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2024届新高考二轮复习第六讲：平面向量
6. 已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则（ ）
A. 是一个半径为 的圆 B. 是一条与 相交的直线
C. 上的点到 的距离均为 D. 是两条平行直线
题型一：平面向量的线性运算
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头市）在平行四边形 中，点 是 上靠近 的四等分点， 与 交于
点 ，则 （ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A. B.
C. D.
【变式训练】
1.（2024春·江西南昌）在 中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三
等分点，则 （ ）
A． B． C． D ．
2.（2024春·辽宁辽阳）在 中， ，D为AB的中点， ，P为CD上一点，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
3.（2024春·江苏南京）如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”
字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边
沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下
角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ）
A． B．
C． D．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故选：C．
题型二：平面向量的数量积运算
【典例例题】
例1.（2024春·湖南长沙） 已知单位向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（
）
A. B. C. D.
【变式训练】
1.（2024春·河北衡水）若 都为非零向量，且 ， ，则向量 的夹角为
（ ）
A. B. C. D.
2.（2024春·广东省）已知非零向量 与 满足 ，且 ，则向量 在
向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024春·新疆）已知向量 ， ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·河南郑州）已知向量 在 方向上的投影向量的模为 ，向量 在 方向上的投影向量的模
为1，且 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
A. B. C. D.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型三：平面向量的坐标表示及运算
【典例例题】
例1.（2024春·北京朝阳）在 中， ，当 时， 的最小值为 .若
， ，其中 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.（2024春·湖北省）在四边形 中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是 ， ， ，
，E，F分别为 的中点，则 （ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
2.（2024春·江西省）在平面直角坐标系 中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 ，则满足
不等式 的点 的集合用阴影表示为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2024春·安徽合肥） 已知向量 ， ，若 与 共线，则向量 在向量
上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.（2024春·广东省东莞市）已知向量 ， ，则使 成立的一个充
分不必要条件是______________．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型四：平面向量在几何中的应用
【典例例题】
例1.（2024春·黑龙江）在 中，若 ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.（2024 春·广东惠州市）如图，在三棱锥 中，已知 平面 ， ，
，则向量 在向量 上的投影向量为___________（用向量 来表示）.
2.（2024春·江西省）在 中，已知D为边BC上一点， ， ．若 的最大值
为2，则常数 的值为（ ）
A． B． C． D．
3.（2024·江西）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六
边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
4．（2024春·云南保山）如图，已知正方形 的边长为4，若动点 在以 为直径的半圆上（正方形
内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
一、单项选择
1.（2024春·广东省）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
B.3 C.4 D.
A.2
2.（2024春·新疆）已知向量 ， ，则“ // ”是 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．（2024·江西南昌）在 中， 是边 上一点，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
4.（2024春·湖南衡阳）已知圆 的半径为1，过圆 外一点 作一条切线与圆 相切于点 ， ，
为圆 上一个动点，则 的取值范围为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
5．（2024春·广东广州）如图所示，O点在 内部， 分别是 边的中点，且有
，则 的面积与 的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选
6.（2024春·广西桂林）已知 是夹角为 的单位向量， ， ，下列结论正确的是
（ ）
A. B.
C. D. 在 上的投影向量为
7.（2024春·贵州）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，且 ，则 为直角三角形
B．若 ， ， ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若 平面内有一点 满足： ，且 ，则 为等边三角形
D．若 ，则 为钝角三角形
8．（2024春·湖北武汉）已知向量 ， ，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C． 的最大值为6 D．若 ，则
三、填空题
9.（2024 春·广东华侨中学）已知 ， ，且 ，则 在 上的投影向量为
_______.
10.（2024春·广东深圳市）已知单位向量 满足 ，则 __________.
11.（2024春·吉林）已知向量 ， ，则 ______．
12.（2024春·安徽）等边三角形 的边长是 ， 分别是 与 的中点，则
__________.
13．（2024春·河北衡水）在 中， 是边 的中点， ，过点 的直线 交直线 分别
于 两点，且 ，则 .
14．（2024春·陕西西安）在 中， 在 上，且 ， 在 上，且 .若
，则 .
15．（2024春·天津和平）如图，在 中， ，过点 的直线分别交直线 于不同的两点
，记 ，用 表示 ；设 ，若 ，则
的最小值为 ．
16．（2024春·天津）在梯形 中， 分别为线段更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
和线段 上的动点，且 ，则 的取值范围为 ．
17．（2024春·广西）在矩形 中， ， ， ， ，过M点作
交 于N点，若E，F分别是 和 上动点，且 ，则 的最小值为 .
18．（2024春·北京大兴）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆 ，外框是以为 中心，边长
为2的正六边形 ，则 到线段 的距离为 ；若 是圆 上的动点，则 的取
值范围是 .
