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2024届新高考二轮复习第六讲：平面向量
6. 已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则（ ）
A. 是一个半径为 的圆 B. 是一条与 相交的直线
C. 上的点到 的距离均为 D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】
【详解】设 ，由 ，则 ，
由 在直线 上，故 ，
化简得 ，即 的轨迹为 为直线且与直线 平行，
上的点到 的距离 ，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型一：平面向量的线性运算
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头市）在平行四边形 中，点 是 上靠近 的四等分点， 与 交于
点 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】平行四边形 中, ，则 ∽ ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
因为点 是 上靠近 的四等分点，所以 ，
所以 ，
故 ．
故选：B．
【变式训练】
1.（2024春·江西南昌）在 中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三
等分点，则 （ ）
A． B． C． D ．
【答案】D
【详解】如图，由题意得 ， ，
故
；
2.（2024春·辽宁辽阳）在 中， ，D为AB的中点， ，P为CD上一点，且
，则 （ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为D为AB的中点，则 ，
可得 ，即 ，解得 ，
又因为P为CD上一点，设 ，
则 ，
可得 ，解得 ，即 ，
则 ，
可得 ，即 .
故选：D.
3.（2024春·江苏南京）如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”
字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边
沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下
角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【详解】不妨设 ，则 ，
对于A项，显然 与 方向不一致，所以 ，故A项错误；
对于B项，由图知 是钝角，则 ，故B项错误；
对于C项，由题意知点 是线段 的中点，则易得： ,即得： ，故C项
正确；
对于D项，由 ，而 与 显然不共线，故
即 项错误．
故选：C．
题型二：平面向量的数量积运算
【典例例题】
例1.（2024春·湖南长沙） 已知单位向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，解得 .
所以 在 方向上的投影向量为 .
故选:A.
【变式训练】
1.（2024春·河北衡水）若 都为非零向量，且 ， ，则向量 的夹角为更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ， ，所以 ，
即 ，
化简得 ，所以 ．
所以 ．因为 ，所以 ．
故选：D．
2.（2024春·广东省）已知非零向量 与 满足 ，且 ，则向量 在
向量 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 和 分别表示向量 和向量 方向上的单位向量，
由 ，可得 的角平分线与 垂直，
所以 为等腰三角形，且 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
又 ，得 ，所以 ，
又 ，所以 ,
所以 为等边三角形，
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，
故选：B.
3.（2024春·新疆）已知向量 ， ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由 可得 ，所以 ，
同理由 和 可得
所以 ，
故 ，
故选：D
4.（2024春·河南郑州）已知向量 在 方向上的投影向量的模为 ，向量 在 方向上的投影向量的模
为1，且 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
A. B. C. D.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】B
题型三：平面向量的坐标表示及运算
【典例例题】
例1.（2024春·北京朝阳）在 中， ，当 时， 的最小值为 .若
， ，其中 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如下图所示：
在直线 上取一点 ，使得 ，
所以 ，当 时， 取得最小值为 ，即 ；
又 ，所以可得 是以 为顶点的等腰直角三角形，
建立以 为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又 可得 为 的中点，
由 以及 可得 在 上，
可得 ，
所以 ，可得 ，
则 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
令 ，由 可得 ，
所以 ， ，
由二次函数 在 上单调递增可得， .
故选：C
【变式训练】
1.（2024春·湖北省）在四边形 中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是 ， ， ，
，E，F分别为 的中点，则 （ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【详解】由题意，
则 ， ，
.
故选：A
2.（2024春·江西省）在平面直角坐标系 中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 ，则满足
不等式 的点 的集合用阴影表示为（ ）
A． B．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C． D．
【答案】B
【详解】由题，有 ， ，
所以 ， ，所以 ，
即 ，
所以点 的集合是以 为圆心，1为半径的圆的内部.
