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专题 14 集合，复数，逻辑语言专题（数学文
化）
一、单选题
1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣
1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数 满足 ，则 的共
轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得 ,然后利用共轭复数的概念判定.
【详解】解： ,
故选：C.
2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将
数据整理如图所示，其中集合S表示（ ）
A．无症状感染者 B．发病者 C．未感染者 D．轻症感染者
【答案】A
【分析】由 即可判断S的含义.
【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，
所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，
故选：A.
3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若 ，则 ”为真命题，则“由可以推出 ”，即一旦 成立， 就成立， 是 成立的充分条件.也可以这样说，若 不成立，那么 一
定不成立， 对 成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常
之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”
的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.
【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，
故选：B.
4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔
如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，
如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.
【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的
阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.
因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.
故选：C
5．（2020·陕西榆林·统考一模）在复平面内，复数 （ ， ）对应向量 （O为坐标原点），
设 ，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为 ，则 ，法国数学家棣莫弗发现
了棣莫弗定理： ， ，则 ，
由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式： ，已知 ，则（ ）
A． B．4 C． D．16
【答案】D
【解析】根据复数乘方公式： ，直接求解即可.
【详解】
，
.
故选：D
【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复
数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.
6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理
之一，它说的是：任何一元 次复系数多项式 在复数集中有 个复数根（重根按重数计）那么
在复平面内使 除了1和 这两个根外，还有一个复数根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用方程根的意义，把 代入方程，经化简变形即可得解.
【详解】因 是方程 的根，即
，
所以 是方程 的根.
故选：B
7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式 （ 为虚数单
位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有
非常重要的地位.根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据欧拉公式代入求解即可.
【详解】解：根据欧拉公式 ，
得 ，
即它在复平面内对应的点为 ，
故位于第二象限.
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔
创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数 ， 且
(其中i是虚数单位 ，则复数 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，设 ，再列式求 ，即可得到复数.
【详解】设 ， ，①
，得 ，且 ②，
由①②解得： ， ，
所以 .
故选：C
9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别
独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程 ，它
的两个虚数根分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据方程根的定义进行验证．
【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD，
A选项， ，
因此选项A正确，则选项B错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．
故选：A．
10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数
到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了 ，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用 表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平
面”．若复数z满足方程 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.
【详解】设 ，因 ，则 ，
即 ，而 ，则 ，解得 ，
所以 .
故选：C
11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作 孙子算经 下卷有题：今有物，不知其数 三三数之，
剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二 问：物几何？现有如下表示：已知 ，
， ，若 ，则下列选项中符合题意的整数 为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将选项中的数字逐一代入集合 、 、 的表达式，检验是否为 、 、 的元素，即可选出正
确选项．
【详解】因为 ，则 ，选项A错误；
，则 ，选项B错误；
，则 ，选项C错误；
，故 ； ，故 ； ，故 ，则 ，选项D正
确.
故选：D．
12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘
的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳
不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数
是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合 ，则 的子集个数
为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据自恋数的定义可得集合 ，再根据交集的定义求出 ，从而可得答案.
【详解】解：依题意， ， ，
故 ，故 的子集个数为8．
故选：D．
13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分
数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （
），则 是 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 ，若令 ，则第
一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ，若每次都取最简分数，那么第三
次用“调日法”后可得 的近似分数为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案.
【详解】第一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ；第二次用“调日法”
后得 是 的更为精确的过剩近似值，即 ；第三次用“调日法”后得 是 的更为精确的不足
近似值，即 ，所以答案为 .
故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.
14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，
它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质
量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买 黄金，售货员先将
的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘
使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
【答案】A
【分析】设天平左臂长为 ，右臂长为 （不妨设 ），先称得的黄金的实际质量为 ，后称得的黄金
的实际质量为 .根据天平平衡，列出等式，可得 表达式，利用作差法比较 与10的大小，即
可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为 ，右臂长为 （不妨设 ），
先称得的黄金的实际质量为 ，后称得的黄金的实际质量为 .
由杠杆的平衡原理： ， ．解得 ， ，
则 .
下面比较 与10的大小：（作差比较法）
因为 ，
因为 ，所以 ，即 .
所以这样可知称出的黄金质量大于 .
故选：A
15．（2022·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为
如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果 ，那么
D．对任意实数a和b，有 ，当且仅当 时，等号成立
【答案】D
【分析】直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，则 ，利用大正方形的面积与四个直
角三角形面积和的不等关系得结论．
【详解】直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，则 ，
在正方形的面积为 ，四个直角三角形的面积和为 ，因此有 ，即 ，当且仅当
时，中间没有小正方形，等号成立．
故选：D．
16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问
题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示
图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF
与线段CF的长度完成的无字证明为（ ）
A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．
C． （a＞0，b＞0） D． （a＞0，b＞0）【答案】C
【分析】由图形可知 ， ，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合
CF≥OF即可得出.
