
 2p
物线的“通径”，即 ．
5、焦半径公式：
p
F  x 
若点 x 0 ,y 0  在抛物线 y2 2pxp0 上，焦点为F ，则 0 2 ；
p
F  y 
若点 x 0 ,y 0  在抛物线 x2 2pyp0 上，焦点为F ，则 0 2 ；
第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
1、空间向量及其加减运算
（1）空间向量：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长
度或模。空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模。
（2）零向量、单位向量：长度为0的向量叫做零向量，记作 。模为1的向量称为单位向
量。
（3）相反向量：与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记作 。
（4）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量。（5）空间向量加减运算定律：
加法交换律：
加法结合律：
2、空间向量的数乘运算
（1）向量的数乘：实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。
当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是
的长度的倍 。
（2）空间向量数乘运算定律：
分配律：
结合律：
（3）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或者重合，则这些向量叫
做共线向量或平行向量。对空间任意两个向量 ， ， 的充要条件是存在实
数 ，使 。
（4）空间任意三点共线判定方法： 为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线，对
空间任意一点O，点P在直线 上的充要条件是存在实数 ，使 ，其中向量
为直线 的方向向量。在 上取 ,则有 。
（5）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量。空间内任意两个向量总是共面的。
（6）空间三个向量共面判定方法：如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ，
共面的充要条件是存在有序实数对 ，使 ；或对空间任意一点O，有
.
3、空间向量的数量积运算
（1）空间向量的夹角：已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 O，作 ，
，则 叫做向量 ， 的夹角，记作 。
（2）空间向量数量积：已知两个非零向量 ， ，则 叫做的 ， 数量积，
记作 。即 。注意：①零向量与任何向量的数量积为0；②
（3）空间向量数量积运算定律：
；
交换律： ；
分配律： 。
（4）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它
也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也
和这条斜线在平面内的射影垂直。
4、平面向量的正交分解及其坐标表示
（1）空间向量基本定理：如果三个向量 ， ， 不共面，那么对空间任一向量 ，存
在有序实数组 ，使得 。把 叫做空间的一个基底， ， ，
都叫做基向量。空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底。
（2）单位正交基底：设 ， ， 为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，称这样
的单位向量为单位正交基底。以O为坐标原点，以 ， ， 的方向为 轴、 轴、 轴
的正方向建立空间直角坐标系 。在空间中，对于空间任意一个向量 ，存在有序实
数组 ，使得 。把 、 、 称作向量 在单位正交基底 ， ，
下的坐标，记作 。
5、空间向量运算的坐标表示
（1）空间向量坐标运算：
设 ， ，则：
， ，
， 。
（2）空间中两点间的距离公式：已知 ， ，则A，B两点间的距离为：
。3.2立体几何中的向量方法
1、法向量：直线 ，取直线 的方向向量 ，则向量 叫做平面的法向量。给定一点
A和一个向量 ，那么，过点A，以向量 为法向量的平面是完全确定的。
2、用向量法解直线、平面的位置关系：
设直线 ， 的方向向量分别为 ， ，平面 ， 的法向量分别为 ， ，则：
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ 。选修 2-2
第一章 导数及其应用
1.1变化率与导数
f x  f x 
2 1
x x x x
1、平均变化率： 2 1 称为函数 从 1到 2的平均变化率，用 ，
表示，平均变化率可以表示为 。
lim Δy =lim f(x 0 +Δx)−f(x 0 )
2、导数：函数 在 处的瞬时变化率是 Δx→0Δx Δx→0 Δx ，称它为函数
在 处的导数，记作 或 ，即：
f'(x )=lim Δy =lim f(x 0 +Δx)−f(x 0 )
0 Δx→0Δx Δx→0 Δx ；
3、导数的几何意义：函数 在点 处的导数是曲线 在点
处的切线的斜率 ，即：
f(x +Δx)−f(x )
k=lim 0 0 =f'(x )
Δx→0 Δx 0
4、导函数：求函数 在 处导数时，当 时， 是一个确定的数，所以，
当x变化时， 是x的一个函数，称它为 的导函数（简称导数）。 的导函
数有时也记作 ，即：
f(x+Δx)−f(x)
f'(x )=y'=lim
0 Δx→0 Δx
。
1.2导数的计算
1、基本初等函数的导数公式表：
①若 （ 为常数），则 ；②若 ，则 ；
③若 ，则 ； ④若 ，则 ；
⑤若 ，则 ； ⑥若 ，则 ；
⑦若 ，则 ； ⑧若 ，则
。
2、导数运算法则：

