专题01五大类解三角形题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（解析版）_2024年4月_01按日期_16号

专题 01 五大类解三角形题型-2024 年高考数学大题秒杀技巧 及专项训练（解析版） 【题型1 三角形周长定值及最值】 【题型2 三角形涉及长度最值问题】 【题型3 三角形涉及中线长问题】 【题型4 三角形涉及角平分线问题】 【题型5 三角形面积最值问题】 三角形周长定值及最值 ：已知一角与两边乘积模型 第一步：求两边乘积 第二步：利用余弦定理求出两边之和 ：已知一角与三角等量模型 第一步：求三角各自的大小 第二步：利用正弦定理求出三边的长度 最值步骤如下： 第一步：先表示出周长 l=a+b+c a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 第二步：利用正弦定理 将边化为角 第三步：多角化一角+辅助角公式，转化为三角函数求最值 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求 的周长． 解：（Ⅰ）由已知得 ， ， ，∵ ，∴ ， ， ，∴ ，∴ ． （Ⅱ）第一步：求两边乘积 又 第二步：利用余弦定理求出两边之和 ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 为等边三角形．故三 角形的周长为 ． 在 中，角 的对边分别为 ， . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的周长. 解：（1）求角 根据 ，可得 所以 .又因为 ，所以 . （2）第一步：求三角各自的大小 ， ，所以 ， ， 第二步：利用正弦定理求出三边的长度 因为 ，所以 ， ，则 的周长为 . 在 中,角 的对边分别为 . (1)求 ; (2)若 ,且 ,求 的周长. 解：⑴因为 ，所以 .又 ，解得 .又 ， 为锐角，所以 . ⑵第一步：求两边乘积因为 ，又 ，所以 或者 ， 第二步：利用余弦定理求出两边之和 ，即 ，所以周长为 . 在 中， ，且 （1）求 ； （2）若 ，求 的周长. 解：（1）在 中，则 ， ， ， ， ， ， ， 由正弦定理得， ， . （2）第一步：求两边乘积 由（1）得， ， ， ， ， ， 第二步：利用余弦定理求出两边之和 在 中，由余弦定理得， ， 又 ， ，解得 （负值舍去），故 . 1．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ． (1)证明： 是锐角三角形； (2)若 ，求 的周长．【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1） ， 由正弦定理得 ， 整理得 ． 由余弦定理得 ． ， ． ， ， ， ， 均小于 ， 是锐角三角形． （2） ， ， 又 ， ， 在 中，由正弦定理得 ， 即 ， ， ， 的周长为 ． 2． 的内角 的对边分别为 ． (1)求 ； (2)若 ，求 的周长最小值． 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ， 整理得 ， 由余弦定理知 ， 且 ，所以 ．（2）由（1）可知： ，整理得 ， 且 ，当且仅当 时，等号成立， 则 ，即 ，可得 ， 所以 的周长最小值 . 3．已知函数 的最小正周期为 ． (1)求 的值； (2)已知 分别为 中角 的对边，且满足 ，求 的周长 的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因为 最小正周期为 ，所以 ，解得 ， 所以 ，所以 ． （2）由 得 ， 由余弦定理有 ， 即 （当且仅当 时取“=”）， 故 ，即 为等边三角形时，周长有最大值 4． 的内角A， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 . (1)求 ； (2)若 ， 的面积为 ，求 的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以由正弦定理可得 . 又 ，所以 .因为 ，所以 ； （2） 的面积 ，则 . 由余弦定理： ， 得 ， 所以 ， 故 的周长为 . 5．在锐角 中， ， ， (1)求角A； (2)求 的周长l的范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵ ， ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， ，所以 . （2） ，所以 , 所以 ， ， 所以 , 因为 是锐角三角形，且 ， 所以 ，解得 ， 所以 ，所以 ，所以 . 6．记 的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ． (1)求a； (2)若 ，求 的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 所以 ， 又 ， ，所以 ， 根据正弦定理可得 ，所以 ． （2）解法一：因为 ， ， 所以由余弦定理可得 ，即 ． 因为 ，所以 ， 所以 ，当且仅当 时，取到最值 又 ，所以 ，即 周长l的取值范围为 ． 