专题02五大类数列题型-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练（新高考新题型专用）（解析版）_2024年4月_01按日期_16号

专题 02 五大类数列题型-2024 年高考数学大题秒杀 技巧及专项训练（解析版） 【题型1 错位相减求和无需错位直接出答案】 【题型2 裂项相消巧妙变形问题】 【题型3 分组求和必记常见结论】 n (−1) 【题型4 含 类求和问题】 【题型5 含绝对值求和问题】 数列求和之前需要掌握一些求数列通项的技巧，技巧如下： a a  f (n) n1 n 当高考数列大题出现《 与 》或《 与 》递推关系且关系式中系数为1时，应 遵循以下步骤 第一步：作差 第二步：列举 第三步：求和 →简称《知差求和》 注意：列举时最后一项必须是 已知{ }的首项， ， （nN*）求 通项公式。 解：第一步：作差 第二步：列举 a a  22 3 2 。。。。。。。。。。。 a a  2(n3) n2 n3 a a  2(n2) n1 n2 a a  2(n1) n n1左侧 右侧 第三步：求和 a a  2[12(n1)] n2 n n 1 口诀：左左加 右右加，相互抵消用等差 ∴ a  ka b n1 n 当高考数列大题出现《 与 》或《 与 》递推关系且关系式中系数不为1时， 应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步：求新数列的 通项 第四步 反解 →简称《构造法》 结论: 已知数列 中, , ,求 的通项公式. 解:第一步：秒求所配系数 = =1 第二步：寻找新的等比数列 , 是首项为 ,公比为2 的等比数列, 第三步：求新数列的通项 即 第四步 反解 验证：当 也成立 故答案为： 当高考数列大题出现《 与 》或《 与 》递推关系，关系式中系数不为1且还 存在n时，应遵循以下步骤 第一步：秒求所配系数 第二步：寻找新的等比数列 第三步： 求新数列的通项 第四步 反解 →简称《构造法》结论: 1 已知： ， 时，a  a 2n1，求 的通项公式。 a 1 n 2 n 2 n1 {a } 1 n 解：第一步：秒求所配系数 1 设a  AnB  [a  A(n1)B] n 2 n1 1 1 1 1 a  a  An A B n 2 n1 2 2 2  1  A 2   2 ∴  秒求 1 1   A B  1   2 2 A 4 解得： B 6 ∴ a 463 1 第二步：寻找新的等比数列 1 ∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列 {a 4n6} 2 n 第三步：求新数列的通项 1 ∴ a 4n63( )n1 n 2 3 第四步 反解 ∴ a  4n6验证：当 时通项也成立 n 2n1 3 故答案为：a  4n6 n 2n1 当高考数列大题出现《 与 》或《 与 》递推关系，关系式中系数不为1且还 存在指数时，应遵循以下步骤 第一步：等式两边直接同除以 第二步：寻找新的 数列 第三步：秒求所配系数 第四步：寻找新的等比数列 第五步：求新数列的通项 第六 步 反解 →简称《直接除+构造法》结论 ： 已知 {a } 中，a 1，a  2a  2n （ ）求 a 。 n 1 n n1 n 2 n 第一步：等式两边直接同除以 a a 由 得 n  n1 1 a  2a 2n 2n 2n1 n n1 第二步：寻找新的数列 a a 1 ∴ { n}成等差数列， n  (n1) 2n 2n 2 a  n2n 2n1 验证：当 也成立故答案为 ∴ n a =pa +qa n+2 n+1 n a =A⋅a +B⋅a a +λa =β⋅(a +λa ) n+2 n+1 n型，可化为 n+2 n+1 n+1 n 的形式。 待定系数法，其中 a a =−1,a =2 a =5a −6a a 在数列{ n}中， 1 2 ，当n∈N， n+2 n+1 n ① 求通项公式 n. 解： ①第一步：秒出系数 ①式可化为： a =A⋅a +B⋅a a +λa =β⋅(a +λa )a =5a −6a n+2 n+1 n n+2 n+1 n+1 n n+2 n+1 n 比较系数得 ，不妨取 .①式可化为： a −2a =3(a −2a ) n+2 n+1 n+1 n 第二步：出现新的等比数列{a −2a } a −2a =2−2⋅(−1)=4 则 n+1 n 是一个等比数列，首项 2 1 ，公比为3. 第三步：求新等比数列通项 a −2a =4⋅3n−1 ∴ n+1 n .利用上题结果有： a =4⋅3n−1 −5⋅2n−1 第四步：反解 n . 