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2024届新高考二轮复习第十一讲：圆锥曲线
1.（2）椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得 ，解得 ，
故选：A.
2. （8）设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线与 交于
两点， ，则 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
由双曲线的对称性可知 ， ，有四边形 为平行四边形，
令 ，则 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由双曲线定义可知 ，故有 ，即 ，
即 ， ，
，
则 ，即 ，故 ，
则有 ，
即 ，即 ，则 ，由 ，故 .
故选：D.
3. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，过 与 垂直的直线交 于
两点，其中 在 轴上方， 分别为 的中点．
（1）证明：直线 过定点；
（2）设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
【小问1详解】
由 ，故 ，由直线 与直线 垂直，
故两只直线斜率都存在且不为 ，
设直线 、 分别为 、 ，有 ，
、 、 、 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
联立 与直线 ，即有 ，
消去 可得 ， ，
故 、 ，
则 ，
故 ， ，
即 ，同理可得 ，
当 时，
则 ，
即
，
由 ，即 ，
故 时，有 ，
此时 过定点，且该定点为 ，
当 时，即 时，由 ，即 时，
有 ，亦过定点 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故直线 过定点，且该定点为 ；
【小问2详解】
由 、 、 、 ，
则 ，由 、 ，
故 ，
同理可得 ，联立两直线，即 ，
有 ，
即 ，
有 ，由 ，同理 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故
，
故 ，
过点 作 轴，交直线 于点 ，则 ，
由 、 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立，
下证 ：
由抛物线的对称性，不妨设 ，则 ，
当 时，有 ，则点 在 轴上方，点 亦在 轴上方，
有 ，由直线 过定点 ，
此时 ，
同理，当 时，有点 在 轴下方，点 亦在 轴下方，
有 ，故此时 ，
当且仅当 时， ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故 恒成立，且 时，等号成立，
故 ，
题型一：椭圆的方程
【典例例题】
例1.（2024春·新高考）（多选）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，P是C上一点，则
（ ）
A． B． 的最大值为8更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C． 的取值范围是 D． 的取值范围是
【答案】CD
【详解】由椭圆定义得 ， ， ，A错误；
，当 时取等号，B错误；
，设 ，则 ， ， ，
，由 ，得 ，C正确；
， ，D正确.
故选：CD
【变式训练】
1. （ 2024 春 · 河 南 省 ） 若 椭 圆 和 的 方 程 分 别 为 和 （
且 ） 则 称 和 为 相 似 椭 圆 ． 己 知 椭 圆
，过 上任意一点 P 作直线交 于 M，N 两点，且
，则 的面积最大时， 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ， ，
联立 ，可得 ，
所以 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 的面积为 ，
由 ，可得 为 的中点，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，所以 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 得， ，
，
设 ， ，则 ， ，
，
所以 点坐标为 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，
因为原点 到直线 的距离为 ，
，
所以 的面积为
，
综上， ，又 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
又 ，
所以当 时， 的面积最大.
故选：B.
2.（2024春·湖南长沙）（多选）椭圆 的标准方程为 为椭圆的左、右焦点，点 ．
的内切圆圆心为 ，与 分别相切于点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】椭圆 ： ，则 ，所以 ，
又 ，所以点 再椭圆上，
连接 ，
则 ，故A不正确；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由椭圆的定义可得 ，
又 的内切圆圆心为 ，所以内切圆半径 ，
由于 ，
所以 ，
故 ，故C正确；
又 ，
所以 ，
则 ，所以 ，故D正确；
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，故B正确.
故选：BCD.
题型二：椭圆的离心率
【典例例题】
例1.（2024·黑龙江）已知 为椭圆 上一点， 分别为 的左、右焦点，且
，若 外接圆半径与其内切圆半径之比为 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【详解】由题意，在 中 ，
所以其外接圆半径 ，内切圆的半径为 ，
故 .
故答案为：
【变式训练】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
1.（2024春·广东省东莞）已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，左、
右顶点分别为 ， ，点 在 上，且 ， ，则椭圆 的离心率为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
2.（2024春·湖北武汉）已知椭圆 的左右焦点为 ．直线 与椭圆 相交于
两点， 若 ， 且 ， 则椭圆 的离心率为 ．
【答案】
【详解】
由椭圆的对称性可得四边形 为平行四边形，则 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
即椭圆的离心率 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故答案为： .