解法二：由正弦定理知， ， 所以 ， ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 , ， 所以 , ，所以 , ， 故 的周长 的取值范围为 , ． 7．设 的内角 所对边分别为 ，若 ． (1)求 的值;(2)若 且三个内角中最大角是最小角的两倍，当 周长取最小值时，求 的面积． 【答案】(1)2(2) 【详解】（1）因为 ，所以 ，因为 ， 所以 ， 所以 ，由正弦定理 ，得 ，即 ． （2）由 可得： ，故 ，于是 ， 由正弦定理 及余弦定理 可得： ， 解得： (舍)或者 ，故 ， 因为 ，所以当 时，周长最小，此时 ， 所以 ，所以 的面积为 ． 8．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为 ，可得 ， 即 ，即 ，所以 ， 又因为 ，所以 . （2）解：由正弦定理 ，可得 ， 所以三角形的周长 ， 因为 ，可得 ，所以 ， 因为 ，可得 ，所以 ， 所以 ，故 的周长的取值范围为 . 三角形涉及长度最值问题 解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长 常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制， 通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值 在 中，角 所对的边分别为 .若 . (1)求 ； (2)若 为锐角三角形，求 的取值范围. 破解： （1）第一步：因为 ，整理得 ， 所以 ， 第二步：由正弦定理得： ， 因为 ，所以 ，所以 . （2）第一步：因为 为锐角三角形， ，所以 ，且 ， 所以 ，第二步：解法 ， 因为 ，所以 ， 第三步：所以 ， 即 的取值范围是 . 第一步：解法 ， 因为 ，所以 ，得 ， 第二步：所以 ， 即 的取值范围是 . 在 中，已知 ，且 . (1)试确定 的形状； (2)求 的值． 破解：（1）第一步：在 中，设其外接圆半径为R， 根据正弦定理得， ， 代入 ，得 ，所以 ①，第二步：因为 ，所以 ， 所以 ， 由正弦定理，得 ，所以 ②， 把②代入①得， ，即 ， 所以 是直角三角形； （2）第一步：由（1）知 ，即 ，所以 ， 第二步：又 ，所以 ，所以 . 已知函数 .在锐角 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 . (1)求A的值； (2)若 ，求 的取值范围. 破解：（1）第一步： . 由 ，即 . 第二步： 为锐角三角形， ， . . （2）第一步：由正弦定理， . ， . 第二步： ，. 第三步： 是锐角三角形，，且 . ， ， ， . . . 综上， 的取值范围为 . 在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为 (1)求角A的大小； (2)当 时，求 的取值范围. 破解：（1）第一步：由正弦定理得： ， 所以 ，即 ， 第二步：因为 ，所以 ，又 ，所以 （2）第一步： ， ，由正弦定理 ， 所以 ， 第二步：因为 为锐角三角形，所以 ，则 ， 所以 ，所以 已知 为锐角三角形，角 的对边分别为 ，且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 的取值范围.破解：（1）第一步：在 中，由余弦定理得， ， 所以 ，所以 ， 第二步：又因为 为锐角三角形，所以 ，所以 . （2）第一步：在 中，由正弦定理得， ， 所以 ， 第二步：因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ， 所以 ，则 ， 所以 的取值范围为 . 1．在锐角三角形 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． (1)求角B的值； (2)若 ，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理边化角可得 ， 所以 ，又 ， 所以 ，又 为锐角， 则 ；（2）由正弦定理 ， 则 ， 所以 ， ， 因为在锐角三角形 中 ，得 ， 所以 ， 则 ， 所以 的取值范围为 . 2．已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 ． (1)求角 的大小； (2)已知 是 的中线，求 的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因 ，由正弦定理， ， 由余弦定理， ，又 代入化简得 ，因 ，则 （2）因 是 的中线，故 ,两边平方可得： ， 即 ，由（1）知 ，则 ， 又因 ，即 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，即 . 故当 时， 的最小值为 . 3．在锐角 中，已知 . (1)求 ； (2)求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 根据正弦定理可得， 则 ，展开可得2cosBsinCsinC 0，  π 1  π π C0, ,sinC 0,cosB , B0, ,B .  