题型1 错位相减求和无需错位直接出答案 错位相减； 形式必须是 则 S =1+3x+5x2 +7x3 +¿⋅¿+(2n−1)xn−1 求和： n 秒杀1 卷子上书写 第一步：寻找标准形式 (2n−1)xn−1 xn−1 可知，{ }的通项是等差数列 的通项与等比数列{ }的通项之 积 第二步：列举 S =1+3x+5x2 +7x3 +¿⋅¿+(2n−1)xn−1  n ① xS =1x+3x2 +5x3 +7x4 +¿⋅¿+(2n−1)xn n ………………② ①－②得 ？ 第三步：利用结论秒求 草稿纸上书写 第四步：化解结论求 卷子上书写(2n−1)xn+1 −(2n+1)xn +(1+x) S = n (1−x) 2 秒杀2 卷子上书写 第一步：寻找标准形式 {(2n−1)xn−1 } {xn−1 } 可知， 的通项是等差数列 的通项与等比数列 的通项之积 第二步：列举 S =1+3x+5x2 +7x3 +¿⋅¿+(2n−1)xn−1  n ① xS =1x+3x2 +5x3 +7x4 +¿⋅¿+(2n−1)xn n ………………② ①－②得 ？ 第三步：利用结论秒求 草稿纸上书写 则 其中 或 第四步：化解结论求 卷子上书写 (2n−1)xn+1 −(2n+1)xn +(1+x) S = n (1−x) 2 已知数列 的前 项和为 ，且 ． （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 解：秒杀1 卷子上书写 （1）快速求解通项当 时， ； 当 时， . 不适合 . 综上所述， ； ⑵第一步：寻找标准形式 由（1）可得 . 第二步：列举 当 时， ； 当 时， ①， 得 ②， ①－②得 ？ 第三步：利用结论秒求 草稿纸上书写 第四步：化解结论求 卷子上书写 ， 满足 ， 因此， .1．已知各项均为正数的数列 满足 ，且 . (1)写出 ， ，并求 的通项公式； (2)记 求 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法一：因为 ， ， 所以，当 时， ， ，所以 . 当 时， ， ，所以 . 当 时， ，所以 当 时， 也符合上式. 综上， 解法二：因为 ， ， ， 所以，当 时， ， ，所以 . 当 时， ， ，所以 . 因为 ， 所以 ，即 . 所以 ，即 . 又 ，所以（2）解法一：由（1）得 ，即 记 则 ①， ② ①-②，得 ， 所以 ， 故 . 解法二：由（1）得 ，即 . 记 ， 则 . 故 . 2．记 . (1)当 时， 为数列 的前 项和，求 的通项公式； (2)记 是 的导函数，求 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当 时， . 当 时， .又当 时， 不满足上式，所以 （2） ① ② ①-②得， 3．设 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列， ， ． (1)求数列 与 的通项公式； (2)数列 的前 项和分别为 ； （ⅰ）证明 ； （ⅱ）求 ． 【答案】(1) ；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， 则 ， ， 因为 ，可得 ，解得 ， 又因为 ，可得 ，又由 且 ，可得 ，解得 （负值舍去）， 所以 . （2）（ⅰ）证明：由 ，可得 ， 所以 ， 则 . （ⅰⅰ）解：由 ，可得 ， 则 ， 可得 ， 则 ， 两式相减得 ， ， 所以 ，即 4．已知数列 中， . (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， . 【答案】(1) (2)证明见解析【详解】（1）因为 ， 所以 ， 作差可得 ，变形为 ，即 ，即 ，化简为 ， 因为 ，所以 ， 因为 ， 所以数列 的通项公式为 . （2）因为 ， 所以 ， ， 作差可得 ， 所以 ， ， 设 ，则 在给定区间上递减，又 故 在 是减函数， ， 所以当 时， . 5．设等比数列 的前n项和为 ， ， ． (1)求 ；(2)设 ，求数列 的前n项和 ． 【答案】(1) ；(2) . 【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ， 则 ，即 ， 而 ，因此 ，解得 ， 所以 . （2）由（1）知， ，则 ， 则 ， 于是 ， 两式相减得 ， 即 . 6．