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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考七省专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，解得 ，所以 ，
因为 ，得 ，所以 ，
故 .
故选:C．
2．已知 （ ， 为虚数单位），若 是实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 是实数，
所以 ，
故选：A
3．已知向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 ，则 ，
，则 ，
则向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：B
4．已知 是定义域为 的单调递增的函数， ， ，且 ，则 （ ）
A．54 B．55 C．56 D．57
【答案】B
【解析】因为 有 ，令 ，则 ，
显然 ，否则 ，与 矛盾.
从而 ，由 .即得 ，
，即 ，于是 ，且 .
所以 ，所以 ， .
因为 所以 ，于是 ， .
因为 所以 .
因为 所以 ， .
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ， .
故选：B.
5．已知函数 在区间 上的最小值恰为 ，则所有满足条件的 的积属于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时 ，因为此时 的最小值为 ，
所以 ，即 .
若 ，此时 能取到最小值 ，即 ，
代入可得 ，满足要求；
若 取不到最小值 ，则需满足 ，即 ，
在 上单调递减，所以存在唯一 符合题意；
所以 或者 ，所以所有满足条件的 的积属于区间 ，
故选：C
6．已知等差数列 的前n项和为 ，对任意的 ，均有 成立，则 的值的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 是等差数列 的前n项和中的最小值，必有 ，公差 ，
若 ，此时 ， ， 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ，即 ，则 ；若 ， ，此时 是等差数列 的前n项和中的最小值，
此时 ， ，即 ，
则 ，
综上可得： 的取值范围是 ，
故选:B．
7．已知点 是椭圆 的左右焦点，点 为椭圆 上一点，点 关于 平分
线的对称点 也在椭圆 上，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：
由图可知： ，
由 平分 ，则 ，所以 ，
由 ，则解得 ，
由 是 关于直线 的对称点，则 共线， ， ， ，所以 ，在 中， ，
可得 ，解得 ， ，
在 中，由余弦定理，可得 ，
代入可得： ，化简可得： ，
所以其离心率 .
故选：C.
8．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ， ， ，
设 ， ，则 ，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因为 ， ， ，且 ，
可得 ， ，所以 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）A．若 ， ，则
B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则
D． 恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A选项，取 ，满足 ， ，但 、 不一定共线，A错；
对于B选项，若 与 共线且模长相等，则 或 ，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项， 恒成立，D对.
故选：ABC.
10．设O为坐标原点，直线 过圆 的圆心且交圆于 两点，则
（ ）
A． B．
C． 的面积为 D．
【答案】BC
【解析】由圆的方程 ，
则 ，所以圆心 ，半径 ，
易知 ，故A错误；
将 代入直线方程 ，则 ，解得 ，故B正确；
将 代入直线方程 ，整理可得直线方程 ，原点到直线 的距离 ，且此为 底 上的高，
所以 ，故C正确；
由 与 ，则直线 的斜率 ，
由直线方程 ，则直线 斜率 ，
由 ，则 与 不垂直，故D错误.
故选：BC.
11．下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，
这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件 与 ，若 ， ，则事件 与 独立
C．若随机变量 ， ，若 最大，则
D．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
【答案】BCD
【解析】对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，因为 ，
则这组数据的第 百分位数为 ，故A错误；
对于B， ，又 ，所以 ，即事
件 与 相互独立，故B正确；
对于C，因为随机变量 ，所以 ，故 ，又
，当 最大时， ；又
，此时 ，故C正确；
对于D，因为随机变量 服从正态分布 ，所以正态曲线关于直线 对称，又因为 ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
12．如图，在棱长为1的正方体 中，Q是棱 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点Q，使得
B．存在点Q，使得
C．对于任意点Q，Q到 的距离的取值范围为
D．对于任意点Q， 都是钝角三角形
【答案】ABC
【解析】由 平面 ， 平面 ， ， 平面 ，∴直线 与 是异面直线，
A正确；
平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 与 是平面 内两相交直
线，所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，即当 与 重合时， ，B
正确，此时 是直角三角形，D错；设 （ ）， ， ， ，
，
，
所以 ，
，
所以 时， ， 或1时， ，所以 的最大值是 ，最小值是 ，
记 到 的距离为 ， ，因此 的最大值是 ， 的最小值是 ，C正确．
故选：ABC．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 ．
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，由等差数列前n项和公式可知 ；可得 为定值，所以 即为等差数列，又 ，
即 是以 为首项，公差为1的等差数列，
所以 ，从而 ．
故答案为：
14．若函数 ，则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】因为 ，则有：
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，则 ，解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 .