3.（2024春·广东汕头市）已知椭圆 ， 是以点 为直角顶点的等腰直角三角
形，直角边 与椭圆分别交于另外两点 ．若这样的 有且仅有一个，则该椭圆的离心率的
取值范围是______．
【答案】
【解析】
【详解】不妨设直线 ，则直线 ，
联立方程得 ，得 ，
，用 代替 得 ，
．
由 ，得 ，
该方程关于 已有一解 ，由于符合条件的 有且仅有一个，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
关于 的方程 无实数解或有两个相等的实数解 ．
当方程无实数解时， ，解得 ；
当方程有两个相等的实数解 时， ，解得 ，
，
则该椭圆的离心率 ．
故答案为： .
4.（2024春·河北）如图，已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 ， ，A、B、C、D是
它们的公共点，且都在圆 上，直线 与x轴交于点P，直线 与双曲线 交于点 ，记
直线 、 的斜率分别为 、 ，若椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【详解】设椭圆标准方程为 ，双曲线的标准方程为 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
则 ，由 ， ，
所以 ，所以椭圆方程可化为 ，
由 ，两式相减得 ，
，则 ，
根据对称性可知 关于原点对称， 关于 轴对称.
则 ，
直线 的方程为 .
将 代入 得 ，
由 ，解得 或 ，
而 ， ，所以 ，
所以 ，所以双曲线方程可化为 ，
由 消去 并化简得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
设 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：B
题型三：双曲线的方程
【典例例题】
例1.如图，加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲
线）上两条相互垂直的切线的交点 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线
的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设两条互相垂直的切线的交点为 ，
由题可知，双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0，
设过点 且与曲线 相切的一条切线方程是 ， ，
由 得，
，
则 ，即 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
整理得， ，
因为过点 有两条直线与曲线 相切，
所以 ，且 ，即 ，则 ，
得 ，
又因为过点 的这两条切线互相垂直，
所以 ，
即 ，
故该双曲线的蒙日圆方程为： ，半径为 ，
所以该双曲线蒙日圆的面积为 ，
故选：B．
【变式训练】
1.（2024春·广西桂林）已知双曲线 ，直线 与双曲线相切于点 ，与两条渐近线相交于
， 两点，则此时三角形 （O为原点）的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】由 消去 并整理得 ，显然 ，
则 ，解得 ，由对称性，不妨取 ，
直线 ，而双曲线 的渐近线方程为 ，
由 消去 并整理得 ，设 ，
则 ，直线 交y轴于点 ，所以三角形 的面积为：
.
故选：B更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
2．（2024春·河北）已知双曲线 的离心率为2，左､右顶点分别为 ，右焦点
为 ， 是 上位于第一象限的两点， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设双曲线的焦距为 ，左焦点为 ，离心率 ，
则 ，
由余弦定理得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，所以 ，
，
故选：D．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
3.（2024春·四川成都）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，过右焦点 的直线 与
双曲线 交于 两点，已知 的斜率为 ， ，且 ， ，则直线 的
斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，如下图所示：
由双曲线定义，得 ；
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 .
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，解得双曲线离心率 .
令 ，则 ，
所以 ，设直线 ，
联立双曲线和直线 整理可得 ，
则 ；
由 ，得 ，解得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 .
故选：A
题型四：双曲线的离心率
【典例例题】
例1.（2024春·江西赣州）已知双曲线 的右焦点为F，过点F且斜率为 的直线l
交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若 ，则双曲线的离心率取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设双曲线的右焦点为 ，则直线 ，
联立方程 ，消去y得： ，
则可得 ，
则 ，
设线段 的中点 ，则 ，
即 ，
且 ，线段 的中垂线的斜率为 ，
则线段 的中垂线所在直线方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
即 ，则 ，
由题意可得： ，即 ，
整理得 ，则 ，
注意到双曲线的离心率 ，
∴双曲线的离心率取值范围是 .
故选：A.
