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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -A基础练
一、选择题
1.若平面α的一个法向量为n=(1,0,1),平面β的一个法向量是n=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 (
1 2
)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】D
【解析】因为n·n=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°.
1 2
2.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
5√22 5√22 5√22 5√22
A. B.- C. D.-
66 66 22 22
【答案】A
⃗AB·⃗CD 5 5√22
【解析】⃗AB=(2,-2,-1),⃗CD=(-2,-3,-3),而cos⃗AB,⃗CD= = = ,故直线AB和
|⃗AB||⃗CD| 3×√22 66
5√22
CD所成角的余弦值为 .
66
3.如图,在三棱柱ABC-ABC 中,AA⊥底面ABC,AA=3,AB=AC=BC=2,则AA 与平面ABC 所成角的大小为(
1 1 1 1 1 1 1 1
)
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】A
【解析】取AB的中点D,连接CD,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,可得A(1,0,0),A(1,0,3),故 =(0,0,3),而B(-1,0,3),C (0, ,3),设平面ABC 的法向量为m=(a,b,c),
1 ⃗A A 1 1 √3 1 1
1
根据m· ⃗AB =0,m· ⃗AC =0,解得m=(3,- √3 ,2),cos= m·⃗A A 1 = 1.故AA 1 与平面AB 1 C 1 所成角
1 1 1 |m||⃗A A | 2
1
的大小为30°,故选A.
4．（2020·浙江省高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱 中， 是棱 的中点，记
直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，直三棱柱 的底面为锐角三角形， 是棱 的中点，
设三棱柱 是棱长为 的正三棱柱，以 为原点，在平面 中，过 作 的垂线为 轴，
为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，， ， 直线 与直线 所成的角为 ， ，
， 直线 与平面 所成的角为 ， ，
平面 的法向量 ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得
， 二面角 的平面角为 ，由图可知， 为锐角，即 ，
， ，由于 在区间 上单调递减，
，则 .故选：A.
5．（多选题）（2020江西宜春二中高二月考）正三棱柱 中， ，则（ ）
A． 与底面 的成角的正弦值为
B． 与底面 的成角的正弦值为
C． 与侧面 的成角的正弦值为D． 与侧面 的成角的正弦值为
【答案】BC
【解析】如图，取 中点 ， 中点 ，并连接 ，则 ， ， 三条直线两两垂直，
则分别以这三条直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系；设 ；
则 ； ， ， ， ，1， ， ， ， ， ，1， ； ，0，
， ．底面 的其中一个法向量为： ， 与底面 的成角
的正弦值为 ，； 错 对．
的中点 的坐标为 ， ， ； 侧面 的其中一个法向量为： ；
与侧面 的成角的正弦值为： ，；故 对
错；故选： ．
6．（多选题）（2020·江苏镇江二中高二期末）如图，已知四棱锥 中， 平面 ，底
面 为矩形， ， .若在直线 上存在两个不同点 ，使得直线 与平面 所成角都为 .则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】假设在直线BC上有一点Q，使得直线PQ与平面ABCD所成角为 ，此时，易得 ，
在 中，由于 ，可得 .所以，在直线BC上存在两个不同点Q，使得直线PQ与
平面ABCD所成角都为 ，等价于在直线BC上有两个点到点A的距离为 ，由此可得 .故
选：ABC
二、填空题
7．（2020全国高二课时练）在直三棱柱 中,若 ，则异面直
线 与 所成的角等于_________.
【答案】
【解析】 三棱柱 为直三棱柱,且 以点 为坐标原点，分别以 ， ，为 轴建立空间直角坐标系设 ，则
, , , ， ，
又 异面直线所成的角在 异面直线 与 所成的角等于 ．
8.已知正方形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD,若 PA=PB,则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为
_________.
【答案】
【解析】如图所示,建立空间直角坐标系.
