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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -B提高练
一、选择题
1．（2020台州市书生中学高二期末）在棱长为3的正方体 中， 为线段 中点，
为线段 上靠近 的三等分点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图建立空间直角坐标系，则知 ， ， ， ，
所以 ， ，所以 .
2．（2020山东莱芜市一中高二月考）在棱长为1的正方体 中，点 为棱 的中点，
则直线 与平面 所成角的正弦值是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， 设平面 的法向量为
则 令 可得 ，所以
设直线 与平面 所成角为 ， ，故选：B
3．（2020四川省绵阳南山中学高二）如图所示，在正方体 中，点E为线段 的中点，
点F在线段 上移动，异面直线 与 所成角最小时，其余弦值为（ ）A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
在正方体 中, 点E为线段 的中点，设正方体棱长为2，
则 ， ,
设 ， ，设异面直线 与 的夹角为 ，
则 ,异面直线 与 所成角最小时，
则 最大，即 时， .故选：C.
4．（2020浙江衢州二中高二理）正三棱锥 中， ，M为棱PA上的动点，令 为BM与AC所成的角， 为BM与底面ABC所成的角， 为二面角 所成的角，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设正三棱锥 的底面边长为6，高为 ，如图所示建立空间直角坐标系，不妨令 为
的中点，
则 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，所以
，过 作 交 于点 ，所以
， 即为BM与底面ABC所成的角，所以 ，所以 ，所以
显然面 的法向量可为 ，设面 的法向量为 ，所以 令
，则 ， ，即 ，所以 ，当
时， ；当 时， ；当 时， ，故CD
不成立；故选：B
5．（多选题）（2020福建三明一中高二期末）正方体 中，E、F、G、H分别为 、
BC、CD、BB、 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面 平面
C． 面AEF D．二面角 的大小为
【答案】BC
【解析】解：由题可知， 在底面上的射影为 ，而 不垂直 ，则 不垂直于 ，则选项不正确；连接 和 ，E、F、G、H分别为 、BC、CD、BB、 的中点，
可知 ，所以 平面 ，则平面 平面 ，所以选项
正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，
则各点坐标如下：
，设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，得平面 的法向量为 ，所以
，所以 平面 ，则 选项正确；由图可知， 平面 ，所以 是平面
的法向量，则 .得知二面角 的大小不是 ，所以 不正
确.故选：BC.
6.（多选题）（2020苏州大学附中学高二月考）如图，在棱长为1的正方体 中，
分别为棱 的中点. 为面对角线 上任一点，则下列说法正确的是（ ）A．平面 内存在直线与 平行
B．平面 截正方体 所得截面面积为
C．直线 和 所成角可能为60°
D．直线 和 所成角可能为30°
【答案】BC
【解析】对于选项A，在正方体 中， ，在平面 中，直线 相
交，所以直线 与平面 相交，故直线 与平面 相交，则平面 不存在直线与 平
行，所以选项A错误；对于选项B，连接 分别为棱 的中点，
所以 ，在正方体 中， ，所以 ，连
，则梯形 为所求的截面， ，所以等腰梯形 的高为
，所以梯形 的面积为 ，选项B
正确；对于选项C,D，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，，设 ，
， ，
，令
， ，
， ，而 ，
直线 和 所成角可能为60°，但不可能为30°，选项C正确，选项D错误.故选：BC.
二、填空题
7．（2020·山东省高二期末）如图，在直三棱柱 中， ， ，
则异面直线 与 所成角为______；二面角 的余弦值是______.【答案】 ；
【解析】解：直三棱柱 中， ， ， ，
如图以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， , ， ，
, ， ，
所以异面直线 与 所成角为 ；设平面 的法向量为
则 即 令 ，则
显然平面 的一个法向量为 ，
故二面角 的余弦值是 故答案为： ；
8.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy的夹角为45°,则
a= .12
【答案】 .
5
{-3x+4 y=0,
【解析】平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),设平面α的一个法向量为m=(x,y,z),则
-3x+az=0,
1 √2
=
即3x=4y=az,取z=1,则x=a,y=a,∴m=(a a ).由题意得|cos|= .
, ,1 √a2 a2 2
3 4 3 4 + +1
9 16
12
又因为a>0,所以a= .
5
9．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））如图，在正四棱柱 中，底面边长为
2，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为_____．
【答案】4
【解析】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，设 ，则 ， ， ，故 ， ，
，设平面 的一个法向量为 ，则 ，可取
，故 ，又直线 与平面 所成角的正弦值为 ， ，解得 ．
10．（2020江西上饶中学高二期中）如图，在四面体 中， ，
.若 为线段 上的动点（不包含端点），则二面角 的余弦值取值范围是
__________．
【答案】
【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，则
，令 ，所以平面 的一个法向量为
，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即二面角的余弦值的取值范围是 .
三、解答题
11．（2020·江苏省西亭高级中学高二）如图，在以 为顶点的五面体中，四边形 为
正方形， ， ， .
（1）求异面直线BC，DF所成角的大小；
（2）求二面角 的余弦值.
【解析】因为四边形 为正方形， 所以 平面
又 所以，在平面 内作 ，垂足为点O，
以O为坐标原点，OF所在的直线为x轴，OD所在的直线为z轴建立空间直角坐
标系（如图所示）.设OF=a，因为 所以（1）点D的坐标为 ，点F的坐标为 ，点B的坐标为
点C的坐标为 .则 ，
设向量 的夹角为 ，则 ，所以异面直线BC，DF所成角为
（3）点E的坐标为 ，
设平面DBE的法向量为 ，由 得 ，取 得平面DBE的一个法向量
为 ，设平面CBE的法向量为 ，由 得 ，取 得平
面DBE的一个法向量为 ，
设两个法向量 的夹角为 ，则
由于二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=√2,BC=2√2,PA=2.
(1)取PC的中点N,求证:DN∥平面PAB.
(2)求直线AC与PD所成角的余弦值.
(3)在线段PD上,是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°?如果存在,求出BM与平面MAC
所成角的大小;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2).∵点N为PC的中点,∴N(0,0,1),∴⃗DN=(1,0,1).
设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),由⃗AP=(0,0,2),⃗AB=(2,0,0),
可得n=(0,1,0),∴⃗DN·n=0.
又∵DN⊄平面PAB,∴DN∥平面PAB.
(2)由(1)知 =(0,2,0), =(-1,1,-2).设直线AC与PD所成的角为θ,则cos θ=| 2 | √6.
⃗AC ⃗PD =
2·√6 6
(3)存在.设M(x,y,z),且⃗PM=λ⃗PD,0<λ<1,
{
x=-λ,
∴ y+1=λ, ∴M(-λ,λ-1,2-2λ).
z-2=-2λ,
设平面ACM的一个法向量为m=(x,y,z),由⃗AC=(0,2,0),⃗AM=(-λ,λ,2-2λ),可得m=(2-2λ,0,λ),
由图知平面ACD的一个法向量为n=(0,0,1),∴|os|= λ √2,
=
1·√λ2+(2-2λ)2 2
2 ( 2 1 2) ( 8 2 2) (2 2)
解得λ= 或λ=2(舍去).∴M - ,- , ,∴⃗BM= - , , ,m= ,0, .
3 3 3 3 3 3 3 3 3
设BM与平面MAC所成的角为φ,
| 12 |
则sin φ=|cos< ,m>|= 9 1,∴φ=30°.
⃗BM - =
2√2 2
×2√2
3
故存在点M,使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°,此时BM与平面MAC所成的角为30°.