【变式训练】
1.（2024·吉林长春）已知双曲线 的左，右焦点分别为 为 右支上一点，
的内切圆圆心为 ，直线 交 轴于点 ，则双曲线的离心率为
.
【答案】
如图，分别过点 和点 作 轴的垂线段 ,因 ，故易得： ,
不妨设 依题意得： ①，由余弦定理： ，
整理得： ，将① 式代入得： ②，由①-② 整理可解得：
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再将其代入② 式右边，计算可得： ③
由题意， 的面积为： ，化简得： ，
将③ 式代入并整理得： ，因 ，则离心率为： .
故答案为： .
2.（2024春·新高考）如图，已知双曲线 的一条弦 所在直线的倾斜角为 ，点
关于原点 的对称点为 ，若 ，双曲线 的离心率为 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【详解】由题可知，弦 所在直线的倾斜角为 ， ，
则直线 的倾斜角为 ，
.
设 ，则 ，
则 ， ，两式相减可得 ，
即 ，
即 ，则 ，
故 ，
故选：C.
3.（2024·新疆乌鲁木齐）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A是右支上一点，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
满足 ，直线 交双曲线于另一点 ，且 ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【详解】
，则 ，
又 ，所以 ，
则 ，
，
又 ，所以三角形 为直角三角形，
则 ,
即 ，
化为 ，
解得 或者 （舍），
此时 ，
在直角三角形 中， ,
即 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
题型五：抛物线
【典例例题】
例1.（2024·安徽）（多选）设 是坐标原点，抛物线 的焦点为 ，点 ， 是抛物线 上两点，
且 .过点 作直线 的垂线交准线于点 ，则（ ）
A．过点 恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点
B． 的最小值为2
C． 的最小值为
D．直线 恒过焦点
【答案】BC
【详解】
由抛物线的性质可知，过点 会有3条直线与抛物线有且仅有一个公共点，其中2条直线与抛物线相切，1
条斜率为零的直线与抛物线相交，故A错；
设 ， ，因为 ，所以 ，解得 ，
若 ，则 或 ，此时 ,
当 时，
直线 的方程为 ，
所以直线 恒过定点 ，故D错；
设直线 ： ，联立 得 ， ，
则 ， ，
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所以当 时， 最小，最小为 ，故C正确；
因为 ，所以直线 为 ，
联立 得 ，则 ，即 为准线上的动点，
所以当点 为 时， 最小，为2，故B正确.
故选：BC.
【变式训练】
1.（2024春·黑龙江）圆心在抛物线 上，且与直线 相切的圆一定过的点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：抛物线的标准方程为： ，
抛物线的准线方程为 ，焦点为 ．
设动圆圆心为 ，则 到 的距离： ．
动圆 与直线 相切，
到直线 的距离为动圆半径，即动圆半径为 ，即 为圆上的点．
此圆恒过定点 ．
故选：B．
2.（2024春·甘肃）已知过抛物线 焦点 的直线交 于 ， 两点，点 ， 在 的准线
上的射影分别为点 ， ，线段 的垂直平分线 的倾斜角为 ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【详解】如图，过点 作 ，
由条件可知直线 的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由 ， ，所以 ,
设直线 的直线方程为 ，
联立 ，得 ，
易知 ，则 ，
而 ，得 .
故选：B
3．（2024春·新疆乌鲁木齐）设抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与 交
于A，B两点，以 为直径的圆与准线 切于点 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于以 为直径的圆与抛物线的准线相切，以 为直径的圆过点 ，
可知 的中点的纵坐标为：2，
直线 的方程为： ，
则 ，可得 ，则 中的纵坐标为： ，解得 ，
该抛物线的方程为： ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
故选：B．
4.（2024·贵州贵阳）（多选）已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，其准线与 轴交于点 ，
经过点 的直线 与抛物线交于不同两点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在
C．不存在以 为直径且经过焦点 的圆
D．当 的面积为 时，直线 的倾斜角为 或
【答案】AD
【详解】对A，由题意得 ，准线方程为 ，则 ，
显然当直线 的斜率为0，即直线 的方程为 ，此时不合题意，
设直线 的方程为 ，
联立抛物线方程 ，得 ， ，解得 或 ，
， ， ， ，则 ， ，则 ，
， ，
则 ，A正确；
对B，当直线 与抛物线相切时， 最大，则 ，解得 ，
根据抛物线对称性取 分析：
此时直线方程为 ，此时直线斜率为1，则 ，因此不存在 ，B错误；
对C，假设存在以 为直径且经过焦点 的圆，则 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，则 ，
即 ， ,
即 ，即 ， ，满足 或 ，
即存在以 为直径且经过焦点 的圆，C错误；
对D， ， ，
此时直线斜率为 ，则直线 的倾斜角为 或 ，故D正确.