故选：B．
3.（2024春·安徽合肥） 已知向量 ， ，若 与 共线，则向量 在向量
上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由向量 ， ，
若 与 共线，则 ，所以 ，
，
所以向量 在向量 上的投影向量为：
，
故选：C
4.（2024春·广东省东莞市）已知向量 ， ，则使 成立的一个充
分不必要条件是______________．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
解得 ，
所以使 成立的一个充分不必要条件是 .
故答案为： （答案不唯一）
题型四：平面向量在几何中的应用
【典例例题】
例1.（2024春·黑龙江）在 中，若 ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 分别为 的中点，连接 ，
则 ，则 ∽ ，故 ,
则 ，故
又 ，则 ，
故 ，
当 时，四边形 面积最大，最大值为 ，
故 的面积的最大值为 ，
故选：D更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【变式训练】
1.（2024 春·广东惠州市）如图，在三棱锥 中，已知 平面 ， ，
，则向量 在向量 上的投影向量为___________（用向量 来表示）.
【答案】
【解析】
在三棱锥 中，已知 平面 ，
,
∵ 面 ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ,
，
∴向量 在向量 上的投影向量为：
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故答案为： .
2.（2024春·江西省）在 中，已知D为边BC上一点， ， ．若 的最大值
为2，则常数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 且 ，即 ，则 外接圆半径为 ，
若 ， 的外接圆方程为 ，
所以 ，令圆心 为 ，
即点 在圆 被 分割的优弧上运动，如下图，
要使 的最大，只需 与圆相切，由上易知 ，
则 ，而 ，由圆的性质有 ，
中 ， ，显然 ，
由 ，则 ，
所以 ，可得 （负值舍），
故 ，而 ，
所以 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
整理得 ，则 .
故选：D
3.（2024·江西）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六
边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
，
当 与正六边形的边垂直时， ，
当点 运动到正六边形的顶点时， ，
所以 ，则 ，即 .
故选：B
4．（2024春·云南保山）如图，已知正方形 的边长为4，若动点 在以 为直径的半圆上（正方形
内部，含边界），则 的取值范围为（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】取 的中点 ，连接 ，如图所示，
所以 的取值范围是 ，即 ，
又由 ，
所以 .
故选：B.
一、单项选择
1.（2024春·广东省）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
B.3 C.4 D.
A.2
【答案】A
2.（2024春·新疆）已知向量 ， ，则“ // ”是 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】若 // ，等价于 ，等价于 ，
所以“ // ”是 ”的充要条件.
故选：C.更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
3．（2024·江西南昌）在 中， 是边 上一点，且 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为 是边 上一点，故可设 ，
则 ，
因为 ，
则 ， ，
又 ，于是 ，解得 ，
因此 .
故选：C．
4.（2024春·湖南衡阳）已知圆 的半径为1，过圆 外一点 作一条切线与圆 相切于点 ， ，
为圆 上一个动点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方法一：不妨设圆心 ， ， ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
方法二：如图，过圆心 作 ，且与圆 交于点M，N，连接 ， ，
过M，N分别作 ， ，垂足分别为G，H，过 作 ，垂足为 ，
则 在 方向上的投影向量为 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ， ，
又 ，所以 .
故选：B.
5．（2024春·广东广州）如图所示，O点在 内部， 分别是 边的中点，且有
，则 的面积与 的面积的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 可得 ，
又因为 分别是 边的中点，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 三点共线，且 ，
所以 到 的距离与 到 的距离之比也为 ，
又 的面积与 的面积都以 为底，
所以 的面积与 的面积的比为 ．
故选：A
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6.（2024春·广西桂林）已知 是夹角为 的单位向量， ， ，下列结论正确的是
（ ）
A. B.
C. D. 在 上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于选项A， 是夹角为 的单位向量，
则 ，
故 ，故选项A正确；
对于选项B， ，
故选项B错误；
对于选项C， ，
所以 ，
又 ，所以 ，故选项C正确；
对于选项D， 在 上的投影向量为 ，故选项D正确.
