文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考II 卷专用）
黄金卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设全集 ，集合 ， ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简集合集合 ，从而利用集合交并补运算即可得解.
【详解】因为 ，
又 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
故选：C
2．已知复数z满足 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】D
【分析】先根据复数的四则运算化简复数，再计算模长即可．
【详解】复数 ，有
故选：D3．已知向量 ， ，且 与 方向相反，若 ，则 在 方向上的投影向量的坐标
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的共线求得m的值，结合 与 方向相反确定m，根据向量的投影向量的定义即可求得
答案.
【详解】由题意知向量 ， 共线，
故 ，解得 或 ，
又因为且 与 方向相反，故 ，
所以 ，而 ，
则 在 方向上的投影向量是 ，
即 在 方向上的投影向量的坐标是 ，
故选：B
4．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 （ ）
A．60 B．65 C．70 D．71
【答案】D
【分析】利用百分位数的定义即可得解.
【详解】因为甲组：27，31，37，m，42，49；乙组：24，n，33，44，48，52，
由 ，得第30百分位数是第2个数据，故 ,
由 ，得第50百分位数是第3与4个数据平均值 ，解得 ．
所以 .故选：D．
5．已知 ， ， ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得 ，利用两角和差公式结合指数幂运算求解.
【详解】由题意可得 ，
因为 ， ，则 ，
可得 ，即 ，
则 ，
令 ，
则 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
即 ，解得 ．
故选：B．
6．定义在R上的奇函数 ，对任意 都有 ，若 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造 ，确 在 上单调递减， 为奇函数，得到 ，解得答案.【详解】 ， ，则 ，
设 ，故 ， 在 上单调递减，
为奇函数，则 ， 为奇函数，
在 上单调递减， ， ，
，即 ，故 ，
故选：C.
7．古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，
其中之一的内容为：“若点 为椭圆上的一点， 、 为椭圆的两个焦点，则点 处的切线平分
外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆 ， 为坐标原点， 是点 处的切线，过
左焦点 作 的垂线，垂足为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长 、 交于点 ，分析可知，则 为 的中点，且 ，利用中位线的性质结
合椭圆的的定义可求得 的值.
【详解】如下图所示：延长 、 交于点 ，由题意可知 ，
又因为 ，则 为 的中点，且 ，
所以， ，
又因为 为 的中点，则 .
故选：A.
8．已知点 在棱长为2的正方体表面上运动， 是该正方体外接球的一条直径，则 的最小值为
（ ）
A．-2 B．-8 C．-1 D．0
【答案】A
【分析】通过基底法，得到 ，再通过立体图得到 的值以及 的最小值，最终代
入数据得到最小值.
【详解】如图 为棱长为2的正方体外接球的一条直径， 为球心， 为正方体表面上的任一点，
则球心 也就是正方体的中心，
所以正方体的中心 到正方体表面任一点 的距离的最小值为正方体的内切球的半径，它等于棱长的一半，即长度为1， 的长为正方体的对角线长，为 ，
我们将三角形 单独抽取出来如下图所示：
，所以 的最小值为 .
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的图象关于 对称
C．函数 在 的值域为
D．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位
【答案】ACD【分析】先由图象信息求出 表达式，从而即可判断A；注意到 是 的对称
中心当且仅当 ，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即
可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断.
【详解】如图所示：
由图可知 ，又 ，
所以 ，所以 ，
又函数图象最高点为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
由题意 ，所以只能 ，故A选项正确；
由A选项分析可知 ，而 是 的对称中心当且仅当
，但 ，从而函数 的图象不关于 对称，故B选项错误；
当 时， ， ，
而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
所以函数 在 的值域为 ，故C选项正确；
若将函数 的图象向左平移 个单位，
则得到的新的函数解析式为 ，故
D选项正确.
故选：ACD.
10．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形， ， 为正三角形，
为 的中点，且平面 平面 是线段 上的一点，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若点 为线段 的中点，则直线 平面D．若 ，则直线 与平面 所成角的余弦值为
【答案】BCD
【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB，由线面平行的判定定理即可判断C，建立空间
直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.
【详解】连接 ，
因为底面 是边长为2的菱形， ，又 为正三角形， 为 的中点，所以 ，
，又 ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以
，又 ，所以 ，故B正确；
当点 为线段 的中点时，取 的中点 ，连接 ，则 ，且 ，又 为 的
中点，底面 是边长为 的菱形，所以 ，且 ，所以 ，且 ，所以
四边形 为平行四边形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
故C正确；
因为平面 平面 ， 为正三角形， 为 中点，所以 ，平面 平面
， 平面 ，所以 平面 ，且 平面 ，所以 ，又
， ， 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以
，显然 与平面 不垂直，故当点 运动到点 位置时，才有 ，故A错误；
建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
又 ，所以 ，则 ， ， ，设平面的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 ，设
直线 与平面 的夹角为 ，则 ，则
，所以直线 与平面 所成角的余弦值为 ，故D正确；
故选：BCD
11．下列式子中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解；对于D：取特值 代入检验.