已知数列 的前 项和为 . (1)求 ； (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意 ， 当 时， ，从而 ， 当 时，也满足 ，故 . （2）由（1）可知 ， 所以 ， 从而 ， 所以 ， 所以数列 的前 项和 . 7．设数列 满足： ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前n项和 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知数列 满足： ， ， 则 ， ，故 为首项是6，公比为2的等比数列， 故 ，即 ， 适合上述结果，故 ； （2）设 ， 则 ， 设 ，故 ；， ， 作差得到 ， 故 ， ， 故 . 8．已知 是各项均为正数的数列 的前 项和， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵ ， 当 时， ，解得 或 （舍去）， 当 时， ， ∴ ， ∵ ，∴ ∴数列 是首项为1、公差为1的等差数列，∴ . （2）由（1）知， ， ∴ ， ∴ ， 两式相减得，∴ 裂项相消巧妙变形问题 裂项相消求和 sin1∘ =tan(n+1) ∘ −tann∘ a =f (n+1)−f (n) cosn∘cos(n+1) ∘ ① n ② 1 1 1 (2n) 2 1 1 1 a = = − a = =1+ ( − ) n n(n+1) n n+1 n (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1 ③ ④ 1 1 1 1 a = = [ − ] n n(n−1)(n+2) 2 n(n+1) (n+1)(n+2) ⑤ n+2 1 2(n+1)−n 1 1 1 1 a = ⋅ = ⋅ = − ,则S =1− n n(n+1) 2n n(n+1) 2n n⋅2n−1 (n+1)2n n (n+1)2n ⑥ 1 1 1 1 a = = ( − ) n (An+B)(An+C) C−B An+B An+C ⑦ ⑧ n+1 2n 1 1 a =log =log (n+1)−log n a = = − n a n a a n (2n −1)⋅(2n+1 −1) 2n −1 2n+1 −1 ⑨ ⑩ 1 2 n 2 a = + +¿⋅¿+ b = 在数列 中， n n+1 n+1 n+1 ，又 n a n ⋅a n+1，求数列 的前 项 的和. 解：第一步：裂项 2 1 1 b = =8( − ) 1 2 n n n n n+1 n n+1 a = + +¿⋅¿+ = ⋅ ∵ n n+1 n+1 n+1 2 ∴ 2 2第二步：裂项求和 ∴ 数列 的前 项和 1 1 1 1 1 1 1 S =8[(1− )+( − )+( − )+¿⋅¿+( − )] n 2 2 3 3 4 n n+1 1 8n 8(1− ) ＝ n+1 ＝ n+1 1 1 1 cos1∘ + +¿⋅¿+ = cos0∘cos1∘ cos1∘cos2∘ cos88∘cos89∘ sin21∘ 求证： 证明：第一步：裂项 1 1 1 S= + +¿⋅¿+ cos0∘cos1∘ cos1∘cos2∘ cos88∘cos89∘ 设 sin1∘ =tan(n+1) ∘ −tann∘ cosn∘cos(n+1) ∘ ∵ 第二步：裂项求和 1 1 1 S= + +¿⋅¿+ cos0∘cos1∘ cos1∘cos2∘ cos88∘cos89∘ ∴ 1 S= {(tan1∘−tan0∘)+(tan2∘−tan1∘)+(tan3∘−tan2∘)+[tan89∘−tan88∘]} sin1∘ 1 1 cos1∘ (tan89∘−tan0∘) ⋅cot1∘ sin1∘ sin1∘ sin21∘ ＝ ＝ ＝ ∴ 原等式成立 已知 ，若数列 的前 项和 ，则 ________． 解：第一步：裂项 因为 ，第二步：裂项求和 所以 ， 因此 ，即 . 1．已知 是等差数列， ，且 成等比数列． (1)求 的通项公式； (2)若数列 满足 ，且 ，求 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 成等比数列， 所以 ，解得 ． 又 是等差数列， ，所以公差 ， 故 . （2）由 ，得 ， 所以 ,又 , 当 时， ,又 也适合上式，所以 ,则 , 所以 . 2．在正项等比数列 中， . (1)求 的通项公式： (2)已知函数 ，数列 满足： . （i）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式 （ii）设 ，证明： ， 【答案】(1) (2)（i）证明见解析， ；（ii）证明见解析 【详解】（1）因为正项等比数列 中， ，所以 . 