2 2  2 3 a c b 2 3    4 （2）由正弦定理sinA sinC sinB 3 ， 2  2  则3a2c12sinA8sinC43sinA2sinC4  3sinA2sin πA  3  3 4  π 4  4sinA 3cosA  4 19sinA ，其中sin 19 ,cos 19 ,  0, 2   ， π π π π 是锐角三角形，  A ，  A . ABC 6 2 6 2 π  π π 7 π  4 sin sin coscos sin ，sin cos ， 6  6 6 2 19 2  19 7 4 π 显然 2 19  19 ，当A 2 时，3a2c 4 19 ， max  3a2c 14,4 19 . (cid:5)   4．已知在锐角三角形 ABC中，边 a ，b，c对应角A,B,C，向量m 2cosA, 3 ， (cid:5)   π  nsinA ,cos2A，且(cid:5) 与(cid:5)垂直， ．   3  m n c2 (1)求角A； (2)求ab的取值范围． π   【答案】(1) (2) 1 3,2 3 6 (cid:5) (cid:5) 【详解】（1）因为m与n垂直，(cid:5)(cid:5)      π   π 所以mn 2cosA, 3 sinA ,cos2A2cosAsinA  3cos2A0，   3   3 1 3  即2cosA sinA cosA 3cos2AcosAsinA 3cos2A 3cos2A0，   2 2   1 3 即 sin2A 1+cos2A 3cos2A0， 2 2 1 3 3 即 sin2A cos2A ， 2 2 2  π 3 即sin2A  ，又0A π ，所以π 2A π  4π，  3 2 2 3 3 3 π 2π π 所以2A  ，即A ； 3 3 6 a b c （2）由正弦定理   得 sinA sinB sinC π π  2sin 2sin C csinA csinB 6 6  1cosC 3sinC ab    sinC sinC sinC sinC C C 2cos2 cos 1cosC 2 2 1   3  3  3  3， sinC C C C C 2sin cos sin tan 2 2 2 2  π π 0πC    6 2 根据三角形 是锐角三角形得 ， π 0C ABC  2 π π π C π 3 C 解得 C ，则   ，所以 tan 1， 3 2 6 2 4 3 2 1 1 1  3 1 3  32 3 所以 C ，则 C ， tan tan 2 2   则ab的取值范围为 1 3,2 3 . 5．记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知 3asinBbcosAb. (1)求A； (2)若a2，求b2c的范围. π 【答案】(1)A (2)4,2 3 【详解】（1）由正弦定理得， 3sinAsinBsinBcosAsinB， π 1 因为 B0,π，所以 sinB0 ，所以 3sinAcosA1 ，则sin  A 6    2 ， π  π 5π 因为 A0,π，所以A 6    6 , 6   ， π π π 所以A  ，所以A . 6 6 3 b c a 4 3 4 3 （2）因为    ，则b2c sinB2sinC， sinB sinC sinA 3 3 2π 因为BC , 3 2π  3 1 所以sinBsin C cosC sinC.  3  2 2 4 3 3 3   π 所以b2c 3    2 cosC 2 sinC   4sin  C 6   .  2π π  π π  π  1  因为C0, .所以C  , .所以sinC  ,1，  3  6  6 2  6  2   π 所以b2c4sinC 4,2 .  6 6．已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosBCacosA2 3csinBcosA0． (1)求A； (2)若ABC外接圆的直径为2 3，求2cb的取值范围． π 【答案】(1)A (2)3,6 3 【详解】（1）由ABCπ可得：AπBC ，所以cosAcosBC ， 所以acosBCacosBC2 3csinBcosA， acosBcosCasinBsinCacosBcosCasinBsinC 2 3csinBcosA， asinBsinC  3csinBcosA，由正弦定理可得sinAsinBsinC  3sinCsinBcosA， 因为sinC 0,sinB0，所以sinA 3cosA，所以tanA 3， π 因为A0,π，所以A . 3 a b c （2）由正弦定理可得   2R2 3， sinA sinB sinC 所以b2 3sinB,c2 3sinC， 故2cb4 3sinC2 3sinB2 32sinCsinB ，2π  2π 又 ，所以B C,C0, ， ABCπ 3  3   2π  3 3  所以2cb2 3   2sinCsin  3 C    2 3   2 sinC 2 cosC    π  2π π  π π 6sinC ，又C0, ，所以C  , ，  6  3  6  6 2  π 所以2cb6sin  C 6   3,6 ，所以 2cb 的取值范围为3,6. 7．