【详解】解：由图形可知， ， ，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
CF＝ ，
∵CF≥OF，
∴ ，
故选：C.
17．（2022·全国·高三专题练习） 世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，
使复数及其运算具有了几何意义，例如 ，也即复数 的模的几何意义为 对应的点 到原点的距离．
已知复数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数几何意义可得 的轨迹为圆 ，从而将问题转化为点 到点 的距
离，则所求最大值为圆心到 的距离加上半径.
【详解】 ， 对应的点 的轨迹为圆 ；
的几何意义为点 到点 的距离，
.
故选：C.
18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式，（其中 是虚数单位， 是自然对数的底数， ），这个公式在复变论中有非常重要
的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.
【详解】对于A， ，所以 ，故A不正确；
对于B， ， ，
所以 ，故B正确；
对于C， ， ，
所以 ，故C不正确；
对于D，
，故D不正确.
故选：B.
19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到 世纪，直到 年，德
国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分
割，是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ，且满足 ， ， 中的每一个
元素都小于 中的每一个元素，则称 为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割 ，下列选
项中一定不成立的是（ ）
A． 没有最大元素， 有一个最小元素
B． 没有最大元素， 也没有最小元素
C． 有一个最大元素， 有一个最小元素
D． 有一个最大元素， 没有最小元素
【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法
则说明C选项错误
【详解】若 ， ；则 没有最大元素， 有一个最小元素 ；故A正确；
若 ， ；则 没有最大元素， 也没有最小元素；故B正确；
若 ， ； 有一个最大元素， 没有最小元素，故D正确；
有一个最大元素， 有一个最小元素不可能，故C不正确.
故选：C
20．（2021春·安徽·高三校联考阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为
丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知
则该方程的整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】原方程可化为 ，所以 即 ， 再列举每
种情况即可.
【详解】设此方程的解为有序数对 ，
因为
所以
当 或 时，等号是不能成立的，
所以 即 ，
（1）当 时， 即
（2）当 时， 即 或
（3）当 时， 即综上所述，共有四组解
故选：D
21．（2022秋·四川成都·高一成都七中校考期中）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高
提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并
证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（
）．
A． B．10 C． D．
【答案】C
【分析】先由勾股定理得 ，再利用基本不等式易得 ，由此得到 ，
问题得解.
【详解】不妨设该直角三角形的斜边为 ，直角边为 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
因为 ，所以 ，
所以该直角三角形周长 ，即这个直角三角形周长的最大值为 .
故选：C.
22．（2017·湖北·校联考一模）我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积
和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误命题的个数是
对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；
如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆；
圆 的一个太极函数为 ；
圆的太极函数均是中心对称图形；奇函数都是太极函数；
偶函数不可能是太极函数.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】由定义可知过圆 的任一直线都是圆 的太极函数，故 正确；当两圆的圆心在同一条直线上时，
那么该直线表示的函数为太极函数，故 错误；∵ ，∴ 的图象关于点
成中心对称，又∵圆 关于点 成中心对称，故 可以为圆
的一个太极函数，故 正确；太极函数的图象一定过圆心，但不一定是中心对称图形，
例如：
故 错误；奇函数的图象关于原点对称，其图象可以将任意以原点为圆心的圆面积及周长进行平分，故奇
函数可以为太极函数，故 正确；如图所示偶函数可以是太极函数，故 错误；则错误的命题有3个，故选B.
二、多选题
23．（2021春·广东梅州·高二统考期末）欧拉公式 （其中 为虚数单位， ）是由瑞
士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，
在复变函数论里而占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是（
）
A．复数 对应的点位于第一象限 B． 为纯虚数
C．复数 的模长等于 D． 的共轭复数为
【答案】AC
【分析】根据欧拉公式计算出各复数，再根据复数的几何意义，纯虚数的概念，复数模的计算公式，共轭
复数的概念即可判断各选项的真假．
【详解】对A， ，因为 ，所以 ，即复数 对应的点 位于
第一象限，A正确；
对B， ， 为实数，B错误；
对C， ，
则复数 的模长为：，C正确；
对D， ，共轭复数为 ，D错误．
故选：AC．
24．（2022春·广东梅州·高一统考期末）欧拉公式 （本题中 为自然对数的底数，i为虚数
单位）是由瑞士若名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非
常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．复数 在复平面内对应的点位于第二象限
C．复数 的共轭复数为
D．复数 在复平面内对应的点的轨迹是圆
【答案】ABD
【分析】由欧拉公式和特殊角的三角函数值可判断A；由欧拉公式和三角函数在各个象限的符号可判断
B；由欧拉公式和共轭复数的概念可判断C；由欧拉公式和复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A， ，A正确；
对于B， ， ，
复数 在复平面内对应的点位于第二象限，B正确；
对于C， ，共轭复数为 ，C错误；
对于D， ，在复平面内对应的点为 ，
又 ， 在复平面内对应的点的轨迹是圆.
