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2023-2024 学年度东北育才学校高中部高三年级第六次模
拟考试暨假期质量测试数学科试卷
答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：高三备课组
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符
合题目要求的．
1. 若集合 ， ，则 （
）
A. B. C. D.
2.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 在 的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.若 是 上周期为3的偶函数，且当 时， ，则
（ ）
A. B. C. D.
5. 若 ，且 ．则 （ ）
高三年级数学科试卷 第1页 共7页
学科网（北京）股份有限公司A. B. 2 C. 3 D.
6. 函数 在区间 上所有零点的和等于
（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 是双曲线 的左、右焦点，点 为双曲线 右支上一
点 ， 点 在 轴 上 ， 满 足 ， 若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．设 是一个无穷数列 的前 项和，若一个数列满足对任意的正整数 ，不等式
恒成立，则称数列 为和谐数列，有下列3个命题：
①若对任意的正整数 均有 ，则 为和谐数列；
②若等差数列 是和谐数列，则 一定存在最小值；
③若 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有 （ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中，真命题有（ ）
A.若随机变量 ，则
B.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的 分位数是8.5
C.若随机变量 ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司D.若事件 , 满足 且 ，则 与 独立
10. 如图，在正方体 中， ， 是正方形 内部(含边
界)的一个动点，则（ ）
A. 存在唯一点 ，使得
的
B. 存在唯一点 ，使得直线 与平面 所成 角取到最小值
C. 若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
D. 若异面直线 与 所成的角为 ，则动点 的轨迹是抛物线的一部分
11. 已 知 函 数 的 定 义 域 均 为 ， 且 满 足 ，
， ，则（ ）
A. B. 的图象关于点 对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
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学科网（北京）股份有限公司12．若复数 （其中 表示虚数单位），则 ____________．
13.如图，在平面斜坐标系 中， ，平面上任意一点 关于斜坐标系的
斜坐标这样定义：若 （其中 ， 分别是 轴， 轴正方向的单位向
量），则 点的斜坐标为 ，向量 的斜坐标为 ， ，
，则 的面积为______.
14. 已知 的三个内角A，B，C满足 ，当 最大时，
动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时 的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前2n项和．
16. （15分）
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学科网（北京）股份有限公司如图，圆台上底面圆 半径为1，下底面圆 半径为 为圆台下底面的一条直径，
圆 上点 满足 是圆台上底面的一条半径，点 在平面 的同
侧，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若圆台的高为2，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17．（15分）
某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触
传染，现有 只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的概率为 ，设
随机变量 表示 只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是
否被感染之间相互独立.
（1）若 ，求数学期望 ；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 ，现有两个不同的研究团队理论研究发
现概率 与参数 的取值有关．团队 提出函数模型为 ．
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学科网（北京）股份有限公司团队 提出函数模型为 ．现将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，
进行实验，随机变量 表示第 组被感染的白鼠数，现将随机变量
的实验结果 绘制成频数分布图，如图所示．
（ⅰ）试写出事件“ ， ，…， ”发生的概率表达式（用 表
示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数 时使得概率 最大，
称 是 的最大似然估计．根据这一原理和团队 ， 提出的函数模型，判断哪个团
队的函数模型可以求出 的最大似然估计，并求出最大似然估计．
参考数据： ．
18. （17分）
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学科网（北京）股份有限公司如图，已知抛物线 ，点 ，过点 任作两条直线，分别与抛物线 交于
A,B与C，D.
（1）若 的斜率分别为 ，求四边形 的面积；
（2）设
（ⅰ）找到 满足的等量关系；
（ⅱ） 交于点 ，证明：点 在定直线
上.
19. （17分）
已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性：
（2）若 是方程 的两不等实根，求证：
（i） ；
（ii） ．
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