文档内容
1.5 全称量词与存在量词
【本节明细表】
知识点、方法 题号
全称量词命题与存在量词命题的辨析 1,2,3,
全称量词命题与存在量词命题的真假判断 7,8,10
全称量词命题与存在量词命题的否定 4,8,9
全称量词命题与存在量词命题的综合应用 5,6,11,12,13
基础巩固
1.下列命题中是存在量词命题的是( )
A.所有的奇函数的图象都关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.空间中不相交的两条直线相互平行
D.存在大于等于9的实数
【答案】D
【解析】A,B,C选项中的命题都是全称量词命题,D选项中的命题是存在量词命题.
2.“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( )
A.∃x
0
∈R,f(x
0
)>0
B.∃x
0
∈R,f(x
0
)≤0
C.∀x∈R,f(x)>0
D.∀x∈R,f(x)≤0
【答案】A
【解析】该命题是存在量词命题,等价于“∃x
0
∈R,f(x
0
)>0”.
3.下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两边平行;③存在一个菱形,它的四条边不相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】①②都是全称量词命题, ③为存在量词命题，故选C.
4.命题“∃x∈R,使得x+1<0”的否定是( )
A.∀x∈R,均有x+1<0
B.∀x∈R,均有x+1≥0C.∃x∈R,使得x+1≥0
D.∃x∈R,使得x+1=0
【答案】B
【解析】命题“∃x∈R,使得x+1<0”的否定是∀x∈R,均有x+1≥0，故选B.
5.已知命题p:∀x>3,x>m成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≤3 B.m≥3 C.m<3 D.m>3
【答案】A
【解析】对任意x>3,x>m恒成立,即大于3的数恒大于m,所以m≤3.
6.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是 .
【答案】存在k>0,使得方程x2+x-k=0无实根
0 0
【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题,故原命题的否定是“存在k>0,使得方程x2+x-k=0无实
0 0
根”.
7.下列存在量词命题是真命题是 .(填序号)
①有些不相似的三角形面积相等;②存在实数x,使 +x+1<0;③存在实数a,使函数y=ax+b的值随x的增大
0 x2 0
0
而增大;④有一个实数的倒数是它本身.
【答案】①③④
【解析】①是真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积就相等,但不一定相似;②中对任意
x∈R,x2+x+1= ( x+ 1) 2 + 3 >0,所以不存在实数x,使x2 +x+1<0,故②是假命题;③中当实数a大于0时,结论
2 4 0 0 0
成立,是真命题;④中如1的倒数是它本身,是真命题,故选①③④.
8.写出下列命题的否定并判断真假:
(1)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除;
(2)某些梯形的对角线互相平分;
(3)被8整除的数能被4整除.
【答案】见解析
【解析】(1)命题的否定是:存在末位数字是0或5的整数不能被5整除,是假命题.
(2)命题的否定:任意梯形的对角线都不互相平分,是真命题.
(3)命题的否定:存在一个数能被8整除,但不能被4整除,是假命题.
能力提升
9.命题“∀x∈R,∃n
0
∈N*,使得n
0
≥2x+1”的否定形式是( )A.∀x∈R,∃n
0
∈N*,使得n
0
<2x+1
B.∀x∈R,∀n
0
∈N*,使得n
0
<2x+1
C.∃x
0
∈R,∃n∈N*,使得n<2x
0
+1
D.∃x
0
∈R,∀n∈N*,使得n<2x
0
+1
【答案】D
【解析】由题意可知,全称量词命题“∀x∈R,∃n
0
∈N*,使得 n
0
≥2x+1”的否定形式为存在量词命题
“∃x
0
∈R,∀n∈N*,使得n<2x
0
+1”,故选D.
10.已知下列四个命题:①∀x∈R,2x2-3x+4>0;②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0;③∃x
0
∈N,
使x2
≤x
0
;④∃x
0
∈N*,使
0
x 为29的约数.其中真命题的个数为( )
0
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】②中，当x=-1时，2x+1<0,所以②为假命题，其它为真命题。
11.若命题“∃x∈R,2x2-3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围是 .
【答案】-2√2≤a≤2√2
【解析】由题意可知,2x2-3ax+9≥0对一切x∈R恒成立,因此(-3a)2-72≤0,解得-2√2≤a≤2√2.
12.对任意实数x,不等式2x>m(x2+1)恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】见解析
【解析】不等式2x>m(x2+1)对任意x都成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立.
(1)当m=0时,不等式化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意.
(2)当m≠0时,要使mx2-2x+m<0恒成立,
{ m<0, ,得m<-1.
则 解之
(-2)2-4m2<0,
综上可知,所求实数m的取值范围为m<-1.
素养达成
13.已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:∃x
0
∈R,a
x2
-2ax
0
-3>0不成立,若p假q真,求实数a的
0
取值范围.
【答案】见解析
【解析】因为命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,所以命题p:∃x
0
∈R,
x2
+(a-1)x
0
+1<0是真命题,
0
则Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,
故a-1<-2或a-1>2,即a<-1或a>3.
因为命题q:∃x
0
∈R,a
x2
-2ax
0
-3>0不成立,所以命题q:∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,
0
当a=0时,-3<0成立;
当a<0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.
综上所述,-3≤a<-1.
所以实数a的取值范围是[-3,-1).
