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专题 08 数列专题（新定义）
一、单选题
1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列 中，定义：
为数列 的“匀称值”已知数列 的“匀称值”为 ，则该数列中
的 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江·高三开学考试）对任意正整数对 ，定义函数 如下： ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列 ，如果存在一个常数
，使得对任意的正整数 恒有 ，则称数列 是从第 项起的周期为T的周期数列．
已知周期数列 满足： ， ， （ ），则 （ ）
A． B． C． D．1
4．（2023秋·福建南平·高二统考期末）若数列 的前n项和为 ， ，则称数列 是数列
的“均值数列”．已知数列 是数列 的“均值数列”且 ，设数列 的前n项和为，若 对 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）对于一个 项数列
，记 的“Cesaro平均值”为 ，若数
列 的“Cesaro平均值”为2022，数列 的“Cesaro平均值”为2046，则
（ ）
A．24 B．26 C．1036 D．1541
6．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）等比数列 中 ，公比 ，用
表示它的前 项之积，则 ， ，…， 中最大的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）如果数列 满足 （k为常数），那么数列
叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（ ）
①若数列 满足 ，则该数列是等比差数列；
②数列 是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列．
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
8．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）定义在 上的函数 ，如果对于任意给
定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：① ；② ；③ ；④ ，其中是“保等
比数列函数”的序号为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
9．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）若数列 满足 ，则称 为“必会数列”，已
知正项数列 为“必会数列”，若 ，则 （ ）.
A． B．1 C．6 D．12
10．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设 是无穷数列，若存在正整数 ，使得对任意的 ，均
有 ，则称 是间隔递增数列， 是 的间隔数.若 是间隔递增数列，则数列 的通项不
可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）对于数列 ，若存在正整数 ，使得 ， ，则称
是数列 的“谷值”，k是数列 的“谷值点”．在数列 中，若 ，则数列 的
“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，5，7
12．（2023·全国·高二专题练习）若数列 满足 ，则称 为“对奇数列”．已知正项数列
为“对奇数列”，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．13．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设 表示落在区间 内的偶数个数.在等比数列
中， ， ，则 （ ）
A．21 B．20 C．41 D．40
14．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列 ，定义 为数列
的“加权和”，已知某数列 的“加权和” ，记数列 的前n项和为 ，若
对任意的 恒成立，则实数p的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·高三专题练习）若数列 满足：若 ，则 ，则称数列 为
“等同数列”．已知数列 满足 ，且 ，若“等同数列” 的前 项和为 ，且
， ， ，则 （ ）
A．4711 B．4712 C．4714 D．4718
16．（2022·全国·高三专题练习）设数列 ，若存在常数 ，对任意小的正数 ，总存在正整数 ，当
时， ，则数列 为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（ ）
A．若等比数列 是收敛数列，则公比
B．等差数列不可能是收敛数列
C．设公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，则数列 一定是收敛数列
D．设数列 的前 项和为 ，满足 ， ，则数列 是收敛数列17．（2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列 ： ， ，…， ，
若存在公比为q的等比数列 ： ， ，…， ，使得 ，其中 ，2，…，m，则称数
列 为数列 的“等比分割数列”.若数列 的通项公式为 ，其“等比分割
数列” 的首项为1，则数列 的公比q的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列{an}满足
……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}
的前n项和Sn满足 ，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．（-∞，1）
C． D．（1， +∞）
19．（2022·浙江·高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积
6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，
3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得
到的数列记为 ，则 的值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．108
二、多选题
20．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列 满足：对任意正整数
为递减数列，则称数列 为“差递减数列”．给出下列数列 ，其中是“差递减
数列”的有（ ）A． B．
C． D．
21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列 满足： ， ，使得
对于 ，都有 ，则称 具有“三项相关性”，下列说法正确的有（ ）.
