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2.2 基本不等式
1. 利用基本不等式比较大小；2. 变形技巧：“1”的代换；3. 证明不等式；4. 不等式的证明技巧—字
母轮换不等式的证法；5. 求参数的取值范围问题；6.求最大（小）值；7.均值不等式在实际问题中的应
用
一、单选题
1．（2021·浙江高一单元测试）若 ，则下列结论中不恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高一课时练习）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·黑龙江南岗·哈师大附中高一期末）已知x，y＞0且x+4y=1，则 的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2021·浙江高一单元测试）如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每
辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N）为二次函数关系，若使营运的年平均利润
最大，则每辆客车应营运（ ）
A．3年 B．4年
C．5年 D．6年5．（2021·浙江鄞州·宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数 ， ， ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高三课时练习（理））已知关于x的不等式 在 上恒成立，则实
数a的最小值为 （ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2021·广西兴宁·南宁三中高一期末）已知 ， ， ，且 ， ，则
的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2021·皇姑·辽宁实验中学高三其他（文））已知实数 满足 ，则 的最大值
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2021·河南高二期末（理））设 为任意正数．则 这三个数（ ）
A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2
10．（2021·浙江金华·高一期末）已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题
11．（2021·浙江高一单元测试）已知函数 ，则该函数的（ ）．
A．最小值为3 B．最大值为3C．没有最小值 D．最大值为
12．（2021·海南高二期末）已知实数 、 满足 ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·山东德州·高三二模）若正实数a，b满足 则下列说法正确的是（ ）
A．ab有最大值 B． 有最大值
C． 有最小值2 D． 有最大值
14．（2021·山东泰山·泰安一中高一期中）设 ， ，给出下列不等式恒成立的是（ ）.
A． B．
C． D．
三、填空题
15．（2021·浙江高一单元测试）已知 ，则 的最小值为______．
16．（2021·全国高一）若 ，则“ ”是 “ ”的_____条件
17．（2021·全国高一）若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为______．
四、双空题
18．（2021·全国高一课时练习）若 ，则 的最小值是______，此时 ______.
19．（2021·浙江鄞州·宁波诺丁汉附中高一期中）用一根长为 的铝合金条做成一个“目”字形窗户
的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________ ；高为________ .
20．（2021·浙江金华·高一期中）已知正数a，b满足a+b=1，则 的最小值等于__________ ，此时a=____________.
21．（2017·北京人大附中高一期中）已知正数 、 满足 ，则：
（1） 的最小值为________．
（2）若 恒成立，则实数 的取值范围是______．
五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）已知a，b，c为任意实数，求证： ．
23．（2021·全国）设 ， ， 都是正数，求证： ．
24．（2021·全国高一课时练习）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证： .
25．（2021·全国高一课时练习）用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少
时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
4
26．（2021·浙江高一单元测试）(1)已知x>3，求y=x+ 的最小值，并求取到最小值时x的值；
x-3
x y
(2)已知x>0，y>0， + =2，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．
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27．（2021·浙江高一单元测试）已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数m
的取值范围．
