文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，
又 ，则 .
故选：B.
2． （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 .
故选：A
3．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座
斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距
约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距 均为18m.最短拉索的锚 ，
满足 ， ，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，则最长拉索所在直线的
斜率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知 ， 分别是公差为4和18的等差数列，
所以 ， ，
所以 ， ，即最长拉索所在直线的斜率为 .
故选：B.
4．已知平面向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C．2 D．
【答案】D
【详解】 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：D5．2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙
不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120 B．7200 C．8640 D．14400
【答案】B
【详解】甲与乙相邻有 种不同的排法，将甲与乙看作是一个整体，与除丙外的5人排好，有 种不同
的排法，
再将丙排入隔开的不在两端的5个空中，有 种不同的排法，
所以共有 种不同的排法．
故选：B.
6．已知角 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
又 ，则 ，
则 ，
所以 .
故选：C.
7．已知正三棱锥 的外接球的表面积为 ，若 平面PBC，则三棱锥 的体积为
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设外接球半径为 ，则 ，所以 .
设 ，因为 平面PBC，所以 ，
所以 ，又因为△ABC为正三角形， ，
即PA，PB，PC两两垂直.
将三棱锥补成以PA，PB，PC为邻边的正方体，则 ，得 ，
所以三棱锥的体积为 .
故选：A.
8．函数 和 的定义域均为 ，已知 为偶函数， 为奇函数，对于 ，
均有 ，则 （ ）
A．66 B．70 C．124 D．144
【答案】B
【详解】 为偶函数，即 ，
的图像关于 对称，
为奇函数，即 ，
的图像关于点 对称，
对于 ，均有 ，
，
的图像关于 对称， ，的图像关于点 对称，
又
解得 ，
.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．对于函数 ，有以下四种说法正确的是:（ ）
A．函数的最小值是
B．图象的对称轴是直线
C．图象的振幅为2，初相为
D．函数在区间 上单调递增
【答案】AD
【详解】因为函数 ，则有：
对于选项A：当 ，即 时，
函数 取得最小值为 ，故A正确；
对于选项B：令 ，解得 ，
函数 的图象的对称轴是直线 ，故B错误；对于选项C：因为 ，
所以图象的振幅为2，
令 ，解得 ，
所以 不为初相，故C错误；
对于选项D：令 ，解得 ，
即函数 的递增区间为 ，
当 时， 的递增区间为 ，故D正确.
故选：AD.
10．（多选题）“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：
“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解（图1），得到
一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马
（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖
臑的体积分别为 ， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】设长方体的长宽高分别为 ， ，
则 ， ， ，
故 ， ， ， ，则B错误，ACD正确；
故选：ACD.11．已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交抛物线 于
两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线 的准线方程为 B．直线 与抛物线 相切
C． 为定值 D．
【答案】ABD
【分析】选项A，由点 在抛物线上，代入方程待定系数，求出抛物线C方程，则得到准线方程；
选项B，利用导数求出切线斜率，与直线 斜率相同即可说明相切；选项C，设出直线AB方程，联立抛
物线方程，将 坐标化韦达定理代入可证；选项D，利用弦长公式用 表示，再代入韦达
定理，结合判别式 得出的 的范围，即可判断得出答案．
【详解】对于A：因为点 在抛物线 ： 上，
则 ，解得 ，
所以抛物线 ： ，
其准线为 ，故A正确；
对于B：令 ，
则 ，可得 ，
即抛物线在A点处切线斜率与直线AB斜率相同，
所以直线AB与抛物线C相切，故B正确；
对于C：由题意可知，直线PQ斜率存在，
设直线PQ的方程为 ，联立方程 ，消去y得： ，
可得 ，得 ，
且 ，
因为
，故C错误；
对于D：由题意可知 ，
因为 ，
则 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD．
12．若实数x，y满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD【分析】对于AB， ，则 ，从而可求出 的范
围进行判断，对于C，利用 ，化简变形结合已知条件可判断，对于D，利用 ，
化简变形结合已知条件可判断.
【详解】对于AB，因为 ，所以 ，当且仅当 时
取等号，
所以 ，所以 ，所以A正确，B错误，
对于C，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以C错误，
对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以D正确，
故选：AD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 .