【详解】对于选项A：因为 ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
但 ，所以 的最小值不为4，故A错误；
对于选项B：因为 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为4，故B正确；
对于选项C：因为 ，
则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故C成立；
对于选项D：令 ，可得 ，
所以4不是 的最小值，故D错误；
故选：BC.
12．已知拋物线 ，过其准线上的点 作 的两条切线，切点分别为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的方程为 B．
C．直线 的斜率为 D．直线 的方程为
【答案】BCD
【分析】由准线所过点求得 得抛物线方程，判断A，设直线 ，代入抛物线方程后应用韦达
定理判断B，设 ， ，利用选项B中斜率 表示出 两点坐标，计算斜率判断C，利
用韦达定理得出线段 中点坐标得直线方程判断D．
【详解】因为 在准线上，所以准线方程为 ，所以 ，抛物线 的方程为 ，故A
错误；
设直线 ，代入 ，得 ，
当直线与 相切时， ，即 ，
设 的斜率分别为 ，易知 是上述方程的两根，故 ，
所以 ，故B正确；
设 ， ，则 分别是方程 的根，
所以 ，所以 ，故C正确；， ，
所以 的中点为 ，直线 的方程为 ，即 ，故D正确.
故选：BCD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知幂函数 在区间 上单调递减，则 ．
【答案】
【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.
【详解】由幂函数的定义知， ，即 ，解得 或 ，
当 时， 在区间 上单调递增，不符合题意，
当 时， 在区间 上单调递减，符合题意，所以 .
故答案为：
14．已知圆M的圆心在直线 上，且过 ， ，则圆M的方程为 .
【答案】
【分析】根据圆M的圆心在直线 上，设圆心为 ，再根据圆过点 ， ，由
求解.
【详解】解：因为圆M的圆心在直线 上，且过 ， ，
所以设圆心为 ， ，
解得 ，则圆心为 ， ，
所以圆的方程为： ，故答案为：
15．已知二项式 的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，
则取到的项都是有理项的概率为 .
【答案】
【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项， ，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利
用古典概型的概率求解.
【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
所以展开式的总项数为7项，故 ，
展开式的通项 ，
当 是偶数时该项为有理项，
时，项为有理项，共有4项，
所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为 .
故答案为：
16．已知函数 ，若关于 的方程 恰有 个不同实数根，则实
数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先利用导数研究 时 的性质，作出 的图象．若关于 的方程
恰有 个不同实数根，令 ，通过分析可得 有2个
不等实根 ，且 ，数形结合即可建立关于 的不等式组，即可求解．【详解】当 时， ，则 ，
令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
根据题意可作出 的图象如下：
若关于 的方程 恰有4个不同实数根，
令 ， ，则 有两个不等实数根 ，
故 与 都有2个交点，或者 与 有1个交点， 与 有3个交点；
当 与 都有2个交点，根据图象可得 ，不满足 ，舍去；
当 与 有1个交点， 与 有3个交点，
则 ，当 时， ，解得 ，
故 ，解得 或 ，舍去；
故 ，
两个实数根的范围为 ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点睛：本题求解的关键是利用数形结合思想，作出函数的图象，通过图象得到 与
有1个交点， 与 有3个交点，并通过分析得到 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．记数列 的前n项和为 ，对任意正整数n，有 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列递推式 ，利用 可得 ，利用累乘法，结合验
证首项，即可求得答案；
（2）由（1）可得 的表达式，利用错位相减法可求得 ，即可证明结论.
【详解】（1）由题意对任意正整数n，有 ，
则 时， ，即 ；
当 时， ，则 ，
即 ，即 ，故 时， ，
也适合上式，故 ；
（2）证明：由（1）可得 ，
故 ，
则 ，
故
，
故 ，由于 ，故 ，
故 .
18．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(1)求角 ；
(2) 是 的角平分线，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由正弦边角关系及已知得 ，即可得角 ；
（2）由余弦定理得 ，由 及面积公式得 ，求得 ，进而应用面积公式求面积.
【详解】（1）由 ，得： ，即 ，
又 ，所以 .