设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),∴⃗AD=(0,1,0).取PD的中点E,则E ( 0, 1 , 1) ,∴⃗AE= ( 0, 1 , 1) ,
2 2 2 2
√2
易知⃗AD是平面PAB的一个法向量,⃗AE是平面PCD的一个法向量,所以cos<⃗AD,⃗AE>= ,故平面PAB与
2
平面PCD的夹角为45°.
9．（2020·浙江省绍兴市阳明中学高二期中）如图，在底面边长均为2，高为1的长方体
中，E、F分别为 、 的中点，则异面直线 、 所成角的大小为_______；
A B C D
平面 与平面 1 1 1 1所成锐二面角的余弦值为__________.【答案】 ；
【解析】以D为原点建立如图所示空间之间坐标系：
则 ，所以 ，
设异面直线 、 所成角的大小为 ，所以 ，
因为 ，所以 .又 ，设平面 的一个法向量为： ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
A B C D A B C D
平面 1 1 1 1一个法向量为： ，设平面 与平面 1 1 1 1所成锐二面角为 ，
所以 .故答案为：① ；②
10．（2020河北正定三中学校高二月考（理））设动点 在棱长为1的正方体 的对角线 上，记 .当 为锐角时， 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，由 得
，则 ，因为 为锐角，所以
，解得 或 ，又因为动点 在
棱长为1的正方体 的对角线 上，所以 的取值范围为 .
三、解答题
11.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.
(1)求SC与平面ASD所成角的余弦值;
(2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值.
【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S(0,0,2),C(2,2,0),D(1,0,0),⃗SC=(2,2,-2),∵AB⊥平面SAD,故平
面 ASD 的一个法向量为⃗AB=(0,2,0),设 SC 与平面 ASD 所成的角为 θ,则 sin θ=|cos<⃗SC,⃗AB>|=|⃗SC·⃗AB| √3 √6 √6
= ,故cos θ= ,即SC与平面ASD所成角的余弦值为 .
|⃗SC||⃗AB| 3 3 3
(2)平面 SAB 的一个法向量为 m=(1,0,0),∵⃗SC=(2,2,-2),⃗SD=(1,0,-2),设平面 SCD 的一个法向量为
n=(x,y,z),由{⃗SC·n=0, {x+ y-z=0,令z=1可得平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),设平面SAB和
⇒
⃗SD·n=0 x-2z=0,
|m·n| √6 √6
平面SCD的夹角为α,则cos α= = ,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为 .
|m||n| 3 3
12.（2020四川南充一中高二月考）如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PBC⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四
π
边形,且∠BCD= ,PD⊥BC.
4
(1)求证:PC=PD;
π
(2)若底面ABCD是菱形,PA与平面ABCD所成的角为 ,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值.
6
【解析】(1)如图①,过P作PE⊥BC,垂足为E,连接DE.
图①
因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PE⊥平面ABCD.
因为PD⊥BC,所以BC⊥平面PDE,所以DE⊥BC.
π
因为∠BCD= ,所以DE=CE.在△PED和△PEC中,
4PE=PE,∠PED=∠PEC=90°,DE=CE,
所以△PED≌△PEC,所以PD=PC.
(2)因为BC⊥平面PDE,PE⊥平面ABCD,所以∠PAE是直线PA与平面ABCD所成的角,
π
即∠PAE= ,且DE⊥BC,DE⊥PE.
6
设PE=a,则AE=√3a,PA=2a.在△DEC中,设DE=m,
则EC=m,DC=√2m,
所以在Rt△EDA中,(√3a)2=m2+(√2m)2,所以m=a.
以E为坐标原点,ED,EB,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系,
图②
则D(a,0,0),A(a,√2a,0),P(0,0,a),则平面PBC的一个法向量为a=(1,0,0).
设平面PAD的一个法向量为b=(x,y,z),因为⃗AP=(-a,-√2a,a),⃗AD=(0,-√2a,0),
所以{-√2ay=0, 取x=1,则b=(1,0,1).
-ax-√2ay+az=0,
设平面PAD与平面PBC的夹角为θ,
|b·a| 1 √2
则cos θ= = = ,
|b||a| √2 2
√2
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 .
2