A．若数列 是等差数列，则 具有“三项相关性”
B．若数列 是等比数列，则 具有“三项相关性”
C．若数列 是周期数列，则 具有“三项相关性”
D．若数列 具有正项“三项相关性”，且正数 ， 满足 ， ，数列 的通项公式
为 ， 与 的前 项和分别为 ， ，则对 ， 恒成立
22．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那
契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用 表示
斐波那契数列的第n项，则数列 满足： ， ，记 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C． D．
23．（2023秋·河北邯郸·高二统考期末）若 不是等比数列，但 中存在互不相同的三项可以构成等
比数列，则称 是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（ ）A． B． C． D．
24．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列 是各项均为正数且公比不等于1的等
比数列 ，对于函数 ，若数列 为等差数列，则称函数 为“保比差数列函数”，
则定义在 上的如下函数中是“保比差数列函数”的有（ ）
A． 为“保比差数列函数” B． 为“保比差数列函数”
C． 为“保比差数列函数” D． 为“保比差数列函数”
25．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列 中，若 为常数），则称
为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A． 是平方等差数列
B．若 是平方等差数列，则 是等差数列
C．若 是平方等差数列，则 为常数）也是平方等差数列
D．若 是平方等差数列，则 为常数）也是平方等差数列
26．（2023秋·山西吕梁·高二统考期末）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，
这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；
第二次得到数列1，4，4，16，4， ，设第n次“美好成长”后得到的数列为 ，并记
，则（ ）
A． B．C． D．数列 的前n项和为
27．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在
数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数
列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…；第
次得到数列1， ， ， ，…， ,2．记 ，数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
28．（2022春·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）对于数列 ，若存在正整数 ，使得对任意正
整数 ，都有 （其中 为非零常数），则称数列 是以 为周期，以 为周期公比的“类周期
性等比数列”.若“类周期性等比数列”的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列 前
21项的和为__．
29．（2022秋·福建泉州·高二统考期末）对于数列 ，记： …，
（其中 ），并称数列 为数列 的k阶商分数列.特殊地，当 为非零常数数列
时，称数列 是k阶等比数列.已知数列 是2阶等比数列，且 ，若 ，
则m=___________.30．（2023·河南郑州·统考一模）“外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一
项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个
1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2
个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推
出数列后面的项．则对于外观数列 ，下列说法正确的有______．
①若 ，则从 开始出现数字2；
②若 （ ，2，3，…，9），则 的最后一个数字均为k；
③ 不可能为等差数列或等比数列；
④若 ，则 均不包含数字4．
31．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）设数列 的前n项和为 ，对任意
都有 （t为常数），则称该数列为“t数列”，若数列 为“2数列”，且 ，则
______.
32．（2023秋·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期末）定义n个正数 的“均倒数”为 ，
若各项均为正数的数列 的前n项的“均倒数”为 ，则 的值为______
33．（2023秋·安徽淮北·高二淮北一中校考期末）对给定的数列 ，记 ，则称数列
为数列 的一阶商数列；记 ，则称数列 为数列 的二阶商数列；以此类推，可得数列
的P阶商数列 ，已知数列 的二阶商数列的各项均为 ，且 ，则___________．
34．（2022秋·上海·高二期中）定义:对于任意数列 ,假如存在一个常数 使得对任意的正整数 都有
,且 ,则称 为数列 的“上渐近值”．已知数列 有 （ 为常数,且
）,它的前 项和为 ,并且满足 ,令 ,记数列 的“上渐近
值”为 ,则 的值为 _____．
35．（2023·高二课时练习）定义：各项均不为零的数列 中，所有满足 的正整数 的个数称为
这个数列 的变号数.已知数列 的前 项和 （ ， ），令 （
），若数列 的变号数为2，则实数 的取值范围是___________.
36．（2023春·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）已知数列 满足
，定义使 （ ）为整数的k叫做“幸福数”，则区间
内所有“幸福数”的和为_____．
37．（2022春·高二单元测试）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项
的之和，构造一个新的数列，现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，
6，11，5，依此类推，第n次得到数列1， ， ， ，…，5.记第n次得到的数列的各项之和为 ，则
的通项公式 ______.
38．（2022·黑龙江绥化·绥化市第一中学校考模拟预测）定义：若有穷数列 ， ，…， ，满足 ， ，…， ，即 （ ，且 ），则称该数列为“对称数列”．若
数列 是项数为 的对称数列，且 ， ，…， 构成首项为 ，公差为 的等差数列，
记数列 的前 项的和为 ，则 取得最大值时 的值为__________．
39．（2020秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的
和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列 是等和数列，
且 ，则这个数列的前 项的和为____.
40．（2020秋·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的
积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积.已知数列 是等积数列，且
，公积为 ，那么这个数列的前 项的和为____.
四、解答题
41．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设数列 的前 项和为 .若
，则称 是“紧密数列”.
(1)已知数列 是“紧密数列”，其前5项依次为 ，求 的取值范围;
(2)若数列 的前 项和为 ，判断 是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列 是公比为 的等比数列.若数列 与 都是“紧密数列”，求 的取值范围.
42．（2023·全国·高三专题练习）对于给定的正整数k，若数列 满足：，对任意正整数 总成立，则称数列 是“P
（k）数列”．若数列{an}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明： 是等差数列．
43．（2023春·安徽淮北·高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如果一个数列的各项都是实数，
且从第 项开始，每一项与前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做这个
数列的公方差．
(1)设数列 是公方差为 的等方差数列，且 ，求数列 的通项公式；
(2)若数列 既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列 为常数列．
44．（2022春·上海黄浦·高三校考阶段练习）对于给定数列 ，如果存在实常数 、 使得
对于任意 都成立，我们称数列 是“ 类数列”．
(1)若 ， ， ，数列 、 是否为“ 类数列”？
(2)若数列 是“ 类数列”，求证：数列 也是“ 类数列”；
(3)若数列 满足 ， ， 为常数．求数列 前2022项的和．
45．（2023·高二课时练习）定义：称 为 个正数 ， ，…， ，的“均倒数”．已知
数列 的前 项的“均倒数”为 ，
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，试判断并说明 （ 为正整数）的符号；
(3)设函数 ，是否存在最大的实数 ，当 时，对于一切的自然数 都有
．