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosBbcosAac0. (1)求B的值； (2)若M 为AC的中点，且ac4，求BM 的最小值. π 【答案】(1) (2) 3 3 【详解】（1）由正弦定理及acosBbcosAac0， 得sinAcosBsinBcosAsinAsinC 0， 又sinCsinABsinAcosBcosAsinB， 所以2sinAcosBsinA0， 1 又A0,π，∴ ，∴ ，即cosB ， sinA0 2cosB10 2 π 又B0,π，∴B . 3 (cid:5) 1(cid:5) 1(cid:5) （2）由 为 的中点，得BM  BA BC，而 ， M AC 2 2 ac4 (cid:5) 2 1(cid:5) 1(cid:5)  2 1(cid:5) 2 1(cid:5) 2 1(cid:5) (cid:5) 所以BM  BA BC  BA  BC  BABC 2 2  4 4 2 1 1 1 1  c2 a2 accosB ac2ac 4 4 2 4  1 ac 2 3   ac2   ac2 3， 4  2   16 ac 当且仅当 ，即 时等号成立， ac4 ac2所以BM 的最小值为 3. 8．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中sinB2sinA，c2a1． (1)若a3，求ABC的面积； (2)若ABC为钝角三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)4 5(2)1a2 5 【详解】（1）由sinB2sinA及正弦定理，则b2a． 326272 1 当 时， ， ，由余弦定理，cosC   ， a3 b6 c7 236 9 4 5 1 从而sinC  ，此时 的面积S  absinC 4 5． 9 ABC 2 （2）由于b2a，c2a1，由三角形三边关系可得abc，即3a2a1， 解得a1． a24a22a12 由于C为 的最大内角，故cosC  0， ABC 4a 即a24a10，解得2 5a2 5． 由于a1，则1a2 5． 三角形涉及中线长问题 ①中线长定理：（两次余弦定理推导可得）+（一次大三角形一次中线所在三角形+同余弦值） 如：在 ΔABC 与ΔABD 同用 cosB 求 AD AB2 +AC2 =AD2 +CD2 2 ②中线长常用方法 cos∠ADB+cos∠ADC=0 ③已知 AB+AC ，求 AD 的范围∵ AB+AC 为定值，故满足椭圆的第一定义 ∴半短轴¿AD＜半长轴 中， ， ， ，则 边上的中线 长_______. 解：法一：两次余弦定理 设 ， ， ， 由余弦定理得： ， 所以 ，或 （舍去）， 在 中， ， 由余弦定理得： ， 所以 . 法二：一次余弦定理+一次中线长定理 设 ， ， ， 由余弦定理得： ， 所以 ，或 （舍去）， AB2 +AC2 =AD2 +CD2 ⇒ 22 + √62 =AD2 +22 ⇒AD=1 2 2 中线长定理 在 中， ， ． 边上的中线 ，则 _____． 解：中线常用方法 设 ，中， ， 中， ， ⇐重点 ，解得： ， ， 中， , , . 中， ，则 边上中线 的长为_____． 解：中线常用方法 由余弦定理可知： ,设 ，由余弦定理可知： 而 重点 ⇐ 即 解得 ，故 边上中线 的长为 ． 1．已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 ． (1)求角 的大小； (2)已知 是 的中线，求 的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因 ，由正弦定理， ，由余弦定理， ，又 代入化简得 ，因 ，则 （2）因 是 的中线，故 ,两边平方可得： ， 即 ，由（1）知 ，则 ， 又因 ，即 ，当且仅当 时等号成立， 此时 ，即 . 故当 时， 的最小值为 . 2．在① ；② ；③ ；这三个条 件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中S为 的面积）. 问题：在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且______. (1)求角B的大小； (2)AC边上的中线 ，求 的面积的最大值. 【答案】(1) (2) . 【详解】（1）解：若选①：在 中，因为 ， 由 ， 可得 ， 由正弦定理得 ，即 ， 则 ， 又因为 ，故 . 若选②：由 ，可得 ，所以 ， 因为 ，所以 . 若选③：因为 ，正弦定理得 ， 又因为 ，所以 ， 即 ， 因为 ， ，所以 ， 又因为 ，可得 ； 综上所述：选择①②③，都有 . （2）解：由 ，可得 ， 所以 ，可得 ，当且仅当 时取等号， 则 ，当且仅当 时取等号， 则 的面积的最大值为 . 3．在 中， (1)若 ，求 的面积； (2)求 边上的中线 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，若 ，则 ， 又 ，所以 ，所以 ； （2）因为 ， 由正弦定理得 ， 所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，所以 ， 由余弦定理得 ， 因为 ，则 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 则 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 即 边上的中线 的取值范围为 ． 