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2.2 基本不等式
【本节明细表】
知识点、方法 题号
基本不等式直接应用 1,2,3,5
利用基本不等式求最值 7,8,9,10,11
利用基本不等式解决实际问题 4,12,13
基础巩固
1．若 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵ （当且仅当n＝3时等号成立）故选：C．
2．已知 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，所以有 ，当且仅当
时取等号，故本题选D.
3．若实数 ， 满足 ，则 的最小值为______．
【答案】4
【解析】因为 ，
所以 ，当 时取“ ”，
所以 的最小值为4，故答案为4.4．用篱笆围一个面积为 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱
笆是（ ）
A．30 B．36 C．40 D．50
【答案】C
【解析】设矩形的长为 ，则宽为 ，设所用篱笆的长为 ，所以有 ，根据
基本不等式可知： ，（当且仅当 时，等号成立，即
时，取等号）故本题选C.
5．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
【答案】C
【解析】∵ ， ， ，∴ ，当
且仅当
时，即 时取“ ”.故答案选C
6．若 ，则“ ”是 “ ”的_____条件
【答案】充分不必要
【解析】当 时，由基本不等式，可得 ，
当 时，有 ，解得 ，充分性是成立的；例如：当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要条件.
7．已知 ，则 的最小值是_______.
【答案】3
【解析】因为 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）.
8．已知正实数 满足 ，则 的最小值为__________．
【答案】6
【解析】由题得 ,
所以 ，所以 ，
所以x+y≥6或x+y≤-2(舍去)，所以x+y的最小值为6.
当且仅当x=y=3时取等.故答案为：6
9．（I）证明： ；
（II）正数 ， 满足 ，求 的最小值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）证明：要证 ，只需证 ，
即证 .由于 ，所以 成立，即 成立.
（Ⅱ）解：
当 ，即 ， 时， 取最小值 .
能力提升
10．若 ，且 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 .
由题意可得 ，即 ，解得 或 .
因此，实数 的取值范围是 ，故选：B.
11．下列命题中：
①若 ，则 的最大值为 ；②当 时， ；
③ 的最小值为 ； ④当且仅当 均为正数时， 恒成立.
其中是真命题的是__________．(填上所有真命题的序号)
【答案】①②
【解析】①若 ，则 的最大值为
，正确
②当 时，
， 时等号成立，正确
③ 的最小值为 ，
取 错误
④当且仅当 均为正数时， 恒成立
均为负数时也成立.
故答案为① ②
12．已知A、B两地的距离是100km，按交通法规定，A、B两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h，假
设汽油的价格是7元/L，汽车的耗油率为 ，司机每小时的工资是70元（设汽车为匀速行
驶），那么最经济的车速是多少？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少？
【答案】80,280
【解析】设总费用为则
当 时等号成立，满足条件
故最经济的车速是 ，总费用为280.
素养达成
13．某单位修建一个长方形无盖蓄水池，其容积为 立方米，深度为 米，池底每平方米的造价为
元，池壁每平方米的造价为 元，设池底长方形的长为 米.
（1）用含 的表达式表示池壁面积 ；
（2）当 为多少米时，水池的总造价最低，最低造价是多少？
【答案】（1） ；（2）当 米时，最低造价是 元.
【解析】（1）由题意得：池底面积为 平方米，池底长方形的宽为 米
（2）设总造价为 元，则：
化简得：
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号
即当 米时，最低造价是 元
