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1.4.2 空间向量应用（二）
【题组一 空间向量求线线角】
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形 ，
将平行四边形 沿对角线 折起，使平面 平面 ，则直线 与 所成角余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·湖北武汉。月考）如图，直四棱柱 的底面是菱形， ，
，M是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．3．（2019·绍兴鲁迅中学高二期中）如图，长方体 中， ， ， 、
、 分别是 、 、 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
4．（2019·浙江湖州.高二期中）在正方体 中，异面直线 与 所成的角为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·武汉外国语学校高一月考）如图，正三棱锥 的侧棱长为3，底面边长为2，则 与
所成角的余弦值为______.【题组二 空间向量求线面角】
1．（2020·江苏高二）如图，在三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分别为AB，PB中点，
PD⊥平面ABC，PD=3.
(1)求直线CE与直线PA夹角的余弦值；
(2)求直线PC与平面DEC夹角的正弦值.
2．（2020·沙坪坝.重庆八中）如图，四棱台 中，底面 是菱形， 底面
，且 60°， ， 是棱 的中点.
（1）求证： ；（2）求直线 与平面 所成线面角的正弦值.
3．（2020·浙江金华.高二期末）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ，
且平面 平面 ， ， 分别为线段 、 的中点.
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
4（2020·浙江瓯海.温州中学高二期末）如图，已知三棱锥 ， ， 是边长为2的
正三角形， ， ，点F为线段AP的中点．（Ⅰ）证明： 平面ABC；
（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．
5．（2020·甘肃城关.兰大附中）如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角
梯形， ， ∥ ， ， ， ， ， 分别为线段 ， ，
的中点．
（1）证明：平面 ∥平面 ．
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【题组三 空间向量求二面角】1．（2020·全国）如图，在四棱锥 中，底面 为边长为3的正方形， ，
，平面 平面 ， 为 的中点， 为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值．
2．（2020·全国）已知三棱柱 中，侧面 是矩形， 是 的菱形，且平
面 平面 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值.3．（2020·全国高三其他（理））如图1，平面四边形 中， 和 均为边长为 的等
边三角形，现沿 将 折起，使 ，如图2.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
4．（2020·全国）如图1，等腰梯形 中， ， ， 为 的中点，对角线
平分 ，将 沿 折起到如图2中 的位置.
（1）求证： .
（2）若二面角 为直二面角， 为线段 上的点，且二面角 与二面角大小相等，求出 的值.
【题组四 空间向量求距离】
1．已知正方体ABCD AB C D 的棱长为2，点E是AB 的中点，则点A到直线BE的距离是( )
1 1 1 1 1 1
A． B．
C． D．
2．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中， ， ， 是 的中点.（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 到平面 的距离.
3．（2020·全国高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，∠ABC=90°，BC=2，CC =4，点E在棱
1 1 1 1
BB 上，EB=1，D，F，G分别为CC ，BC ，AC 的中点，EF与BD相交于点H.
1 1 1 1 1 1 1 1（1）求证：BD⊥平面ABD；
1
（2）求证：平面EGF∥平面ABD；
（3）求平面EGF与平面ABD的距离.
4．（2020·全国高二课时练习）在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，平面 平面
， ， ， 分别为 ， 的中点，如图所示.求点 到平面 的距离.5．（2020·江苏常熟.高二期中）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，
， ， 是 上一点，且 .
（1）求异面直线 与 所成角余弦的大小；
（2）求点 到平面 的距离.
6．（2020·安徽）如图，边长为 的等边 所在平面与菱形 所在平面互相垂直，， 为线段 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离.
7.（2020·福建）如图，四棱锥 中，底面ABCD为矩形，点E在PA线段上，PC 平面BDE
（1）请确定点E的位置；并说明理由.
（2）若 是等边三角形， ， 平面PAD 平面ABCD，四棱锥 的体积为 ，
求点E到平面PCD的距离.