4．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)若 ，求B； (2)若 ，求 边上的中线 的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ，即 ， 由正弦定理可得 ， ∵ ，∴ ， 又∵ ， ∴ ，∴ ．∴ .（2）∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 5．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ． (1)求A； (2)若 ，求 中BC边中线AD长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ， 由正弦定理得 ，即 ， 即 ，所以 ， 又 ，所以 ，又 ，所以 ； （2）由余弦定理得 ， 即 ，所以 ，因为 为 中BC边的中线， 所以 ， 则 ， 所以 .6．在锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ． ① ；② ；③ ． 在以上三个条件中选择一个，并作答． (1)求角 ； (2)已知 的面积为 ， 是 边上的中线，求 的最小值． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【详解】（1）解：若选①，因为 ，即 ， 则 ，即 ，所以， ， 因为 ，故 ； 若选②，原式等价于 ，即 ， 即 ， 因为 、 ，则 ，所以， ，则 ，故 ； 若选③，原式等价于 ， 即 所以， ，即 ，即 ， 因为 ，故 . （2）解：因为 ，所以， ， 因为 为 的中点， 则 ， 所以， ， 则 ，则 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立. 因此， 长的最小值为 . 7．记 的内角 的对边分别为 ，面积为 ，已知 . (1)求 的值； (2)若 边上的中线 ，求 周长的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵ 面积为 ， ，且 ， 得 ， ， 由正弦定理得： ， ， ， ， ， . （2） 边上中线 ， ， ， 得 ， ， ， ， 且 ，即 ， ，当且仅当 时，“=”成立. 又 ，由余弦定理得 ， ， ， 设 ，， 设 ， ， 在 单调递减， 又 ， ， ， 在 单调递减， 则 最小值为 ， 所以当 时， 的最小值为 ， 故 周长最小值为 . 8．已知 中，角 所对的边长分别为 ，且 ， 为 边上一点，且 . (1)若 为中线，且 ，求 ； (2)若 为 的平分线，且 为锐角三角形，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如下图所示， 在 中，设 ，由余弦定理得 即 ，得 ，所以 ， 在 中，由余弦定理得 ， 则 ，所以 （2）设 ，则 ，如下图所示，在 和 中，由正弦定理得 ， ，得 ， 因为 为锐角三角形，所以 均为锐角， 所以 ，则 ，所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以 的取值范围是 三角形涉及角平分线问题 张角定理 如图，在 ΔABC 中，D为 BC 边上一点，连接 AD ,设 AD=l ， ∠BAD=α,∠CAD=β sin(α+β) sinα sinβ = + l b c 则一定有 1 1 1 bcsin(α+β)= clsinα+ blsinβ S =S +S 2 2 2 证明过程：∵ ΔABC ΔABD ΔACD∴ 1 sin(α+β) sinα sinβ bcl = + 2 l b c 同时除以 得在 中，角 所对的边分别为 ， ， BD⊥BC 交 于点D，且 ， 则 的最小值为________． 解：如图所示 sin1200 sin300 sin900 = + ∠ABD=α=300,∠CBD=900 1 a c ,根据张角定理 1 1 √3 ( 1 1) 2 + = (2a+c) + ≥(√1+√1) =4 2a c 2 2a c 故： ，根据柯西不等式 8√3 2a+c≥ 故 3 ，当且仅当 c=2a 时等式成立 在 中，角 所对的边分别为 ，点D在 BC 边上， ， AD⊥AC ， ，则 的长为________． 解： ，∠DAC=900 sin∠BAD sin∠BAD sin900 1 1 2√2 = + ⇒ + = AD b c 3b 3√2 9 ⇒b=3√2 根据张角定理 |CD|= √AD2 +AC2 =3√3 故： 已知在 中，角 所对的边分别为 . 为 上一点且 则 的最小值为__________ . 解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法） ，， ， 又 ，故 即 ， 所以 .