文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）
黄金卷05
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设复数 对应的点在第四象限，则复数 对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在平行四边形 中， 是 的中点， 是 的中点， 与 相交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．某地投资 亿元进行基础建设， 年后产生的社会经济效益为 亿元，若该地投资基础建设4
年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过 年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的16倍，
则 （ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．某大学强基测试有近千人参加，每人做题最终是否正确相互独立，其中一道选择题有5个选项，假设若
会做此题则必能答对.参加考试的同学中有一部分同学会做此题；有一半的同学完全不会，需要在5个选项
中随机蒙一个选项；剩余同学可以排除一个选项，在其余四个选项中随机蒙一个选项，最终统计该题的正
答率为30%，则真会做此题的学生比例最可能为（ ）
A．5% B．10% C．15% D．20%
6．设函数 ，且 在 上单调，则下列结论不正确的是（ ）
A． 是 的一个对称中心
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在区间 上的值域为
D．先将 的图象的横坐标缩短为原来的 ，然后向左平移 个单位得到 的图象
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开
展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为
2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为 时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底
端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，则（ ）
A． 与 是异面直线B．存在点 ，使得 ，且 平面
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
10．已知函数 ，则（ ）
A． B． 恰有5个零点
C． 必有极值点 D． 在 上单调递减
11．已知 为坐标原点， 为抛物线 的焦点，过点 的直线交 于 、 两点，直线 、
分别交 于 、 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B．
C． 的最小值为 D． 的最小值为
12．在平面直角坐标系xOy中，将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转 后，所得曲
线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”，则（ ）
A．存在“90°旋转函数”
B．“70°旋转函数”一定是“80°旋转函数”
C．若 为“45°旋转函数”，则
D．若 为“45°旋转函数”，则
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知 ，且 ，若 的展开式中存在常数项，则展开式中 的系数为 .
14．已知圆 和两点 ， .若圆 上存在点 ，使得
，则 的最大值为 ．
15．已知 是定义域为 的奇函数.若以点 为圆心，半径为2的圆在x轴上方的部分恰好是
图像的一部分，则 的解析式为 .
16．如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角 ，使得对于曲线G上的任意两个不同
的点 恒有 成立，则称角 为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为
曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C： （其中e是自然对数的底数），点O
为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为 ，则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 ．18．（12分）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量 ，
， .
(1)求角A的大小；
(2)若 为 上一点，且 ， ，求 面积的最大值.
19．（12分）如图，已知四边形 和 都是直角梯形， ， ， ， ，
， ，且二面角 的大小为 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的大小为 ，若存在，请求出点的位置；若不存
在，请说明理由．
20．（12分）已知 ， .
(1)函数 有且仅有一个零点，求 的取值范围.
(2)当 时，证明： （其中 ），使得 .
21．（12分）已知动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存
在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， ， 均成立；若
存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
22．（12分）某种植物感染病毒 极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒 的制剂．现对20
株感染了病毒 的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果
进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计．规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，
否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
吸收量（毫克） 6 8 3 8 9 5 6 6 2 7
1 1 1 1
编号 11 13 15 17 19 20
2 4 6 8
吸收量（毫克） 7 5 10 6 7 8 8 4 6 9
(1)补全列联表中的空缺部分，依据 的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”
有关？
吸收足
吸收不足量 合计
量
植株存活 1
植株死亡
合计 20
(2)现假设该植物感染病毒 后的存活日数为随机变量 （ 可取任意正整数）．研究人员统计大量数据
后发现：对于任意的 ，存活日数为 的样本在存活日数超过 的样本里的数量占比与存活日数
为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．试推导
的表达式，并求该植物感染病毒 后存活日数的期望 的值．
附： ，其中 ；当 足够大时， ．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