故选：AD.
题型六：直线与圆锥曲线的位置关系
【典例例题】
例1.（2024春·广东省深圳外国语学校、执信中学）已知椭圆 的左、右焦点分
别为 、 ，离心率为 ， 是椭圆上的点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为 的左顶点，过 的直线交椭圆 于 、 两点，直线 、 分别交直线 于 、
两点， 是线段 的中点，在 轴上求出一定点 ，使得 .
【答案】（1） （2）更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【解析】
【小问1详解】
解：由椭圆过 可得 ，可得 ，
又因为 ，解得 ， ，所以椭圆 的标准方程为 .
【小问2详解】
解：设点 、 ，易知点 、 ，
若直线 与 轴重合，则 、 中必有一点与点 重合，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
直线 的方程为 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
同理可得点 ，则 中点 .
因为 ，则点 是在以 为直径的圆上，
以 为直径 圆的方程为 ，
的
在圆的方程中，令 ，得 ，
.
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 点坐标为 .
【变式训练】
1.（2024春·广州市华南师大附中第一次调研）已知椭圆 的离心率为 ，斜率为2
的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，
面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)当M异于O点时，记直线 与y轴交于点N，求 周长的最小值．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当M与原点O重合时，可设 ，则有 、 ，
且 ，即有 ,
则 ，
即 ，又 ，故 ，则 ，
即有 ，由离心率为 ，即 ，
则 ，故 ，即有 ，
解得 ，故 ，即C的方程为 ；
（2）设直线 方程为 ，令 ，有 ，即 ，
设点 、 ，则 ，
联立直线与椭圆方程： ，消去 有 ，
，即 ，
有 ， ，
为 ，
令 ，故 ，
由 ，故 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
其中 ，即 ，
则
，
当且仅当 时等号成立，
故 周长的最小值为 .
2.（2024春·广东惠州）已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上的点到焦点的最长
距离为 ．
（1）求椭圆 的方程：
（2）直线 （不过原点 ）与抛物线 相交于 两点，以 为直径的圆经过原点 ，且此直
线 也与椭圆 相交于 两点，求 面积的最大值及此时直线 的方程.
【答案】（1）
（2）面积的最大值是 ，此时 的方程为 ．
【解析】
【小问1详解】更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
设椭圆上的点坐标为 ， ，右焦点 ，
则点D到焦点距离为
，
当 时，取得最大值，
由题意知： ∴ ，
∴椭圆C的方程为 ；
【小问2详解】
显然，直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，
， ， ， ，
联立直线与抛物线方程得：
，
以 为直径的圆经过原点 ，则 ，
或 （舍去），所以直线的方程为： ，
联立直线与椭圆方程得： ，
，
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法一：设直线与 轴的交点为 ， .
法二：设直线与 轴的交点为 ，
，
法三：原点到直线 的距离为 ，所以 ，
其中 ，令 ， ．∴ ，
当且仅当 时等号成立，此时 ，且满足 ，
∴ 面积 的最大值是 ，此时 的方程为 ．
3.（2024春·广东广州市）在平面直角坐标系 中，点 ，点 是平面内的动点.若以PF
为直径的圆与圆 内切，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）设点 ， ， ，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
A）， ，垂足为H，求 的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】
【小问1详解】
设 ，则 的中点 ，
根据题意得 ，即 ，
整理得 ，
化简得点 的轨迹方程
【小问2详解】
设 ，先证直线 恒过定点，理由如下：
由对称性可知直线 的斜率不为0，所以可设直线 ，
联立直线 与 ， ,
则 ，①更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，②
所以 ，令 ，得点 横坐标 ，
同理可得点 横坐标 ，
故 ，
将 代入上式整理得：
，
将②代入得 ，
若 ，则直线 ，恒过 不合题意；
若 ，则 ，恒过 ，
因为直线 恒过 ，且与 始终有两个交点，
又 ， ，垂足为H，
所以点H轨迹是以 为直径的半圆（不含点 ，在直线 下方部分），
设 中点为C，则圆心 ，半径为1，
所以 ，当且仅当点H在线段 上时，
所以 的最小值为 .
