文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷·参考答案
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C C B C B A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9 10 11 12
BD ACD BC BC
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．32 14． 16． 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
【详解】（1）设 的边长为 千米，由 得 ，
中，
为等边三角形， ，
故 ，即 的边长为 .......................................5分
（2）设 的边长为 千米，所以 ，
中， ，
由正弦定理得， ，故 ，其中 ，当 时， 取得最小值 ，
即 的边长最小值为 .......................................10分
18．（12分）
【详解】（1）在正方形 中 ，
∵面 面 面 ，面 面 ，
∴ 面 ，
∵ 面 ,∴ ，
∵ 在以 为直径的半圆上，∴ ，
又∵ 面 ， 面 ，
又 面 ，
∴面 面 ，......................................5分
（2）∵ ，∴
又∵ 为二面角 的平面角，
∴ ，同理 .
在梯形 中， .
取 的中点 ，以 为 轴正半轴，以平行于 的方向为 轴正半轴，以平面 内垂直于 的方
向为 轴正半轴，建立如图空间直角坐标系：
则 ，设 ， ，
则 ，
设平面 的法向量为
则 ，
令 ，则 ，设直线 和平面 所成角为 ，
则 ，
设 ，
则 ，
令 ，
当 时， ，
当 时， ，
令 ，任意 ，
，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，所以 在 上为减函数，
故 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 和平面 所成角的正弦值的取值范围 .......................................12分
19．（12分）
【详解】（1）当 时， ，定义域为 .
，令 ，可得 ，
当 变化时， 和 的变化情况如下：
0
- - 0 +
单调递
单调递减 单调递增
减
故函数 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 .......................................5分
（2）因为 对 恒成立，所以 对 恒成立，
显然 不恒成立，不合题意，则 ，解得 .
令 ，可得 或 ，
当 时， ，
因为 ，（当且仅当 时， ）
所以函数 在 上单调递增，无极值，不满足题意；
当 时， ，
和 的变化情况如下：
0
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
函数 在 处取得极小值，满足题意；
当 时， ， 和 的变化情况如下：0
+ 0 - 0 +
单调递增 单调递减 单调递增
函数 在 处取得极大值，不满足题意.
综上，实数 的取值范围为 .......................................12分
20．（12分）
【详解】（1）当 时， ，解得 ；
当 时， ， ，则 ，
因为 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ；......................................5分
（2）由（1）知，
依题意 ，
因为 ， ，则 ，即 ；
因为 ，
所以 ，而 ，
故 ，即 ．
综上所述， ．......................................12分
【点睛】关键点睛：本题第二问考查数列，不等式，放缩法的综合应用问题，第二问的难点是证明
，关键是证明 ，后面的问题迎刃而解.
21．（12分）
【详解】（1） ， ， ；......................................3分
（2）由已知 ，∴ ，即 ，
∴ 是以 为公比的等比数列，
∴ ，∴ .......................................7分
（3） .
设 ， ，∴ ，∴ 在 上单调递增，
显然 ，则 ，
∴ ，则 ，
即 ，
∴ .......................................12分
22．（12分）【详解】（1）设 ，由题意可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），所以抛物线 的方程为 .......................................5分
（2）如图，
设经过 ， 两点的直线方程为 ： （ ），
与抛物线方程 联立可得 ，
即 ，
∴ ， .
∵ ，则 ，
∴ ，
∴过点 作 的切线 方程为 ，
令 ，得 ，即 .
同理，过点 作 的切线 方程为 ，
令 ，得 ，即 .
∴ .
联立两直线方程 ，解得 ，即 ，......................................8分则 到直线 的距离 .
又∵过点 作直线 垂直于 ，
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 .
同理，直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 .
∴ .
联立两直线方程 ，解得 ，
整理后可得 ，即 ，......................................10分
则 到直线 的距离 .
由上可得 ， ，
， ，
∴ ，得 ，
∴直线 的方程为 即 .......................................12分