又因为 ，所以 ，进而公比 ，所以 . （2）（i）因为 ， 所以 ，所以 ， 所以数列 是以 为首项，公差为1的等差数列. 所以 ，即 . （ii） . 当 时，左式 ，右式 ，左式＝右式. 当 时，下面先证明 ， ， 令 ， ， ， ， ，又 ， ，即 ，又 ， 所以 . . 所以 . 即 . 综上：当 时， . 3．已知各项均为正数的等比数列 ，满足 ， ．(1)求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前n项和为 ．求证： ． 【答案】(1) ；(2)证明见详解. 【详解】（1）记数列 的公比为 ， 则 ，解得 ，所以 . （2）由（1）可得， ， 所以 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 . 4．已知 为公差不为0的等差数列 的前 项和，且 ． (1)求 的值； (2)若 ，求证： ． 【答案】(1)2(2)证明见解析 【详解】（1）解法一：设 的公差为 ， 由 ①，得 ②， 则②-①得 ， 即 ，又 ，则 ；解法二：设 的公差为 ， 因为 ， 所以 对 恒成立， 即 对 恒成立， 所以 ，又 ，则 ； （2）由 得 ，即 ， 所以 ， 又 即 ，则 ，因此 则 ． 5．已知数列 的前 项和为 . (1)求数列 的通项公式 ； (2)记 ，求数列 的前 项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 数列的前 项和为 ， 当 时 ， 当 时 ，所以 ，又当 时， 也成立， 数列 的通项公式为 . （2）由（1）可得 ， 设数列 的前 项和为 ， 则 . 6．已知 是数列 的前 项和， ， 是公差为1的等差数列. (1)求数列 的通项公式； (2)证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因 是公差为1的等差数列，而 ，则 ， 因此 ，即 ， 当 时， ， 经检验， 满足上式，所以 的通项公式是 . （2）由（1）知： ， 所以 . 7．已知数列 的前 项和为 ，且 ．(1)求数列 的通项公式； (2)若 ， ，求证： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由 ①， 当 时， 解得 ， 当 时， ②， ①-②，得 ， 数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列， ．经验证 符合上式，所以 ． （2）由（1）知 ， ， ． 则 ， 故 ， 所以 ， ， ， 故 . 8．设数列 的前 项和为 ，已知 ， 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 当 时， ， 又 适合上式，所以 ． （2） ， 故 ． 分组求和必记常见结论 n(a +a ) n(n−1) S = 1 n =na+ d ①等差数列求和公式： n 2 1 2 { na (q=1) 1 S = a (1−qn ) a −a q n 1 = 1 n (q≠1) 1−q 1−q ②等比数列求和公式： n n 1 1 S =∑ k= n(n+1) S =∑ k2 = n(n+1)(2n+1) n 2 n 6 ③ k=1 ④ k=1 n 1 S =∑ k3 =[ n(n+1)] 2 n 2 k=1 ⑤1 1 1 1+1, +4, +7,⋅¿⋅, +3n−2 a a2 an−1 求数列的前 项和： ， 解：第一步：分组 1 1 1 S =(1+1)+( +4)+( +7)+¿⋅¿+( +3n−2) n a a2 an−1 设 将其每一项拆开再重新组合得 1 1 1 S =(1+ + +¿⋅¿+ )+(1+4+7+¿⋅¿+3n−2) n a a2 an−1 第二步：分组求和 (3n−1)n (3n+1)n S =n+ n 2 2 当 时， ＝ 1 1− an (3n−1)n S n = 1 + 2 a−a1−n (3n−1)n 1− + 当 a≠1 时， a ＝ a−1 2 求数列 的前 项和. 解：第一步：分组 a =k(k+1)(2k+1)=2k3 +3k2 +k 设 k n n S =∑ k(k+1)(2k+1) ∑(2k3 +3k2 +k) n ∴ k=1 ＝k=1 将其每一项拆开再重新组合得 n n n S =2∑ k3 +3∑ k2 +∑ k n ＝ k=1 k=1 k=1 第二步：分组求和 S =2(13 +23 +¿⋅¿+n3 )+3(12 +22 +¿⋅¿+n2 )+(1+2+¿⋅¿+n) n n2 (n+1) 2 n(n+1)(2n+1) n(n+1) n(n+1) 2 (n+2) S = + + n 2 2 2 2 ＝记正项等比数列 满足 ， .