4.（2024春·河北廊坊）已知抛物线C： 的焦点为F，圆M： ．点 是抛物
线C上一点，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 面积的最大值．
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【小问1详解】
由抛物线C： 过点 ，得 ，解得 ，
所以抛物线C的标准方程是 .
【小问2详解】
由（1）知，抛物线C的方程为 ，即 ，求导得 ，
设点 ，则 ，
直线 的方程为 ，整理得 ，
同理，直线PB的方程为 ，
显然点P为这两条直线的公共点，则 ，
则点A、B的坐标满足方程 ，于是直线 的方程为 ，
由 消去y并整理得 ，
由 ，得 ，解得 ，
因此 ， ，
则 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
点P到直线AB的距离为 ，
于是 ，
而 ，
而 ，则当 时， ， ，
所以 的面积取最大值是 .
题型七：圆锥曲线新颖题型
【典例例题】
例1.（2024春·广东汕头）已知点 为双曲线 上的动点.
(1)判断直线 与双曲线的公共点个数，并说明理由；
(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；
（ii）将双曲线 的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为 ，请利用
该方程证明如下命题：若 为双曲线 上一点，直线 ： 与 的两条渐近线分别交于点更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，则 为线段 的中点.
【答案】
【详解】（1）由点 在双曲线 上，得 ，即
由 消去y得： ，
则 ，显然 ，
所以该直线与双曲线有且只有1个公共点.
（2）（i）由（1）知，直线 与双曲线 相切于点 ，
所以过双曲线 上一点 的切线方程为 .证明如下：
显然 ，即 ，
由 消去y得： ，
于是 ，
因此直线 与双曲线 相切于点 ，
所以过双曲线 上一点 的切线方程为 .
（ii）当 时，直线 的斜率不存在，由对称性知，点 为线段 的中点；
当 时，设 ，线段 的中点 ，
由 消去y得： ，
由 ，得 ，则 ，
又 ，于是 ，即点 与点 重合，
所以点 为线段 的中点.
【变式训练】
1.（2024春·四川雅安）我们把形如 和 的两个双曲线更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
叫做共轭双曲线．设共轭双曲线 ， 的离心率分别为 ， ，则当 取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知 则 ．
由 ，可设 ，
则 ，其中 ，
当 ，即 时， 取得最大值 ，
此时 ．
故选：A.
2.（2024春·安徽合肥）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它
们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲线，
分别为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
（ii）求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）为定值， （ii）
【详解】（1）由题意可设双曲线 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）（i）设 ，直线 的方程为 ，
由 ，消元得 .
则 ，且 ，
，
或由韦达定理可得 ，即 ,更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，
即 与 的比值为定值 .
（ii）方法一：设直线 ，
代入双曲线方程并整理得 ，
由于点 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 ，.
由韦达定理得： ，解得 .
因为点A在双曲线的右支上，所以 ，解得 ，
即 ，同理可得 ，
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ，
故 ，
设 ，其图象对称轴为 ，
则 在 上单调递减，故 ，
故 的取值范围为 ；
方法二：由于双曲线 的渐近线方程为 ，
如图，过点 作两渐近线的平行线 ，由于点A在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 之间（含 轴，不含直线 ），更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以 .
同理，过点 作两渐近线的平行线 ，
由于点 在双曲线 的右支上，
所以直线 介于直线 之间（不含 轴，不含直线 ），
所以 .
由（i）中结论可知 ，
得 ，所以 ,
故 .