故选：ABD.
25．（2022·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也
对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对
所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；② ，
使得 ，有 ，③ ， ，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说
法正确的有（ ）
A． 关于数的乘法构成群
B．G={x|x= ，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D． 关于数的加法构成群
【答案】CD
【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.
【详解】对于A：若 ，对所有的a、 ，有 ，
满足乘法结合律，即①成立，满足②的 为1，
但当 时，不存在 ，使得 ，即③不成立，
即选项A错误；
对于B：因为 ，且 ，但 ，
所以选项B错误；
对于C：若 ，对所有的a、 ，有 ，
满足加法结合律，即①成立，满足②的 为0，
， ，使 ，即③成立；
即选项C正确；
对于D：若 ，所有的 、 ，
有 ， 成立，
即①成立；当 时， ，满足的 ，即②成立；
， ，使 ，即③成立；
即选项D正确.故选：CD.
26．（2020秋·江苏盐城·高二江苏省东台中学校考期中）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五
步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了
这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为 和 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角
形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图2
所示的矩形，该矩形长为 ，宽为内接正方形的边长 .由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，
如图3.设 为斜边 的中点，作直角三角形 的内接正方形对角线 ，过点 作 于点 ，
则下列推理正确的是（ ）
①由图1和图2面积相等得 ；
②由 可得 ；
③由 可得 ；
④由 可得 .
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABCD
【解析】根据图1，图2面积相等，可求得d的表达式，可判断A选项正误，由题意可求得图3中
的表达式，逐一分析B、C、D选项，即可得答案.
【详解】对于①：由图1和图2面积相等得 ，所以 ，故①正确；对于②：因为 ，所以 ，所以 ，
设图3中内接正方形边长为t，根据三角形相似可得 ，解得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，整理可得 ，故②正确；
对于③：因为 为斜边 的中点，所以 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，故③正确；
对于④：因为 ，所以 ，整理得： ，故④正确；
故选：ABCD
【点睛】解题的关键是根据题意及三角形的性质，利用几何法证明基本不等式，求得 的表达式，
根据图形及题意，得到 的大小关系，即可求得答案，考查分析理解，计算化简的能力.
27．（2022秋·黑龙江佳木斯·高一桦南县第一中学校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法（以几何方
法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够
通过图形实现证明，也称为无字证明.现有如图所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且
.设 ， ， ，垂足为 ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．【答案】AC
【解析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果．
【详解】解：根据图形，利用射影定理得： ，
由于： ，
所以： ．
由于 ，
所以
所以由于 ，
整理得： ．
故选： ．
【点睛】关键点点睛：射影定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维
能力，属于基础题型．
28．（2022秋·辽宁大连·高一大连八中校考阶段练习）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长
度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是
如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分
割比例，且腿长为 ，头顶至脖子下端的长度为 ，则其身高可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】设身高为 ，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，计算可估计身高.
【详解】设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点 ,假设身高为 ，即 ，人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ， , .
，且 ， ， , ，
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比均是 ， , ,
,且 ， ， ，
, ,
由题意可得 ， ， ， ,故BC正确.
故选：BC
29．（2021秋·全国·高一期末）早在西元前 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调
和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称 为正数 的算术平均数， 为正数 的几何平均数，并把这
两者结合的不等式 叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则 最小值为
C．若 ， ，
D．若实数 满足 ， ， ，则 的最小值是
【答案】CD
【分析】通过反例可知A错误；根据基本不等式“ ”的应用可求得BC正误；令 ， ，
将所求式子化为 ，利用基本不等式可知D正确.
【详解】对于A，若 ， ，则 ，A错误；
对于B， ， ， ， ，
（当且仅当 ，即 时取等号），即
的最小值为 ，B错误；
对于C， ， ， ，又 ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
C正确；
对于D，令 ， ，则 ，（当且仅当
时取等号），即 的最小值是 ，D正确.
故选：CD.
30．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把
“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，不等号的引入对不等式的
发展影响深远．若a，b， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
【答案】BCD
【分析】利用不等式性质结合可判断A，根据指数函数的性质可判断B，根据不等式性质结合对数函数的
性质可判断C，根据幂函数的性质可判断D.
【详解】A中， 时，则 ，错误；
B中，因为 ， ，所以 成立，正确；
C中，因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，正确；
D中，由 ，可得 ，又 ，所以 ，正确.
故选：BCD.
三、填空题
31．（2022·全国·高三专题练习）中国古代数学著作《九章算术》中记载了平方差公式，平方差公式是指
两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.若复数 （i为虚数单位），则__________．
【答案】
【分析】先要平方差公式，再按照复数的四则运算规则计算即可.