（2）在 中， 得： ①，又 ，
得： ，化简得： ②，
由①②得： ，所以
19．如图，在直三棱柱 中， ， ，M为AB的中点，D在 上且
.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线CM与平面CBD所成角的正弦值；
(3)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
(3)
【分析】（1）证明 ，推出 平面 ，进而可得结论；
（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求直线CM与
平面CBD所成角的正弦值；
（3）利用向量法求二面角 的余弦值.
【详解】（1） 直三棱柱 中, ，M为AB的中点，
， 平面 ， 平面
，又 ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ；
（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
设 ，
则 ，
设面 的法向量 ，
则 ，取 ，得 ，
设直线CM与平面CBD所成角为 ，；
（3）设面 的法向量为 ，又 ，
，取 得 ，
，
所以二面角 的余弦值为 .
20．后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策.某地区对在职
员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税(单位：百元)数据，
按 ， 分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
假设每个组内的数据是均匀分布的.
(1)求这500名在职员工的个人所得税的中位数(保留到小数点后一位)；(2)从个人所得税在 三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10
人中随机抽取3人，记年个税在 内的员工人数为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在 内的员工人
数为 ，求 的数学期望与方差.
【答案】(1) 百元
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求得 ，利用中位数计算公式计算即可.
（2）求得 的所有可能取值和对应的概率即可得到分布列，再由数学期望公式计算即可.
（3）由题意得 ，由二项分布的数学期望与方差公式直接计算即可.
【详解】（1）设这500名在职员工的个人所得税的中位数为 ，
则由频率分布直方图得 ，
解得 ，
所以这500名在职员工的个人所得税的中位数为 百元.
（2）由题意抽取的10人中，年个税在 内的员工人数为 人，
年个税在 内的员工人数为 人，
年个税在 内的员工人数为 人，
若现从这10人中随机抽取3人，记年个税在 内的员工人数为 ，
则 的所有可能取值为 ，
所以 ， ，， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
的数学期望为： .
（3）由频率分布直方图可知年个税在 内的概率为 ，
从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，恰有 个员工的年个税在 内的分
布列服从二项分布 ，
由二项分布的数学期望、方差公式可得 ，
即 的数学期望与方差分别为 .
21．在 中，已知点 边上的中线长与 边上的中线长之和为 ，记
的重心G的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)若圆 ，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ，直线
与曲线 的另一个交点分别是点 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义求得曲线 的方程.（2）直线 为 ，通过联立方程组等求得 两点的坐标，求得 面积的表达式，利用换
元法以及函数的单调性求得 面积的最大值．
【详解】（1）设 的中点为S， 的中点为T，所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以G点的轨迹是以 为焦点，长轴长 的椭圆．所以 ，
所以 ， ，所以曲线C的方程为 ．
.
（2）设直线 为 （不妨设 ），设 ， ，
所以 ， ， ，
解得 （ 舍去），则 ，
由于AB是单位圆的直径，所以 ，
所以直线EN的斜率为 ，直线EN的方程为 ，
同理可求得 ，则 ，由上述分析可知 ， ，而 ，
所以
，
所以 ，令 ，
当且仅当 ， 时等号成立，
则 ，函数 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 ．
【点睛】关键点睛：在圆锥曲线中，求解三角形面积最值、范围等的有关问题，关键点有两点，第一点是
求得三角形面积的表达式，可考虑根与系数关系、点到直线的距离公式等等来进行求解；第二点根据面积
的表达式，使用基本不等式、二次函数等知识求得面积的最值或取值范围.
22．已知函数 的最小值为0，其中 ．
(1)求 的值；
(2)若对任意的 ，有 成立，求实数 的最小值；
(3)证明： ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)证明见解析.【分析】（1）对 进行求导，已知 最小值为0，可得极小值也为0，得 ，从而求出 的
值；
（2）由题意任意的 ，有 成立，可以令 先通过 ， 大
致确定 取值范围，再利用分类讨论法求出 的最值；
（3）由（2）知:令 得: 令 得:
，累加即可的证.
【详解】（1）由函数 ，则其定义域为 ，且 .
由 ，得: ，又由 ，得: ，
在 单调递减，在 单调递增，
；
（2）设 ，
则 在 恒成立等价于 ，
注意到 ，又 ，
①当 时，由 得 .
在 单减， 单增，这与 式矛盾；
②当 时， 在 恒成立， 符合 ，
的最小值为 ；（3）由（2）知：令 得： ，
令 得：
当 时， (1)；
当 时， ，
，
，
将(1)(2)(3),......,(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以 .
【点睛】方法点睛：对于含参函数的恒成立问题的处理，常采用两种方法：①参变分离求最值；②将左右
两边移到一边重新构造一个含参函数，讨论含参函数的单调性，确定哪一个点处取得最值.