又 ， 当且仅当 ， 时等号成立，故 的最小值为 方法二：张角定理+基本不等式 1 1 sin∠ACB sin∠ACD sin∠BCD 1 2 2 1 1 = + ⇒ = + ⇒ + =1 CD a b 2 a b a b 又 ， 当且仅当 ， 时等号成立，故 的最小值为 在 中，角 所对的边分别为 ， ， 的平分线交 于点 ，且 ，则 的最小值为______． 解：法一：等面积法+基本不等式（张角定理的推导方法） 如图： 因为 可得 即 ，所以 所以 当且仅当 时取等号.故答案为18 方法二：张角定理+基本不等式√3 √3 √3 sin∠ABC sin∠ABD sin∠CBD 2 2 2 1 1 1 = + ⇒ = + ⇒ + = BD a c 2 a c a c 2 所以 当且仅当 时取等号.故答案为18 1．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且 ． (1)求证： ； (2)若 的平分线交AC于D，且 ，求线段BD的长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：由余弦定理可得 ， 故 ，由正弦定理得 ． 所以在 中， 或 ． 若 ，又 ，故 ，因为 ，所以 ，故 不满足题意，舍去，所 以 ． （2）在 中，由正弦定理可得 ，即 所以 因为 是锐角三角形，且 ， 所 得 ， 所以 ． 所以线段BD长度的取值范围是 ．2．如图,在 中, 的平分线交 边于点 ,点 在 边上, , , . (1)求 的大小; (2)若 ,求 的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 是 的角平分线,所以 , 在 中,根据余弦定理得 , 所以 , 则 , 因为 ,所以 . （2）因为 ,所以 , 在 中,由正弦定理得 , 在四边形 中, , 所以 , 则 . 3．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ．(1)求 ； (2)若角 的平分线 交 于点 ，且 ，求 面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知 ，得 ， 在 中，由正弦定理得 ，即 ． 再由余弦定理得 ． 又 ，所以 . （2）因为 是角 的平分线，则 ， 又 ， 又 ，所以 ，得到 ， 又因为 ，得到 ，解得 ，即 ， 当且仅当 时等号成立，所以 ， 即 面积的最小值是 ． 4．在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 . (1)求角 的大小； (2)若 ， 的平分线交 于点 ，求线段 长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为 ， 所以： ， 即 ， 由正弦定理得 ，即 ， 由余弦定理得 ，又 ，所以 . （2）解：由余弦定理得 ，即 ， 所以 ，即 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立， 因为 ， 所以 ，解得 ， 因为 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以，线段 长度的最大值为 . 5．已知 中，内角 所对的边分别为 ，且 . (1)若 的平分线与边 交于点 ，求 的值； (2)若 ，点 分别在边 上， 的周长为5，求 的最小值. 【答案】(1) (2) . 【详解】（1） 可得 ， 解得 ， 设 ，则 ， 由余弦定理得 ， 所以 . 因为 为 的平分线，所以 ， 又 ，则 .（2）因为 ，由（1）得 ， 设 ， 由余弦定理得 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ，当 时取等号， 所以 ， 所以 ，当 时取等号， 所以 的最小值为 . 6．如图，在平面四边形 中， ， ， 的平分线交 于点 ，且 ． (1)求 及 ； (2)若 ，求 周长的最大值． 【答案】(1) ， (2) 【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ， 又 ，则 ， 于是 ， ∵ 为角平分线，∴ ，∴ ，∴ ， 在 中，根据余弦定理得 ， ∴ ． （2）设 ， ．在 中，由余弦定理得 ， 即有 ，即 ， ∴ ，当且仅当 时，“＝”成立． ∴ 周长的最大值为 ． 7． 中，角 的对边分别为 ， 的平分 线交 边于 ，过 作 ，垂足为点 . (1)求角A的大小； (2)若 ，求 的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 由正弦定理可得： ，即 ， 由余弦定理可得： ， . （2） ， 是 的角平分线， ， ， 在 中， . 8．已知条件：① ；② ；③ . 从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____. (1)求角C的大小； (2)若 ， 与 的平分线交于点I，求 周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选择条件①， ， 在 中，由余弦定理得 ， 整理得 ，则 ， 又 ，所以 ； 选择条件②， ， 于是 ， 由正弦定理得 ， 因为 ，则 ，即 ， 因为 ，因此 ，即 ， 又 ，所以 ； 选择条件③， ，则 ， 所以 ，则 ，又 ， 即有 ，则 ，所以 ； （2）由（1）知， ，有 ， 而 与 的平分线交于点I，即有 ，于是 ，设 ，则 ，且 ， 在 中，由正弦定理得 ， 所以 ， ， 所以 的周长为 ， 由 ，得 ， 则当 ，即 时， 的周长取得最大值 ， 所以 周长的最大值为 . 