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2023-2024 学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模拟
考试暨假期质量测试数学科答案
一．单选题
1. A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.A
二．多选题
9. AD 10.BCD 11.AC
三．填空题
12. 13. 14.
四．解答题
15.（本题满分13分）
解：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ,
则 , , , …………………………3
分
又 , 可得 , …………………………4分
所以 . …………………………6
分
（2）由（1）可得 ， …………………………7分
故 ，以它为通项的数列是以 为首项、公比为 的等比数列，……8分
所以数列 的前2n项和 …………10分
. ………………………13分
16.（15分）
解（1）取 中点 ，由题意， ，
又 ，故 .
又 ，故 ，
学科网（北京）股份有限公司所以四边形 为平行四边形，则 .
由 平面 ，故 平面 ，
又 面 ，故平面 平面 .…………………………7分
（2）以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空
间直角坐标系.则有：
，
故
设平面 的法向量
而 ，
故 ，令 ，得
设所求角的大小为 ，则 .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………………………15分
17.（1）由题知，随机变量 服从二项分布， ，
由 ，即 ，
得 ，所以 ． ………………………4分
学科网（北京）股份有限公司（2）（ⅰ） ，
，
． ………………………8分
（ⅱ）记 ，
则 ，
当 时， ， 单增；
当 时， ， 单减；
当 时， 取得最大值，即 取得最大值．
在团体 提出的函数模型 中，
记函数 ， ，
当 时， ， 单增；
当 时， ， 单减．
当 时， 取得最大值 ，则 不可以估计．
………………………13分
在团体 提出的函数模型 中，
学科网（北京）股份有限公司记函数 ， 单调递增，
令 ，解得 ，
则 是 的最大似然估计． ………………………15分
18.解：（1）由已知
联立直线 得
设 ，则
所以
联立直线 得
设 ，则
所以
因为 ，所以 …………………………4分
（2）因为 ，所以 的直线方程为
，因为 过点
整理得 ，
所以 ①
……………………7分
同理可得 ②
学科网（北京）股份有限公司同理可得AC： ，BD：
联立 与 方程，解出点 坐标，
， …………………………11
分
由①②得 ， 带入点 纵坐标
所以点 坐标在直线 上 ………………………17分
19.（1）由题意得，函数 的定义域为 .
由 得： ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．……………………4分
（2）因为 是方程 的两不等实根，
学科网（北京）股份有限公司即 是方程 的两不等实根，
令 ，则 ，
即 是方程 的两不等实根.
令 ，则 ，
所以 在 上递增，在 上递减， ，
当 时， ；当 时， 且 .
所以 ，即 .
令 ．
（i）要证 ，只需证 ， ……………………6分
解法1：令 ，
则 ，
令 ，
则
，
所以 在 上递增， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以 ． ……………………11分
解法2：先证 ，
令 ，只需证 ，
只需证 ，
令 ，
，
在
所以 上单调递减，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
解法3：由 ，
设 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司即 ，
构造函数 ，
，
所以 在 上单调递增，所以 ．
（ii）要证： ，只需证： ，
只需证： ，
只需证： ，
只需证： ，
令 得
即 ①
令 得
即 ②
学科网（北京）股份有限公司①+②得： ，
即 ． ……………………17分
学科网（北京）股份有限公司
