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4.1数列的概念（1） -B提高练
一、选择题
1．（2020·河南高二月考）在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】∵ ， ，∴ ， ， ， .
∴该数列是周期数列，周期 .又 ，∴ ，故选：A.
2．（2020·天津河津中学高二月考）已知数列 ，它的前n项和 ，则 的值为（
）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【详解】 ，故选：A
3．（2020·全国高二课时练习）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递
推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】结合图象易知， ， ， ， .
4．（2020·上海市金山中学高二期中）数列 的 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．100 D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ， ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，又 ，所以 .故选：D
5．（多选题）（2021·全国高二课时练）若数列 满足 ， ，则数列
中的项的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】数列 满足 ， ，依次取 代入计算得，
， ， ， ，因此继续下去会循环，
数列 是周期为4的周期数列，所有可能取值为： .故选：ABC.
6. （多选题）（2020·山东泰安一中高二月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来
人们把这样的一列数组成的数列{a}称为“斐波那契数列”，记S 为数列{a}的前n项和，则下列
n n n
结论正确的是（ ）
A．a＝34 B．S＝54 C．S ＝a －1 D．a＋a＋a＋…＋a ＝a
8 8 2020 2022 1 3 5 2021 2022
【答案】BCD
【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；
对于B， ，故B正确；对于C，可得 ，
则
即 ， ，故C正确；
对于D，由 可得，
，故D正确.
二、填空题
7．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）已知数列 的前 项和为 ，且 ，
，则 ______．
【答案】 ，
【详解】因为数列 的前 项和为 ，且 ， ，
当 时， ；
又 不满足上式，所以 ， .
8．（2020·河南新乡市高二期中）在数列 中， ，若 ，则
_________.
【答案】8【详解】当 为偶数时，由 得 ，解得 符合；
当 为奇数时，由 得 ，即 ，
令 ， ，在同一直角坐标系中作出函数的图像，如图所示：
由图可知两个函数图像只有一个交点，即方程 只有一个根，且 ，所以由
得 ，由 可知 ，所以 不满足题意.综上， .
9．（2021·天津河西区高二期末）已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则
取得最小值时 的值为_________.
【答案】8
【详解】令 ，解得 或 ， 当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 取得最小值时
的值为8.
10．（2020·湖南长沙市雅礼中学高二月考）被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：
一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，
若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有
许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列 ， ，若
将数列 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列 ，则数列 的前2020
项和为________.
【答案】1347
【详解】由题意可得 ，所以数列 ，
所以数列 是一个周期为3的周期数列，而2020除以3商673余1，所以数列 的前2020项
和为 .
三、解答题
11.（2021·全国高二课时练）在数列{a
n
}中,a
1
=2,a
n+1
=a
n
+ln(
1+
1),求a
n
.
n
n+1
【详解】由题意,得a -a=ln ,
n+1 n
n
n
∴a-a =ln (n≥2),
n n-1 n-1
n-1
a -a =ln ,
n-1 n-2 n-2
…
2
a-a=ln ,
2 1
1
n n-1 2
∴当n≥2时,a-a=ln( · ·…· )=ln n,∴a=2+ln n(n≥2).
n 1 n-1 n-2 1 n
当n=1时,a=2+ln 1=2,符合上式,
1
∴a=2+ln n(n∈N*).
n
12．（2020·上海高二课时练习）设数列 的前 项和为 ，且方程 有一根为
（1）求 、 ；
（2）求数列 的通项公式.
【解析】（1） 时， 有一根 ，于是 ，解得 .
时， 有一根 ，
于是 ，解得 .
（2）由题设，得 ，
即 ①
当 时， ，代入①得 .②
由于（1）知 .
由②可 ，由此猜想 ,