故选：ACD
7.（2024春·贵州）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A．若 ，且 ，则 为直角三角形
B．若 ， ， ，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若 平面内有一点 满足： ，且 ，则 为等边三角形
D．若 ，则 为钝角三角形
【答案】BC
【详解】对于选项A，因为 ， ， 分别为单位向量，所以 的角平分线与
BC垂直，所以 ，所以 .又因为 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 为等边三角形，故选项A
错误；
对于选项 B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 ，因为 ， ，所以
，即 ，所以 ，故选项B正确；
对 于 C ， 因 为 ， 故 ， 即 ， 又
，所以 ，故 ，由于 ，故
，同理可得 ，结合 ，故 ，可
得 ，故 为等边三角形，C正确；
对于 D.
，
而 ，所以A，B，C都为锐角，D错误；
故选：BC.
8．（2024春·湖北武汉）已知向量 ， ，则（ ）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 的最大值为6 D．若 ，则
【答案】ACD
【详解】若 ，则 ，解得 ，A正确；
若 ，则 ，解得 ， 所以 ，B错误；
因为 ， ，而 ，
当且仅当 ， 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量 ， 的起点为
坐标原点，向量 的终点在以坐标原点为圆心，半径为 的圆上，向量
终点在第二象限，当 ， 反向，则向量 的终点应在第四象限，
此时 ， ，所以C正确；
若 ，则 ，
即 ，所以 ，
，
所以 ，D正确.
故选：ACD
三、填空题
9.（2024 春·广东华侨中学）已知 ， ，且 ，则 在 上的投影向量为
_______.
【答案】
10.（2024春·广东深圳市）已知单位向量 满足 ，则 __________.
【答案】
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，故
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11.（2024春·吉林）已知向量 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【详解】因为向量 ， ，
则 ， .
故答案为： .
12.（2024春·安徽）等边三角形 的边长是 ， 分别是 与 的中点，则
__________.
【答案】
【解析】
【详解】
.
故答案是： .
13．（2024春·河北衡水）在 中， 是边 的中点， ，过点 的直线 交直线 分别
于 两点，且 ，则 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】
【详解】由题意：
由 三点共线知， .
，
消去 ，得 .
故答案为：
14．（2024春·陕西西安）在 中， 在 上，且 ， 在 上，且 .若
，则 .
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 .
故答案为：
15．（2024春·天津和平）如图，在 中， ，过点 的直线分别交直线 于不同的两点
，记 ，用 表示 ；设 ，若 ，则
的最小值为 ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】
【详解】由题知，
，
即 .
由 ， ，
所以 ，
因为 、 、 三点共线，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
故答案为： ；
16．（2024春·天津）在梯形 中， 分别为线段
和线段 上的动点，且 ，则 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】以点 为坐标原点，直线 为 轴，过点 且垂直于直线 的直线为 轴建立如下图所示的平
面直角坐标系，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 、 、 、 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
，
所以， ，
由对勾函数的单调性可知，函数 在区间 上单调递增，
在 上单调递减，且 ， ，
则 .
因此， 的取值范围是 .
故答案为： .
17．（2024春·广西）在矩形 中， ， ， ， ，过M点作
交 于N点，若E，F分别是 和 上动点，且 ，则 的最小值为 .
【答案】
【详解】由题意，建立平面直角坐标系 ，如图所示：
过点 作 ，垂足为 ，则 ， ，
由 ， ，可设 ， , ，则 , ，由 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 ， , ，
所以 ，
当 时， 取得最小值为 ．
故答案为： ．
18．（2024春·北京大兴）如图是六角螺母的横截面，其内圈是半径为1的圆 ，外框是以为 中心，边长
为2的正六边形 ，则 到线段 的距离为 ；若 是圆 上的动点，则 的取
值范围是 .
【答案】 1
【详解】取 中点为 ，
由于正六边形 的边长为2，所以 ,
因此 到线段 的距离为 ,
建立如图所示的直角坐标系，则 ,
，
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由于 ,
故 ，
故答案为：1；