故答案为： .
15．已知函数 的部分图像如图所示，且关于 的不等式
的解集为 ， ，则正偶数a的最小值为 ．【答案】4
【解析】由题意得 ，所以 ，
而 ， ，所以 ，
而 ，故 ，所以 ，
又 过点 ，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，
又 ，即 ，又 ，则 ，所以 ，
则 ，又 ，所以 ，则 ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
当 时，在区间 内不存在正偶数，
当 时，在区间 内存在1个正偶数4，所以正偶数a的最小值为 ．
故答案为： .
16．如图，在三棱锥 中， 平面 为 外接圆的圆心，
为三棱锥 外接球的球心， ，则三棱锥 的外接球 的表面积为 ．【答案】
【解析】根据题意可知，设 外接圆的半径为 ，
在 中由正弦定理可知 ，解得 ，即 ；
易知三棱锥 外接球的球心在 的正上方，且 平面 ；
又 平面 ，所以 ；
因为 平面 ，可得 ，又 ，
所以可得四边形 是矩形，即 ；
设 ，三棱锥 外接球的半径为 ，
由勾股定理可得 ，解得 ；
所以可得三棱锥 的外接球 的表面积为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的值，并写出 的对称轴方程；
(2)在 中角 的对边分别是 满足 ，求函数 的取值范围．
【答案】(1)(2)
（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得 ，故 ，故 ，根据正
弦函数的定义域和值域求出 的取值范围．
【解析】（1）
．
， ．
故
令 ，解得 ，
故对称轴方程为：
（2）由 得 ，
．
， ， , ．
， ，
，
18．（12分）若数列 的前 项和 满足 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，证明：对任意的正整数 ，都有 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析【解析】（1）证明：由 ，当 时，可得 ；
当 时， ，所以 ，
∴ 时， ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
∴ ，∴ .
（2）证明：由（1）知， ，∴ ，
∴ ，
∴ ,
因为 ，所以 ，所以 即 成立．
所以对任意的正整数 ，都有 得证.
19．（12分）如图，在三棱柱 中， 平面 为正三角形，侧面 是边长
为2的正方形， 为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)取 的中点 ，连接 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明： 为正三角形， 为 的中点， ，
平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 平面 平面 .
（2） 为正三角形， ，
平面 平面 ，
，
故 ，
又 为 的中点， ，
为二面角 的平面角，
侧面 是边长为2的正方形， ，
为边长为2的正三角形， ，
在直角三角形 中， ，
，
二面角 的余弦值为 .
20．（12分）经销商小王对其所经营的某型号二手汽车的使用年数 与每辆车的销售价
格 （单位：万元）进行整理，得到如表的对应数据：
使用年
2 4 6 8 10
数售价 16 13 9.5 7 4.5
(1)试求y关于x的回归直线方程；
(2)已知每辆该型号汽车的收购价格w（单位：万元）与使用年数 的函数关系为
，据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽
车所获得的利润 最大.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .
【答案】(1) ；
(2)预测 时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z最大.
【解析】（1）由表格可知： ，
由最小二乘法得 ，
，
所以y关于x的回归直线方程为： ；
（2）据（1）中所求的回归方程 可知：
，
由二次函数的性质可知， ，
故 时， ，
由一次函数的性质可知 ，在 时， ，
综上，显然 时， .21．（12分）已知双曲线C： 的离心率为 ，F为C的左焦点，P是C右支上的
点，点P到C的两条渐近线的距离之积为 ．
(1)求C的方程；
(2)若线段PF与C的左支交于点Q，与两条渐近线交于点A，B，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得 ，故 ，
又 ，C的两条渐近线方程分别为 ，
设 ，则 ，即
所以 ，所以 ， ，故C的方程为 ．
（2）由（1）知 ，设直线PF的方程为 ， ， ， ，
联立 得 ，
则 ， ，
因为P是C右支上的点，所以 ，
，联立 ，得 ，
则 ， ，
，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 ．
22．（12分）已知函数 .
(1)求函数 在 上的单调区间；
(2)若 时， ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为
(2)
【解析】（1）由题意知： ，
恒成立，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；
在 上的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）令 ，则 在 上恒成立；
①当 时， ，则 ，不满足 在 上恒成立，不合题
意；
②当 时， ，
， ，
又 在 上连续， ，使得当 时， ，
在 上单调递增，此时 ，不合题意；
③当 时， ，则 ， ；
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ，
又 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递减， ，即 ，在 上单调递减， ，即 ，
，满足题意；
综上所述：实数 的取值范围为 .