等差数列 满足 ， . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 解：（1）快速求解通项 设 的公比为 ， 的公差为 ， ，即 ， ， ， ，解得 或 （舍去）， ， ， ， ， ， ； 第一步：分组 依题意， ， 第二步：分组求和 数列 的前 项和为 ， 数列 的前 项和为 ， 故 .1．已知数列 ，______.在①数列 的前n项和为 ， ；②数列 的前 n项之积为 ，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注： 如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”） (1)求数列 的通项公式； (2)令 ，求数列 的前n项和 . 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【详解】（1）选①，当 时， ，即 ， 当 时， （I）， （II）， （I） （II）得： ，即 ， 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 . 选②，当 时， ，即 , 当 时， ，即 , 当 时， 符合上式. 所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 （2）因为 ，所以 ， 所以. 2．已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)给定 ，记集合 中的元素个数为 ，若 ， 试求 的最小值. 【答案】(1) (2)11 【详解】（1）依题意 ，① 当 时， ，②. ①②两式相减得 ，即 ， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 是公差为1的等差数列， 又 ，故数列 的通项公式为 . （2）依题意 ，即 ，因为 ， 所以满足不等式的正整数个数为 ，即 ，. ， 因为 ，所以 单调递增， 当 时， ， 当 时， ， 所以 的最小值为11.3．已知 为数列 的前n项和，且满足 ，其中 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，若对任意的 ，都有 ，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 所以数列 是以 为公比的等比数列， 所以 ； （2）由（1）得 ， 则 ， 故 ， ， 而 随 的增大而减小， 所以 ， 随 的增大而增大， 所以 ，因为对任意的 ，都有 ， 所以 . 4．已知数列 满足 ， ，且 ． (1)证明 为等比数列，并求数列 的通项公式； (2)设 ，且数列 的前 项和为 ，证明：当 时， ． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【详解】（1）因为 ， ， 所以 ， ， . 易知 ，所以 ， 因为 ． 所以 是等比数列，首项 ，公比 ，所以 ． （2）由（1）可得 ， 先证明左边：即证明 ， 当 时， ， 所以 ，所以 ， 再证明右边： ， 因为 ， 所以 ， 即 ，下面证明 ， 即证 ，即证 ， 设 ， ，则 ，设 ， ， 因为 ，所以函数 在 上单调递增， 则 ，即 ， ， 所以 ，所以 ． 综上， ． 5．已知数列 满足 . (1)求 的通项公式； (2)设 ，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知，当 时， ；当 时，由 得， ， 两式作差可得， ， 也适合该式，故 ； （2）证明：由题意知 ， 故 ， 由于 ，则 ，故 ， 即 . 6．已知数列 满足 . (1)设 ，证明： 是等比数列； (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，所以 ， 又 ，则 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 由于 ，所以 ， 所以 . 7．