f xgx  fxgx
 
① ；

f xgx  fxgx f xgx
 
② ；

 f x fxgx f xgx
    gx0 
 gx    gx  2
③ ．注意：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即：
3、复合函数
复合函数：对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可以表示成
（1）
的函数，那么称这个函数为 和 的复合函数，记作 。
（2）复合函数求导法则：复合函数 的导数和函数 和 的导
数间的关系为： 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积，即
1.3导数在研究函数中的应用
a,b fx0
1、函数的单调性与其导函数的正负关系：在某个区间 内，如果 ，则函数
fx0
在这个区间内单调递增；如果 ，则函数 在这个区间内单调递
减．
fx0 fx 0
2、求函数 的极值的方法是：解方程 ．当 0 时：
1 x fx0 fx0 f x 
如果在 0附近的左侧 ，右侧 ，那么 0 是极大值；
2 x fx0 fx0 f x 
如果在 0附近的左侧 ，右侧 ，那么 0 是极小值．
极值：极大值和极小值统称为极值。
a,b
3、求函数 在 上的最大值与最小值的步骤是：
1 a,b
求函数 在 内的极值；
2 f a f b
将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是
最大值，最小的一个是最小值．
1.4生活中的优化问题举例
1、导数在实际问题中的应用：最优化问题。
1.5定积分的概念
1、曲面梯形求面积的步骤：分割、近似代替、求和、取极限。
2、常用公式：
①平方和公式： ；②立方和公式： 。
3、定积分：如果函数 在区间 上连续，用分点
个小区间，在每个小区间 上任取一点 ，作和式
将区间等分成
当时 ，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 在区间 上的定积分，
记作 ，即
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分区间，函数 叫做被积
函数，x叫做积分变量， 叫做被积式。
4、定积分的几何意义：定积分 表示由直线 ， ， 和曲线所围成的
曲边梯形的面积。
5、定积分的性质：
① ；
② ；
③ 。
1.6微积分基本定理
1、微积分基本定理：如果函数 是区间 上的连续函数，并且 ，那么
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式。把 记成 ，即
2、定积分的取值范围：
①当对应的曲边梯形位于 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；②当对应的曲边梯形位于 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反
数；
③当对应的曲边梯形位于 轴上方的曲边梯形面积等于 轴下方的曲边梯形面积时，定积
分的值为0.
第二章 推理与证明
2.1合情推理与演绎推理
1、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，
再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。合情推理是合乎情理的推理。
①归纳推理：由某些事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些
特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理。归纳推理是由部分
到整体、由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类
对象也具有这些特征的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
2、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推
理。演绎推理是由一般到特殊的推理。
三段论：三段论是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断。
2.2直接证明与间接证明
1、直接证明
①综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后
推到出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
②分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的
结论归结为一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法
叫做分析法。分析法又叫逆推证法执果索因法。
2、间接证明——反证法：假设命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正
确的推理，最后得出结论，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法
叫做反证法。
2.3数学归纳法
1、数学归纳法：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；
②（归纳递推）假设 时命题成立，证明当 时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题从 开始的所有正整数 都成立。这种证明方法叫
做数学归纳法。
第三章 数系的扩充和复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念1、复数的概念：把集合 中的数，即形如 的数叫做复
数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合 叫做复数集。
复数的代数形式：复数通常用字母 表示，即 ，这一表示形式叫做
复数的代数形式。对于复数 ，如果没有做特殊说明，都有 ，其中的
与 分别叫做复数 的实部与虚部。
2、 为实数、虚数、纯虚数的条件
(1)实数：当且仅当b=0时， 是实数。即：
b=0 (a,b∈R)⇔z=a+bi∈R⇔z=¯z⇔ z2≥0；
(2)0：当且仅当a=b=0时， 是实数。即：
a=b=0 (a,b∈R)⇔z=a+bi=0；
(3)虚数：当b≠0时， 叫做虚数。即：
b≠0(a,b∈R)⇔z=a+bi是虚数；