【详解】 ；
故答案为： .
32．（2022·全国·高三专题练习）毛泽东同志在《清平乐●六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈
指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的__________条件（填“充分不必
要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】“好汉” “到长城”， “到长城” “好汉”，
所以“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
33．（2022·高一课时练习）中国古代数学专著《孙子算经》中有一问题“今有三女，长女五日一归，中女
四日一归，少女三日一归，问：三女几何日相会？”，则此三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举
法可表示为______，此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为______.
【答案】
【分析】根据题设集合元素为5，4，3的公倍数，进而应用列举法、描述法分别写出集合即可.
【详解】因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，
所以三女前三次相会经过的天数组成的集合用列举法可表示为 .
此三女相会经过的天数组成的集合用描述法可表示为 .
故答案为： ，
34．（2022秋·江苏扬州·高一校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是指以几何方法研究代数问题，
这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实
现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示， 为线段 上的点，且 ， ， 为 的中
点，以 为直径作半圆．过点 作 的垂线交半圆于 ，连接 ， ， ，过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线 ，使得 ．该图形完成 的无字证明．
图中线段__________的长度表示 ， 的调和平均数 ，线段______________的长度表示 ， 的平方
平均数 ．
【答案】 DE DG
【分析】根据△ACD∽△DCB得到 ，进而由 得到 ，由
得到 ，进而由勾股定理求出 .
【详解】因为 ， ，所以 ，
因为 为直径，所以 ，
因为 ，则∠ACD=∠BCD=90°，
又∠DAC+∠ADC=90°，∠ADC+∠BDC=90°，
所以∠DAC=∠BDC，
所以△ACD∽△DCB，
所以 ，
所以 ，
因为 为 的中点，故O为圆心，
所以 ，
因为过点 作 的垂线，垂足为 ，可证得 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，结合 ，
可得：
所以 ，
所以 ，
故 ，
由勾股定理得：
故答案为：DE，DG
35．（2022秋·浙江温州·高三温州中学校联考期末）我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一
个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几
两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
则一共有____________人，每个人分得____________两银子”.
【答案】 36 24
【分析】设共有 人，则每人分得 两银子，由条件可得 ，解出即可.
【详解】设共有 人，则每人分得 两银子，
因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去）所以一共有36人，每人分得24两银子
故答案为：36；24
36．（2023·全国·高三专题练习）著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率
论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式： ，
其中 ， .已知 ，根据这个公式可知 ______.
【答案】2
【分析】根据题中所给公式进行求解即可.
【详解】根据棣莫佛公式，
由 ，
因为 ，所以 ，
故答案为：
37．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第八十三中学校考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日
法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 的不足近似值和过剩近似值分别
为 和 ， ，则 是 的更为精确的近似值．已知 ，试以上述 的不足近似
值 和过剩近似值 为依据，那么使用两次“调日法”后可得 的近似分数为 ________ ．
【答案】
【解析】根据题中所给定义及数据，可得第一次使用“调日法”可得近似分数，与 比较，进行第二次运
算，即可得答案.
【详解】因为 ，
所以第一次使用“调日法”可得近似分数为 ，
所以 ，所以 ，
所以第二次使用“调日法”可得近似分数为 .
故答案为：
38．（2021·江苏·高一专题练习）由于无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数
学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续200多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是
指将有理数集Q划分成两个非空的子集M与N，且满足 ， ，M中的每一个元素都小
于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割 ，下列选项中一定
不成立的是________.
①M没有最大元素，N有一个最小元素；
②M没有最大元素，N也没有最小元素；
③M有一个最大元素，N有一个最小元素；
④M有一个最大元素，N没有最小元素；
【答案】③
【解析】根据新定义，并正确列举满足条件的集合 ，判断选项.
【详解】①若 ， ，则集合 没有最大值， 中有最小元素0，故①正确；
②若 ， ，则 中没有最大元素， 也没有最小元素，故②正确；
③假设③正确，则 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故③不正确；
④若 ， ，集合 有最大值， 没有最小值，故④正确；
故答案为：③.
【点睛】本题是创新型题型，以新定义为背景，考查有理数集的交集和并集，属于中档题型，本题的关键
是理解题中的新定义，并合理举例.
四、解答题
39．（2022秋·江苏盐城·高一盐城中学校考阶段练习）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途
径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，
使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察：（2）整体设元：
（3）整体代入：（4）整体求和等.例如， ，求证： .证明：原式
.波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现
后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征.阅读材料二：基本不等
式 ，当且仅当 时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.例如：在 的条件
下，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
【答案】 时有最小值，最小值为2
【分析】根据题意利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
即 ，当且仅当 ，即 时， 有最小值，最小值为2.