3.（2024春·安徽黄山）如图，已知曲线 是以原点O为中心、 为焦点的椭圆的一部分，曲线 是以
原点O为中心， 为焦点的双曲线的一部分，A是曲线 和曲线 的交点，且 为钝角，我们把
曲线 和曲线 合成的曲线C称为“月蚀圆”．设 .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
(1)求曲线 和 所在的椭圆和双曲线的标准方程；
(2)过点 作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H
为BE的中点．问： 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)椭圆 所在的标准方程为 ，双曲线 所在的标准方程为
(2) 是定值，为 ，理由见解析
【详解】（1）设椭圆所在的标准方程为 ，
双曲线所在的标准方程为 ，
因为 ，
所以可得 ， ，
解得 ， ，
所以椭圆 所在的标准方程为 ，双曲线 所在的标准方程为 ；
（2） 是定值，为 ，理由如下，
由（1）椭圆所在的标准方程为 ，双曲线所在的标准方程为 ，
因为直线 与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，所以直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ， ，
双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，
可得 ， ，
直线 的方程与椭圆方程联立 ，整理得更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
，
所以 ，
所以 ，
直线 的方程与双曲线方程联立 ，整理得
，
所以 ，
所以 ，
所以
，
所以 是定值 .
一、单项选择
1.（2024春·江西省）椭圆 与椭圆 的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【答案】D
【详解】椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，离心率为 ，
椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，
焦距为 ，离心率为 ，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.
故选：D.
2．（2024春·广东深圳）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，经过 的直线交双
曲线的左支于 ， ， 的内切圆的圆心为 ， 的角平分线为 交 于M，且
，若 ，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【详解】设内切圆的半径为 ，
由 ，即 ，则 ,
设 ，则 ，则 ，
由 ，即 ，
则 ，则 ，
，则 ，故 ，同理得 ，
故 ，故 ，
则 ，
故 ，则 ，
则 .
故选：A更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
3.（2024春·内蒙古赤峰）过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线 ，与 的两条渐近
线分别交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设直线 方程为 ，因为渐近线方程为 ，联立两方程解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
化简可得 ，
所以离心率 ，
故选：B.
3.（2024春·天津）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 向双曲线的一条渐
近线引垂线，垂足为点 ，且 （ 为坐标原点），则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
C． D．
【答案】D
【详解】设双曲线 焦距为 ，则 、 ，
不妨设渐近线 的方程为 ，如图：
因为直线 与直线 垂直，则直线 的方程为 ，
联立 可得 ，即点 ，
所以， ，
因为 ，所以 ，
又 ，故 ，
所以，
，
整理可得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
故该双曲线 的渐近线方程为 .
故选：D.
二、多项选择
4．（2024春·辽宁）已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，倾斜角为 的直线 过点 且与更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
交于 ， 两点，若 的面积为 ，则 （ ）
A． B．
C．以 为直径的圆与 轴仅有 个交点 D． 或
【答案】AC
【详解】依题意 ，设直线 ， ， ，
由 ，整理得 ，则 ，
所以 ， ，所以 ，
解得 ，所以 ，又 ，解得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故A正确；
因为 ，故B错误；
因为 ，又线段 的中点到 轴的距离为 ，
所以以 为直径的圆与 轴相切，即仅有 个交点，故C正确；
因为 ，若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 或 ；
即 、 或 、 ，
所以 或 ，故D错误.
故选：AC更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
5.（2024春·山东日照）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭
圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截
面相切，截面分别与球 ，球 切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球 ，球 的半径
分别为4和1，球心距 ，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线 上 B．
C．直线 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
【答案】ACD
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球 ，球 的截面大圆，如图，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
点 分别为圆 与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段 是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心（即线段 的中点）不在直线 上，故A正确；
椭圆长轴长 ，
过 作 于D，连 ，显然四边形 为矩形，
又 ，
则 ，
过 作 交 延长线于C，显然四边形 为矩形，
椭圆焦距 ，故B错误；
所以直线 与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为 ，故C正确；
所以椭圆的离心率 ，故D正确；
故选：ACD.
6.（2024春·广东广州）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.
