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4.3.1 等比数列（2）
一、单选题
1．已知数列 中， ， ，则 等于（ ）
A．18 B．54 C．36 D．72
【答案】B
【解析】数列 中， ， ，
数列 是等比数列，公比 ．
则 ．
故选B．
2． 和 的等比中项是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】设等比中项为a，则， ，
故选C．
3．已知数列 是等比数列，函数 的两个零点是 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由韦达定理可知 ， ，则 ， ，从而 ，
且 ，
故选D
4．已知数列 为等比数列，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，所以 ．又 ，
所以 或 （由于 与 同号，故舍去）．所以 ，
因此 ．
故选A
5．数列 中， ， ，则 （ ）
A．32 B．62 C．63 D．64
【答案】C
【解析】数列 中， ，故 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 ，所以 为等比数列，公比为 ，首项为 .
所以 即 ，故 ，
故选C.
6．在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选A7．对于按复利计算机利息的储蓄，若本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本金和利息总和y（元）与
存期n的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】1期后的本息和为 ；2期后的本息和为 ；3
期后的本息和为 ；… 期后的本息和为 .
故选A
8．已知等比数列{ }中， + = ， ﹣ = ，则 =
A．﹣ B． C．﹣4 D．4
【答案】A
【解析】∵等比数列{a}中，a+a= ，a﹣a= ，
n 1 2 1 3
∴ ，
解得 ，
∴a= =1×（﹣ ）3=﹣ ．
4
故选A．
9．等差数列 和等比数列 的首项均为1，公差与公比均为3，则 + + =（ ）
A．64 B．32 C．33 D．38
【答案】C【解析】依题意 ，故 ，
故选C.
10．已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若 ， ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在等差数列 中，由 ，得 ， ，
，
在等比数列 中，由 ，得 ， ，
，
则 .
故选D.
11．等比数列 的公比为 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．不能确定
【答案】A
【解析】由等比数列的通项公式可得， ， ，， ，
，即 .
故选 .
12．已知数列 满足 ，令 ，
则满足 的 最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】 ，
，故 是首项为0.9，公比为 的等比数列，故 ，则
，即 ，当 时， ；当 时， ，显
然当 时， 成立，故 的最小值为10.
故选B．
二、填空题
13．设 是等比数列，且 ， ，则 的通项公式为_______．【答案】 ，
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
因此， ， .
故填 ，
14．等比数列 的各项为正数，且 ，则 _____.
【答案】10
【解析】∵等比数列 的各项均为正数，且 ，
∴ ，
∴
故填10
15．各项为正数的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则 _____．
【答案】
【解析】根据题意，等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则有又由等比数列的性质可得：
则
故填 ．
16．已知数列 满足 且 ，则数列 的通项公式为__________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
即数列 为首项3，公比为3的等比数列，
则 = ，
所以 ．
故填 .
17．已知数列 中， ，且对于任意正整数m，n都有 ，则数列 的通项公式是
___________.
【答案】
【解析】数列 中，令 ，得 ，又 ，
所以 是首项和公比均为2的等比数列，
则 .
故填
18．各项均为正偶数的数列 中，前三项依次成公差为 的等差数列，后三项依次成公比为 的等比数列.若 ,则 的所有可能的值构成的集合为________.
【答案】
【解析】因为前三项依次成公差为 的等差数列， ，所以这四项可以设为
，其中 为正偶数，后三项依次成公比为 的等比数列，所以有
，整理得 ，得 ，
， 为正偶数，所以
当 时， ；当 时， ，不符合题意，舍去；当 时，
，故 的所有可能的值构成的集合为 .
故填
三、解答题
19．数列 满足 ,
（1）写出数列的前 项；
（2）由（1）写出数列 的一个通项公式；
【解析】（1）由已知可得 ， ， ， ， .（2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，
所以它的一个通项公式为 .
20．已知数列 满足 ， .
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式.
【解析】（1） ，
，
因此，数列 是等比数列；
（2）由于 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
，因此， .
21．已知数列 满足 ，且 ，求：
（1）数列 的前3项；
（2）数列 的通项公式.
【解析】（1） ,且，
（2）由题可令：
又 ，
故数列 是以2为公比的等比数列，且首项-5
22．已知等比数列 的首项为1，公比为2，数列 满足 ， ， ．
（1）证明 为等差数列；求数列 的通项公式；
（2）求数列 的最大项．
【解析】（1）根据等比数列的通项公式，得 ， ， .
因为
所以 ，且 ，
所以数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
所以 ，
当 时，，
又 ，满足上式，因此 ．
（2）设 ，
所以 ，
所以 ，故 的最大值为 ．