三角形面积最值问题 ：面积最值问题 技巧：正规方法：面积公式+基本不等式 { S= 1 absinC c2 2 ⇒a2 +b2 =2abcosC+c2 ≥2ab⇒ab≤ 2(1−cosC) a2 +b2 −c2 =2abcosC ① { S= 1 acsinB b2 2 ⇒a2 +c2 =2accosB+b2 ≥2ac⇒ac≤ 2(1−cosB) a2 +c2 −b2 =2accosB ② { S= 1 bcsinA a2 2 ⇒b2 +c2 =2bccosA+a2 ≥2bc⇒bc≤ 2(1−cosA) b2 +c2 −a2 =2bccosA ③ 秒杀方法： 在 ΔABC 中，已知 B=θ , AC=x 2 (AB+BC) max S = ⋅sinB 则： ΔABCmax 8x 其中 (AB+BC) max =2R⋅ √m2 +n2 +2mncosθ m,n分别是 BA、BC 的系数 2R= sinθ 三角形面积公式 1 1 1 S = absinC,S = acsinB,S = bcsinA ΔABC 2 ΔABC 2 ΔABC 2 ① 1 1 S = r(a+b+c)= rl ΔABC 2 2 r,l ΔABC ΔABC ② 其中 分别为 内切圆半径及 的周长 ΔABC ΔABC 推导：将 分为三个分别以 的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积 法即可得到上述公式 abc S =2R2sinAsinBsinC= ③ ΔABC 4R （R为 ΔABC 外接圆的半径） 1 sinBsinC 推导：将 a=2RsinA 代入 S ΔABC = 2 a2 sinA 可得 S ΔABC =2R2sinAsinBsinC a=2RsinA,b=2RsinB，c=2RsinC S =2R2sinAsinBsinC 将 代入 ΔABC abc S = ΔABC 4R 可得 1 sinBsinC 1 sinAsinC 1 sinAsinB S = a2 ,S = b2 ,S = c2 ΔABC 2 sinA ΔABC 2 sinB ΔABC 2 sinC ④ 1 p= (a+b+c) S =√p(p−a)(p−b)(p−c) 2 ⑤海伦公式 ΔABC （其中 ） a2 +b2 −c2 cosC= 2ab 推导：根据余弦定理的推论 1 1 1 √ (a2 +b2 −c2 ) 2 ∴S = absinC= ab√1−cos2C= ab 1− ΔABC 2 2 2 2ab ⇒ 1 √ (2ab) 2 −(a2 +b2 −c2) 2 = 1 √(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c) 4 4 1 p= (a+b+c) 2 S =√p(p−a)(p−b)(p−c) 令 ，整理得 ΔABC 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 的面积为（ ） 解：第一步：观察角化边在 中， ， 由正弦定理，可得 ，即 ， 又由余弦定理可得 ，可得 ， 因为 ， ， 由余弦定理，可得 ，即 ， 即 ，解得 ， 第二步：面积公式 所以三角形的面积为 . 在 ，角 ， ， 的边分别为 ， ， ，且 ， ， ，则 的内切圆的半径为（ ） 解：第一步：观察边化角 由 及正弦定理得 ， 整理得 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，又 ， ∴ ，故 ．∴ ， ∴ ．由余弦定理得 ， 即 ，解得 ． 第二步：利用三角形面积公式（内切圆公式） ∴ ．∵ ，∴ ．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， 的面积等于 ，则 外接圆的面积为（） 解：第一步：利用面积公式 1 abc a S = bcsinA= ⇒R= ΔABC 2 4R √3 第二步：求a 在 中， ， ， ， ，解得 ， 第三步：求圆的面积 故 ， 外接圆的面积为 . 在 ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 B=600 , AC=3 ，则 ΔABC 的面积最大值为 _____________ 2 2 (AB+BC) max (AB+BC) max √3 S = ⋅sinB= ⋅ 解：则： ΔABCmax 8 8 2 其中 (AB+BC) max =2R⋅ √m2 +n2 +2mncosθ m,n分别是 BA、BC 的系数 3 2R= sin600 =2√3 (AB+BC) =2√3⋅ √12 +12 +2⋅1⋅1cos600 =6 故 max 62 √3 9√3 S = ⋅ = ΔABCmax 8 2 4 故： 中，角 的对边分别为 ，且 ， ，则 面积的 最大值为（ ） 解：第一步：∵ ， 由正弦定理得 ，即 ； 由余弦定理得 ，结合 ，得 ；又 ， 由余弦定理可得 ，当且仅当 等号成立，第二步：∴ ，即 面积的最大值为 ． 