设 为坐标原点，双曲线 的左右焦点分别为 ，右顶点 到一条渐近线的距离为
2，右支上一动点 处的切线记为 ，则（ ）
A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的离心率为
C．当 轴时，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
D．过点 作 ，垂足为
【答案】ACD
【详解】对于A，由双曲线 可知 ，右顶点 ，
其渐近线方程为 ，右顶点 到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐近线 ，则 ，解得 ，
故双曲线 的渐近线方程为 ，A正确；
对于B，由于 ，
故双曲线 的离心率为 ，B错误；
对于C， ，当 轴时，将 代入 中，
得 ，即得 ，
由于P在双曲线右支上，故 ，C正确；
对于D，连接 并延长交 的延长线于E，
由题意知， 为 的角平分线，结合 ，
可知 ，K为 的中点，而O为 的中点，
故 ，D正确，
故选：ACD更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
8.（2024春·广东东莞）已知双曲线 的左､右焦点分别为 为坐标原点，直线
与双曲线 的渐近线交于点 （ 在第二象限， 在第一象限），下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若 的面积为2，则双曲线 的焦距的最小值为4
D．若 的面积为2，则双曲线 的焦距的最小值为8
【答案】AC
【详解】由于双曲线的渐近线方程为 ，所以 ， ,
故 ，点 在以 为圆心， 为半径的圆上，所以 ，A正确.
，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
由于 与 不一定相等，所以直线 与直线 不一定平行，B错误.
的面积为 ，双曲线 的焦距为
，当且仅当 时，等号成立，
所以双曲线 的焦距的最小值为 正确， 错误.
故选：AC
三、简答题
9.（2024春·广东惠州市）如图，已知半圆C ： 与x轴交于A、B两点，与y轴交于E
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点，半椭圆C ： 的上焦点为F，并且 是面积为 的等边三角形，
2
将由C 、C 构成的曲线，记为“Γ”．
1 2
（1）求实数a、b的值；
（2）直线l： 与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），
使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
（3）设点 ，P是曲线Γ上任意一点，求 的最小值．
【答案】（1） （2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
如图1所示，更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由等边 的面积为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
又 ，解得 ，即 ；
【小问2详解】
如图2所示，
设点N在半圆上，且在第三象限内，M在半椭圆上，且在第一象限内，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ；
所以 ；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
设S在半圆上，且在第二象限， ，S到直线MN的距离为d，
，
则 ，T到直线MN的最大距离为1，
所以四边形MSNT的面积最大值为
；
【小问3详解】
如图3所示，
当 时， ；
当 时，设 是半椭圆 上的点，由 得 .
此时
若 ，则 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时, ；更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
若 ，则 ， 在 上单调递减，
故当 时， ；
综上所述，
10. （2024春·广东省潮州市） 设圆 的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重
合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明 为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求
1 1
四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值．
试题解析：（Ⅰ）因为 ， ，故 ，
所以 ，故 .
又圆 的标准方程为 ，从而 ，所以 .
由题设得 ， ， ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为：
（ ）.
（Ⅱ）当 与 轴不垂直时，设 的方程为 ， ， .更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
由 得 .
则 ， .
所以 .
过点 且与 垂直的直线 ： ， 到 的距离为 ，所以
.故四边形 面积
的
.
可得当 与 轴不垂直时，四边形 面积的取值范围为 .
的
当 与 轴垂直时，其方程为 ， ， ，四边形 面积为12.
综上，四边形 面积的取值范围为 .
11.（2024春·广东省深圳市龙岗区）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离
心率为 ，过点 的直线 与双曲线的左、右两支分别交于点 ， ．当 时， 的面积为
5．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于点 ，且 ， ，求证： 为定值．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】（1）当 时， ， ，
可得 ．
由双曲线的定义可知， ，
两边同时平方可得， ，
所以 ．①
又双曲线的离心率为 ，所以 ．②
由①②可得， ， ，所以 ，
所以双曲线的标准方程为 ．
（2）当直线 与 轴垂直时，点 与原点 重合，
此时 ， ， ，所以 ， ， ．
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， ，
由题意知 且 ，
将直线 的方程与双曲线方程联立，消去 得， ，
则 ， ， ．更多全科试卷及资料在网盘群，请关注公众号：高中试卷君
易知点 的坐标为 ，
则由 ，可得 ，
所以 ，
同理可得 ．
所以 ．
综上， 为定值 ．