(4) 纯虚数：当a=0且b≠0时，叫做纯虚数。即：
a=0且b≠0(a,b∈R)⇔z=a+bi是纯虚数⇔z＋¯z＝0（z≠0）⇔z2<0；
(5)复数相等的条件：复数 与 相等的充要条件是 。即：
(a,b,c,d∈R)。
3、复数的几何意义
（1）复平面：复数 可用点 表示，建立直角坐标系表示复数的平面叫
做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚
轴上的点都表示纯虚数。
（2）复数与点：复数集 与复平面内所有点所成的集合一一对应，即：
（3）复数与向量：复数集 与复平面内的向量所成的集合一一对应（实数0与零向量
对应），即：
3.2复数代数形式的四则运算
1、复数的代数形式及其运算：设z=a+bi , z =c+di (a,b,c,d∈R)，则：
1 2
(1)复数的加减法则：z+z=（a+bi）+（c+di）=(a+b)+(c+d)i；
1 2
z-z=（a+bi）-（c+di）=(a-b)+(c-d)i；
1 2
(2)复数的乘法法则： z·z= (a+bi)·(c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)i；
1 2(a+bi)(c−di)
ac+bd bc−ad
= + i
(c+di)(c−di) c2 +d2 c2 +d2
(3)复数的除法法则：z÷z= (z≠0);
1 2 2
zm⋅zn=zm+n；(zm)n=zmn；(z⋅z )m=z z (m,n∈N)；
1 2 m m
（4）幂的运算法则： 1 2
2、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复
数。通常记复数 的共轭复数为 。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
z z
1 1
( )=
(z ±z )=z ±z z z =z ⋅z z z
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
共轭的性质：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷
z=z
。
3、运算定律：
z +z =z +z （z +z ）+z =z +（z +z ）
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
（1）加法交换律： ；加法结合律：
z z =z z （z z ）z =z（z z ）
乘法交换律： 1 2 2 1；乘法结合律： 1 2 3 1 2 3
（2） ；
z （z +z ）=z z +z z
1 2 3 1 2 1 3
乘法分配律：
4、几个重要的结论：
1+i 1−i
=i; =−i;
(1)
(1±i) 2 =±2i
；⑷
1−i 1+i
i i4n =1,i4n+1 =i,i4n+2 =−1,i4n+3 =−i i4n +i4n+1 +i4+2 +i4n+3 =0;
(2) 性质：T=4； ；
1
|z|=1⇔zz=1⇔¯z=
z
(3) 。
||z |−|z ||≤|z ±z |≤|z |+|z | |z z |=|z ||z |
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
6．模的性质：⑴ ；⑵ ；⑶
z |z |
1 1
| |=
z |z | |zn |=|z| n
2 2
；⑷ ；
选修 2-3
第一章 计数原理
1.1分类加法计数原理和分类乘法计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，
在第2类中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。分类要做到
“不重不漏”。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步
有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。分步要做到“步骤完
整”。
1.2排列与组合
1、排列和排列数（1）排列：从n个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n
个元素中取出m个元素的一个排列。
（2）排列数：从n个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不
同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示。
（3）排列数公式： 。
推导公式：
（4）全排列与阶乘：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。这
时公式中m=n，即有 ，
n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积。正整数1到n的连乘积，叫
做n的阶乘，用 表示。
规定：
2、组合与组合数
（1）排列：从n个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从n个元素中取出m个
元素的一个组合。
（2）排列数：从n个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个
不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示，也可以用符号 表示。
（3）组合数公式：求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可看作由以下两个步骤得
到：第1步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有 种不同的取法；第2步，将取出
的m个元素做全排列，共有 种不同的排法。根据分步乘法计数原理，有 。
由此可以得到组合数公式：
也可以写成：
。推导公式：
规定：
3、组合数的性质：
（1） ；
（2） ；
1.3二项式定理
二项式定理：
1、
的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数 叫做二项式系数，式
中的 叫做二 展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第k+1项：
在二项式定理中，如果设a=1，b=x，则得到公式：
注意：一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念。
2、杨辉三角与二项式系数的性质
（1）对称性：与首尾两端“等距离”的两个二项式系数相等。