1． 中角 所对的边分别为 ，其面积为 ，且 . (1)求 ； (2)已知 ，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三角形的面积为 ， 则 ， 所以 ，又 ，则 ； （2）由于 ，所以 ， 即 ， 取等号， 故 ， 故 2．如图，在四边形 中， ， ，且 的外接圆半径为4. (1)若 ， ，求 的面积； (2)若 ，求 的最大值. 【答案】(1)4；(2) . 【详解】（1）因为 ， 的外接圆半径为4，所以 ，解得 .在 中， ，则 ，解得 . 又 ，所以 ； 在 中， ， ， ， 所以 . （2）设 ， . 又 ，所以 . 因为 ，所以 . 在 中， ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 . 在 中， ，由正弦定理得 ， 即 ，解得 ， 所以 . 又 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时， 取得最大值1， 所以 的最大值为 . 3．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ． (1)求 ； (2)若角 的平分线 交 于点 ，且 ，求 面积的取值范围．【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知 ， 得 ， 在 中，由正弦定理得 ， 即 ， 再由余弦定理得 ， 又 ，所以 ； （2）由 是角 的平分线， 则 ， 所以 ， 又 ， 所以 ，即 ， 所以 ，解得 ，即 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 ， 即 面积的取值范围是 . 4．在 中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ． (1)求角A的大小； (2)若 的周长为6，求 面积S的最大值． 【答案】(1) (2) ． 【详解】（1）由余弦定理，得 ，即 则 ，所以 又 ，所以 ． （2）由题意， ， 根据余弦定理，得 ， 则 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号 所以 面积 ， 故 面积S的最大值为 ． 5．已知 中内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ， ． (1)求 ； (2)若 边上一点 ，满足 且 ，求 的面积最大值． 【答案】(1) (2) ． 【详解】（1）由题意， ， 由正弦定理得 ， 因 为三角形内角， ， 则 ，即 ， ， ， ， 故 ， ， （2） ， 已知 ， ，由（1）知， ， 由题意得由 ，（如图） 已知 ，且由（1）知 ，两边平方得， 则 ， 解得， .故 . 当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以， 的最大值为 ． 6．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足 . (1)求角 ； (2)若点D在AB上，CD＝2，∠BCD＝90°，求 ABC面积的最小值. △ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 可得： ， 由余弦定理知， ， 又 ，因此 .- （2）∵ ，即 ， ∴ ≥ ∴ab≥ ，当且仅当b=2a，即a= ，b= 取等号 ∴ = ≥ ∴△ABC面积的最小值为7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，其中， ． (1)求角B的大小； (2)若 ，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）方法一：由 ， 根据正弦定理边化角得： ， 即 ，所以 ， 因为 ，所以 ，又 ，所以 ， 又 ，所以 ； 方法二：由 ， 根据余弦定理：得 ， 即 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，又 ，得 ； （2）由（1）及余弦定理知 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，化简得 ， 因为 ， ，所以 ， ， 所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号， 所以 的面积 ， 所以 面积的最大值为 . 8．已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 . (1)求角 的大小；(2)若 ，点 、 在边 上， ，求 面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，由余弦定理，得 ， 化简整理得： ， 由余弦定理，得 ， 因为 ，所以 ，即角 的大小为 . （2）如图： 设 ， 在 中，由正弦定理，得 ， 由（1）和 可知， ， ， 所以 ，在 中，同理可得 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以当 ，即 时 面积取得最小值为 .