【答案】 /
【详解】随机变量 服从正态分布 ，且 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：
14．已知函数 ，过原点作曲线 的切线 ，则切线 的斜率为 ．
【答案】
【详解】由题意得， ，设切点为 ，
则切线方程为 ，
因为切线过原点，
所以 ，
解得 ，所以 ．
故答案为：
15．已知圆C： ，直线 ，若在l上总存在点M，使得
过M点作的圆C的两条切线互相垂直，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】根据题意，圆C： 即 ，
其圆心为 ，半径 ，
如图，设切点分别为A， 连接AC，BC，MC，
由 ，又由 ，
则四边形MACB为正方形且 ，
若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心 到直线l的距离 ，
即 ，
解可得： ，
即m的取值范围为 ；
故答案为：
16．已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，过点 且垂直于 轴的直线与椭圆交
于 、 两点， 、 分别交 轴于 、 两点， 的周长为4.过 作 外角平分线的垂线
与直线 交于点 ，则 .
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
因为 的周长为4，所以 的周长 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ， ，所以 ，
直线 垂直 轴，设 ，代入 ，求得 ，所以 ， ，
因为 外角平分线 的垂线与直线 交于点 ，
所以 ，可得 ，
则 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．已知数列 为等差数列， 是公比为 的等比数列，且 ．
(1)证明： ；
(2)若集合 ，求集合 中的元素个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【详解】（1）证明：设数列 的公差为 ，则 ，
即 ，
解得 ，所以原命题得证.
（2）由（1）知 ，所以 ，因为 ，所以 ，解得 ,
由 ， ，故 ，即 ，
所以满足等式的解 ．
故集合 中的元素个数为6.
18．在① ；② 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，______.
(1)求 ；
(2)求 的周长.
注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中， ，
，
，
，
则 ，
化简得 .
在 中， ，
.
又 ，
.
（2）由余弦定理，得 ，即 .
若选①，，即 ，且 ，
， ，
此时 的周长为 .
若选②，
，
，即 ，
又 ，
，
此时 的周长为 ．
19．据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管
理，即确定一个合理的居民用水量标准 （单位：吨），月用水量不超过 的部分按平价收费，超出 的
部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了 户居民某年的月均用水量（单
位：吨），其中月均用水量在 内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求 和 的值；
(2)若该市政府希望使 的居民月用水量不超过标准 吨，试估计 的值；
(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过 吨时，按3元 吨计算，超出 吨的部分，按5
元 吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少
吨？
【答案】(1) ，(2)16.6吨
(3)20.64吨
【详解】（1） ，
用水量在 的频率为 ， （户）
（2） ，
，
（吨）
（3）设该市居民月用水量最多为 吨，因为 ，所以 ，
则 ，解得 ，
答：该市居民月用水量最多为20.64吨．
20．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是正方形， 底面ABCD，E，F分别是PC，AD中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，PB与平面ABCD所成角为45°，求平面PFB与平面EFD夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设 为 中点，连接 ，
又 分别是 中点，所以 ， ，
又底面 是正方形，
所以 ， ，故四边形 为平行四边形，则 ，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 .
（2）因为PB与平面ABCD所成角为45°，所以 ，以 为原点，构建空间直角坐标系，
由于 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
令 为平面 的一个法向量，则 ，
令 ，即 ，
令 为平面 的一个法向量，则 ，
令 ，即 ，所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值 ．
21．已知双曲线 ： 经过点 ，且浙近线方程为 ．
(1)求 的方程；
(2)过点 作 轴的垂线，交直线 ： 于点 ，交 轴于点 ．不过点 的直线交双曲线 于A、B两
点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，求 ．
【答案】(1) ；
(2)
【详解】（1）由 ，即 ，
将 代入双曲线方程得 ；
（2）
当直线 的斜率存在时，不妨设直线 ， ，
联立双曲线方程 ，其中 ，
，
易知
，
化简得
所以 或 ，
当 时，直线 过P，不符题意舍去，
故 ，则此时直线 ，过定点 .
如图所示，易知 ，
则 ；
当直线 的斜率不存在时，可设 ，
与双曲线方程联立，则 ，
可令 ，
此时 ，
此时 重合，不符题意舍去.
综上可知 .
【点睛】关键点睛：本题关键点在于第二问中由条件转化 中 的关系，此外三角形面积比
转化为线段比也是简化计算的关键.22．已知函数 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)若 ，求 的值；
(3)求证： .
【答案】(1) 在 处取得极小值 ，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当 时， ， ，
则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得极小值 ，无极大值；
（2）由题意得 ，
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以当 时， ，与 矛盾；
②当 时，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，因为 恒成立，所以 ，
记 ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ；
（3）证明：先证 ，
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，
再证 ，
由（2）可知 ，当 时等号成立，
令 ，则 ，
即 ，
所以 ， ， ，累加可得 ，
所以 .
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极
(最)值问题处理．