（2）增减性与最大值：当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部
分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是
奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得最大值。
（3）各二项式系数的和：由 ，令x=1，则
。
故 的展开式的各个二项式系数的和等于 。
第二章 随机变量及其分布
2.1离散型随机变量及其分布列
1、离散随机变量
（1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。随机变量用字母
表示。
（2）离散型随机变量：所有取值都可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。
2、离散型随机变量的分布列（1）概率分布列：若离散型随机变量X可能取不同值为 ，X取每一个值
的概率 ，用表格的形式表示如下：
X … …
P … …
该 表 格 称 为 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 列 ， 简 称 为 X 的 分 布 列 。 也 用 等 式
表示X的分布列。
（2）两点分布：若随机变量X的分布具有的形式如下：
X 0 1
P
则称X服从两点分布，并称 为成功概率。
（3）超几何分布：在含有M件次品产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
X 0 1 … m
P …
其中， 如果随机变量X的分布列具有这样的形
式，则称随机变量X服从超几何分布。
2.2二项分布及其应用
1、条件概率
（1）条件概率：设A,B两个事件，且 ,称 为在事件A发生的条件
下，事件B发生的条件概率。 读作A发生的条件下B发生的概率。
（2）条件概率的性质：
① ；
②如果B和C是两个互斥事件,则
2、事件的相互独立性
（1）相互独立：设A,B为两个事件，若 ,则称事件A与事件B互相独立。
（2）相互独立事件的性质：如果事件A与B互相独立，那么A与 ， 与B， 与 也都
相互独立。
3、独立重复试验与二项分布
（1）独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验。
（2）在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概
率为P，则此时称随机变量X服从二项分布，记作 ，并称p为成功概率。
2.3离散型随机变量的均值与方差
1、离散型随机变量的均值
（1）均值：若离散型随机变量X的分布列为
X … …
P … …
则称
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
（2）离散型随机变量的均值的基本性质：
① ；
②若X服从两点分布，则 ；
③若 ，则 。
2、离散型随机变量的方差
（1）方差：设离散型随机变量X的分布列为：
X … …
P … …
则 描 述 了 相 对 于 均 值 的 偏 离 程 度 。 而
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值 的
平均偏离程度。称 为随机变量X的方差，称其算术平方根 为随机变量X的标
准差。
（2）方差的性质：
①若X服从两点分布，则 ；
②若 ，则 ；
③ 。
2.4正态分布
（1）正态曲线： ，其中实数 和 为参数，称
的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。（2）正态分布：如果对于任何实数 ,随机变量X满足 ，
则称随机变量X服从正态分布。正态分布完全由参数 和 确定，因此正态分布常记作
。如果随机变量X服从正态分布，则记为 .
(3)正态曲线的特点：
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线 对称；
③曲线在 处达到峰值 ；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当 一定时，曲线的位置由 确定，曲线随着 的变化而沿x轴平移；
⑥当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；
越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。
⑦若 ，则对于任何实数 ， 。
⑧ 原 则 ： ， ，
，
正态总体几乎总取值于区间 之内，而在此区间以外取值的概率只有
0.0027，通常认为这种情况在一次试验中不可能发生。在实际应用中，通常认为服从于正
态分布 的随机变量X只取 之间的值，并简称之为 原则。
第三章 统计案例
3.1回归分析的基本思想及其初步应用
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
¿
y=bx+a
③线性回归方程： （最小二乘法）
 n
x y nxy
 i i
b i1

n
 x2 nx 2
 i
i1

 a  ybx (x,y)
注意：线性回归直线经过定点 。
n
∑(x −x)(y −y)
i i
r= i=1
√ n n
∑(x −x) 2∑(y −y) 2
i i
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）： i=1 i=1r x,y r x,y
注：⑴ >0时，变量 正相关； <0时，变量 负相关；
|r| |r|
⑵① 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；② 接近于0时，两个变量之
间几乎不存在线性相关关系。
3．回归分析中回归效果的判定：
n n
¿
∑(y −y) 2 ¿ ¿ ∑(yi−yi) 2
i e =y −y
i=1 i i i i=1
⑴总偏差平方和： ⑵残差： ；⑶残差平方和：
n ¿
∑(y −y ) 2
i i
R2 =1− i=1
n n ¿ n
∑(y −y) 2 ∑(yi−yi) 2 ∑(y −y ) 2
i i i
i=1 i=1 i=1
；⑷回归平方和： － ；⑸相关指数 。
R2
注：① 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
R2
② 越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：
K2
随机变量 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。