在等差数列 中， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)若记 为 中落在区间 内项的个数，求 的前k项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）等差数列 中，由 ，得 ，而 ，解得 ， 因此数列 的公差 ， ， 所以数列 的通项公式是 . （2）由（1）知， ，由 ，得 ，整理得 ，因此正整数 满足 ，从而得 ， 所以 的前k项和为 . 8．已知数列 是正项等比数列，其前n项和为 ，且 ， ． (1)求 的通项公式； (2)记 的前n项和为 ，求满足 的最大整数n． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设 的公比为 ，则 ， 因为 ，所以 ， 依题意可得 ，即 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， 所以 . （2）由（1）可知 ， 故 显然， 随着 的增大而增大， ， ， 所以满足 的最大整数 .含 (−1) n类进行求和问题 我们估且把这种求和的方法称为“并项 法”，可以推广到一般情况，用“并项法”求形如 a =(−1) n ⋅f (n) {a } 通项公式为 n 的摆动数列 n 前n项和的步骤如下： a +a 第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当n为奇数时， n n+1的表达式； 第二步：然后对n分奇、偶进行讨论，即当n为偶数时，由 S =(a +a )+(a +a )+(a +a )++(a +a ) S n 1 2 3 4 5 6 n−1 n 求出 n ； 第三步：当n为奇数且 n＞1 时，由 S n =S n−1 +a n求出 S n，特别注意对 n=1 时要单独讨论， S 即 1要单独求出. S S 第四步：将 1代入当n为奇数且 n＞1 时 n的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段 分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示 已知数列 的通项公式 ，求数列 的前 项和 . 解：第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当 为奇数时， 的表达式 不难发现，数列 的项依次为 间隔出现，所以 , 第二步：然后对 分奇、偶进行讨论，即当 为偶数时， 由 求出 ①当 为偶数时, 第三步：当 为奇数且 时，由 求出 ，特别注意对 时要单独讨 论，即 要单独求出. ②当 为奇数且 时， 第四步：将 代入当 为奇数且 时 的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段 分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示 ③当 时,综上， 已知数列 的通项公式 ，求数列 的前 项和 . 解： 第一步：首先获得并项后的一个通项公式，即先求当 为奇数时， 的表达式； 因为当 为奇数时， 第二步：然后对 分奇、偶进行讨论，即当 为偶数时，由 求出 ； ①当 为偶数时, 第三步：当 为奇数且 时，由 求出 ，特别注意对 时要单独讨 论，即 要单独求出. ②当 为奇数且 时， 第四步：将 代入当 为奇数且 时 的表达式进行检验，如果适合，结果写成两段 分段函数形式表示，如果不适合，结果写成三段分段函数形式表示 ③当 时, 又因为 适合当 为奇数且 时 .综上， 1．已知 为数列 的前n项和，且满足 ，其中 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，若对任意的 ，都有 ，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 ， 当 时， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 所以数列 是以 为公比的等比数列， 所以 ； （2）由（1）得 ， 则 ， 故 ， ，而 随 的增大而减小， 所以 ， 随 的增大而增大， 所以 ，因为对任意的 ，都有 ， 所以 . 2．已知数列 是递增数列，前 项和为 ， 且当 时， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为当 时， ，则 ，所以 ， 两式相减可得 ，整理得 ， 即 . 因为 是递增数列，且 ，所以 ， 则 ，即 ， 所以数列 是公差为 的等差数列，即 ， 经检验 时成立，则 . （2）由（1）知 . 当 为偶数时，； 当 为奇数时， ， 综上所述， . 3．在数列 中， ，且数列 是等差数列. (1)求 的通项公式； (2)若 ，设数列 的前 项和为 ，求 . 【答案】(1) ；(2)220. 【详解】（1）因为 ，所以 . 所以数列 是首项为4，公差为2的等差数列， 所以 . 当 时， ， 当 时， 也满足上式，所以 . （2）由（1）知， . 当 时，. 4．已知数列 满足： ， . (1)求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前20项和 . 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）显然 ，由 得 ， 又 ，则数列 是首项为1，公差为 的等差数列. 由 ，得 . （2）由（1）可知 ， 所以 . 5．设 是数列 的前 项和，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【详解】（1） 当 时， ，解得 . 当 时， ，两式相减得 ， 即 ，又 ， 数列 是首项为1，公比为3的等比数列. 数列 的通项公式为 . （2）由（1）知， ， ， 当 为偶数时， ；当 为奇数时， ， . 6．已知 是等比数列，满足 ，且 成等差数列，数列 满足 ． (1)求 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ： (3)设 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) ， (2) (3) 【详解】（1）设数列 的公比为 ，则由条件得 ，又 ，可得 ，则 ， 因为 ，解得 ，故 ． 对于 ，当 时， ， 当 时，由 得 ， 所以可得 ，可得 ，且 也适合，故 ， 所以 ， ，即 和 的通项公式分别为 ， . （2）因为 ， 所以 ． （3）由（1）可得 ， 所以 ①， 所以 ②， ① ②得 ， 所以 . 7．在等差数列 中， . (1)求 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设 的公差为 ，则 解得 所以 . （2）（方法一） . （方法二）当 为偶数时， 当 为奇数时， . 综上， 8．已知 是等比数列，满足 ，且 成等差数列，数列 满足 . (1)求 和 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前n项和 . 【答案】(1) ；(2) . 【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，依题意， ，又 ，则 ，即 ， 而 ，解得 ，因此 ； 数列 中，当 时， ，由 ， 得当 时， ， 两式相减得 ，即 ，显然 满足上式，因此 ， 所以数列 和 的通项公式分别为 . （2）由（1）知， ， ， 因此当 为偶数时， ， 当 为奇数时， ， 所以数列 的前n项和 . 含绝对值求和问题 给出数列 ，要求数列 的前 项和，必须分清 取什么值时如果数列 为等差数列， 为其前 项和， 那么有： ①若 则有 ②若 则有 如果数列 为等比数列， 为其前 项和， 那么有： |a |(1−|q| n ) |a |−a |q| 1 1 n T = = n 1−|q| 1−|q| 已知各项都为正数的等比数列 ， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ， ，求 . 解：(1)快速求解通项 设各项都为正数的等比数列 的公比为 ，则 ， 因为 ， ， 所以 ，解得 ， ，所以 ， (2)第一步：秒求临界 由(1)知， ，故 ， 第二步：利用结论当 时， ； 当 时， ， 故 . 已知等差数列 的首项为6，公差为 ，且 成等比数列. （1）求 的通项公式； （2）若 ，求 的值. 解：(1)快速求解通项 公差为 成等比数列， 解得 或 当 时， ；当 时， ， 故 或 . (2)第一步：秒求临界 ∵ 0，∴ =-1，此时 ． 第二步：利用结论 当 时， 当 时，在公差不为零的等差数列 中， ，且 、 、 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前n项和 . 解：(1)快速求解通项 设公差为 ，由 、 、 成等比数列， 得 .解得 .所以 . (2)第一步：秒求临界 因为 所以 . 第二步：利用结论 当 时， ，所以 . 当 时， ，所以 . ∴ .1．已知数列 的前n项和 ，且 的最大值为 ． (1)确定常数 ，并求 ； (2)求数列 的前15项和 ． 【答案】(1) ； (2) 【详解】（1）解：由数列 的前n项和 ， 根据二次函数的性质，可得当 时， 取得最大值， 即 ，解得 ，所以 ， 当 时， ， 当 时， （符合上式）， 所以数列 的通项公式为 . （2）解：由（1）知 ，可得 ， 且当 且 时，可得 ；当 且 时，可得 ， 所以数列 的前15项和： ． 2．设等差数列 的前 项和为 ， ， ． (1)求 的通项公式； (2)设数列 的前 项和为 ，求 ．【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ， ， ， ， 解得 ， ，故 . （2）由（1）知 ， ， ， ， ， ． 3．已知等差数列 ，记 为 的前 项和，从下面①②③中再选取一个作为 条件，解决下面问题．① ；② ；③ ． (1)求 的最小值； (2)设 的前 项和为 ，求 ． 【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，且 ． 选择①：（1）因为 ，所以 ，解得 ． 所以 ，则 ， 利用二次函数对称性和开口方向知， 关于 对称， 因为 ，所以当 或6时， . 选择②：因为 ，可得 ， 因为 ，所以 ，此时 ，所以 ，因为 ，所以 单调递增，且当 时， ． 所以当 或11时， 最小，此时 . 选择③：因为 ，所以 ，即 ，所以 ， 所以 ，则 ， 利用二次函数对称性和开口方向知， 关于 对称， 因为 ，所以当 或6时， . （2）解：若选择①或③：由（1）知 ，当 时， ， 所以 . 若选择②：由（1）知 ，且当 时， ，且 ， 所以 . 4．已知正项等比数列 满足 是 与 的等差中项． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，又 ，所以 ，解得 ， 设 的公比为 ，因为 是 与 的等差中项， 所以 ，即 ，解得 ，从而 ，故等比数列 的通项公式是 ； （2）由（1）知 ，所以 ， ， 设 的前 项和为 ， 当 时，易知数列 是首项为6，公差为 的等差数列， 所以 ， 当 时，易知数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 ， 所以数列 的前 项和 ． 5．在等比数列 中， ，公比 ，且 ，又 与 的等比中项为2. (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 因为 与 的等比中项为2，所以 ， 则 ，解得 （ 舍去）， 所以 ，所以 （ 舍去） 所以 ； （2）由（1）得 ， 令 ，则 ，令 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， 综上所述， . 6．已知等差数列 的公差为整数， ，设其前n项和为 ，且 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前n项和 ． 【答案】(1) (2)【详解】（1）设 的公差为d，依题意得 ， 所以 ，即 ， 化简得 ，解得 或 （舍去）， 故 ， （2）依题意， ． 当 时， ，故 ； 当 时， ， 故 故 7．在等差数列 中，已知公差 ， ，且 ， ， 成等比数列. (1)求数列 的通项公式 ； (2)求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， ， ， 又 ， ， 成等比数列，所以 ， 化简得 ，解得 或 ，又 ，所以 ， 可得数列 的通项公式 ； （2）由（1）得 ，由 ，得 ， 由 ，得 ，设数列 的前n项和为 ，所以 ， 所以 . 8．已知数列 的前 项和为 ，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 的前 项和为 ，设 ，求 的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为 ，所以 ， 所以当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ， 所以 ， 又 满足上式，所以数列 的通项公式为 . （2）由（1）知 ， 当 时， ； 当 时， ； 所以 ，当 时， 递减，所以 ； 当 时， ， 设 ， 则 ，令 得 ，此时 单调递增， 令 得 ，此时 单调递减， 所以 在 时递减，在 时递增， 而 ， ，且 ， 所以 ； 综上， 的最小值为 .